1-2-2_絕對值方程及非負性_題庫教師版

1對值方程及非負性 題庫教師版 0 內(nèi)容 基本要求 略高要求 較高要求 絕對值 借助數(shù)軸理解絕對值的意義，會求實數(shù)的絕對值 會利用絕對值的知識解決簡單的化簡問題 板塊 一 ： 絕對值非負性 【例 1】 （ 4 級 ） 若 73 2 2 1 02m n p ，則 2 3 _ _ _ _ _ _ _p n m . 【解析】 3m ， 72n， 12p， 3232p n m . 【鞏固】 （ 2 級 ） 若 42 ，則 _ . 【解析】 4 ( 2 ) 2 【鞏固】 （ 6 級） （第 10屆希望杯 2 試）已知 a 、 b 、 c 都是負數(shù)，并且 0x a y b z c ，則 0 【解析】 根據(jù)絕對值的非負性可知 ， ， ，所以 0 【鞏固】 （ 8 級） （ 2008 年學而思杯） 已知非零實數(shù) a 、 b 、 c 滿足 24 2 0a b c ，那么 【解析】 由非負性可得到 0 ，且 4 2 0a b c ， 得到 5 3 0， 所以 35，代入 可得到： 25所以 32 5552 75 【例 2】 （ 6 級） （人大附中?？荚囶}）已知 a 為實數(shù)，且滿足 2 0 0 2 0 1a a a ，求 2200a 的值 【解析】 由題意可知： 201a ，所以可得 2 0 0 2 0 1a a a ，即 201 200，所以 2201 200a ，所例題精講 中考要求 絕對值方程及非負性 1對值方程及非負性 題庫教師版 0 以原式的值為 201 【例 3】 （ 6 級） （ 2008 第二屆兩岸四地華羅庚杯） 設 a 、 b 同時滿足 2( 2 ) | 1 | 1a b b b ； | 3 | 0 那么 【解析】 因為 | 1 | 1 ，而完全平方式非負，所以 20，且 1b 非負 又因為 | 3 | 0 ，所以 30 ，觀察可知 2a ， 1b ，所以 2 【鞏固】 （ 2 級 ） 已知 21 2 0 ，求 的具體取值 【解析】 由絕對值和平方的非負性我們可以知道： 12 ， 【鞏固】 （ 4 級） （ 2003 年杭州市中考題）已知 2( ) 5 5a b b b ，且 2 1 0 ，那么 _ 【解析】 因為 2( ) 5 5a b b b ，我們可以知道 50b ，所以原式可以表示為： 22( ) 5 5 , ( ) 0 ,a b b b a b a b ，又因為 2 1 0 ，進 而 1 1 12 1 0 , 3 1 , , ,3 3 9a b a a b a b . 【例 4】 （ 8 級） （第 6 屆希望杯 1 試）若 a 、 b 、 c 為整數(shù)，且 1 9 9 5 1a b c a ，求 c a a b b c 的值 【解析】 法一：根據(jù)題意： 19， 95為非負整數(shù)， 分類討論： 若 0 ， 1，則 1b c a c ，此時原式 2 ； 若 1， 0，則 1b c b a ，此時原式 2 法二：從總體考慮， 、 一個為 0 ，一個為 1 ，也就是 a 、 b 、 c 有兩個相同，另一個和他們相差 1 故三者兩兩取差的絕對值應該有 2 個 1 和 1 個 0 ，所以2c a a b b c 【例 5】 （ 8 級 ） 求滿足 1ab a b 的所有整數(shù)對 【解析】 因為 1ab a b ，且 00a b a b ， ， 均為整數(shù) 所以可得 01 或者 10 由可得 01或 01 又因為 均為整數(shù) 所以31 2 41 2 3 400 1 11 0 1 0aa a ab b b b ， ， ，由得 10或 10 1對值方程及非負性 題庫教師版 0 所以5611 ，綜上可得：共有 6 對，分別是： 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 【鞏固】 （ 8 級 ） （ 03 年創(chuàng) 新杯數(shù)學競賽）若 ,整數(shù)，且 2 0 0 3 2 0 0 3| | | | 1x y z x ，則 | | | | | |z x x y y z 的值是多少 ? 【解析】 2003| | 0 , | | 0x y x y ,同理 2003| | 0，所以一個為 0，一個為 1，也就是說 ,兩個相同，另一個和他們相差 個 1和 1個 0，所以 | | | | | |z x x y y z =2. 當然也可以分類討論，更 利于學生接受 . 【例 6】 （ 6 級 ） 設 a 、 b 是有理數(shù)，則 9有最小值還是最大值？其值是多少？ 【解析】 根據(jù)絕對值的非負性可以知道 0 ，則 99 ，有最小值 9. 教師可在此多多拓展形式！ 【鞏固】 （ 4級） （ 2009 十三 中學單元檢測）代數(shù)式 24 ( ) 最大值為 ，取最大值時， a 與 b 的 關系是 _ 【解析】 4 ，互為相反數(shù)； 【例 7】 （ 6 級 ） 已知 2 1 0a b a ，求 1 1 1. 2 2 1 9 9 4 1 9 9 4a b a b a b 的值 【解析】 由 2 1 0a b a 得 12 ， 所以 1 1 1. 2 2 1 9 9 4 1 9 9 4a b a b a b 1 1 1. 3 4 1 9 9 5 1 9 9 6 9971996 【例 8】 （ 6 級 ） 若 3 與 1999 互為相反數(shù)，求 2的值 【解析】 根據(jù)相反數(shù)的意義，我們可以知道： 3 1 9 9 9 0x y x y 所以必然有 30 且 1 9 9 9 0 ， 解方程組可得： 1 9 9 9 1 0 0 1x y y ， 所以原式 2 1 9 9 9 1 0 0 1 10003x y x y yx y x y 1對值方程及非負性 題庫教師版 0 板塊 二 ： 絕對值方程 模塊一、單重絕對值方程 【例 9】 （ 2 級） 不解方程直接判斷方程 2 4 3 0x ； 32 ； 33 ； 20 無解的有（ ） A 1 個 B 2 個 C 3 個 D 4 個 【解析】 根據(jù)絕對值的非負性可知：選 B 【例 10】 （ 2 級） 解方程： 2 3 5x 【解析】 根據(jù)絕對值的意義，原方程可化為 2 3 5x 或者 2 3 5x ，解得 1x 或 4x 【例 11】 （ 4 級） （ 2010 人大附期中練習題） 解方程 1 1 2 1123 【解析】 原方程整理得： 1315x，即 1315x或者 1315x ，所以原方程的解為 85x或者 185x【例 12】 （ 4 級） 解方程 2 1 3 1 【解析】 根據(jù)兩數(shù)的絕 對值相等，可以判斷這兩個數(shù)相等或者互為相反數(shù)，所以，由原方程可以得到 2 1 3 1 或 2 1 3 1 ，解得 20 ， 【鞏固】 （ 6 級） 解方程 2 1 6 【解析】 本題應當分為三種情況來討論： 當 2010，即 1x 時，原方程化為 2 1 6 ，解得 52x當 2010，即 12x 時，原方程化為 2 1 6 ，無解 當 2010，即 2x 時，原方程化為 2 1 6 ，解得 72x【例 13】 （ 6 級） 解方程 2 5 3 8 0x y x y 【解析】 因為任何數(shù)的絕對值都不小于零，所以當兩數(shù)的絕對值之和為零時，只能這兩個數(shù)都等于零，這樣可以得 2 5 03 8 0 ，由此解得 13【例 14】 （ 6 級 ） （人大附中第一學期期中考試）已知 x y y x ，且 3x ， 4y ，求 3的值 . 1對值方程及非負性 題庫教師版 0 【解析】 x y y x ， 0 且 3x ， 4y ， 當 3x ， 4y ， 0 ，所以 3 37 3 4 3 ； 當 3x ， 4y ， 0 ，不滿足題意； 當 3x ， 4y ， 0 ，所以 3 311 ； 當 3x ， 4y ， 0 ，不滿足題意 【例 15】 （ 6 級 ） (第 14 屆“希望杯”數(shù)字競賽試題 )方程 93 3 52x x x 的解是 【解析】 對 x 的值分 4 段討論 若 3x 則原方程化為 93 3 52x x x ，解得： 2x 與 3x ， 矛盾； 若 30x 則原方程化為 93 3 52x x x ，解得： 29x； 若 03x 則原方程化為 93 3 52x x x ，解得： 29x； 若 3x 則原方程化為 93 3 52x x x ，解得： 2x 與 3x 矛盾；綜上所述可得方程的解為 29x 【鞏固】 （ 4 級） 已知 12x ， 3y ，且 x 與 y 互為相反數(shù)，求21 43 x xy y的值 【解析】 12x ， 12x ， 3, 1x； 3y ， 3y ，且 x 與 y 互為相反 數(shù)， 所以 3x ， 3y ，21 4 2 43 x xy y 【鞏固】 （ 2 級） 若 1a ， 2b ， 3c 且 ，那么 a b c 【解析】 根據(jù)題意可得： 1, 2 , 3a b c ，那么 0a b c 或 2 . 【例 16】 （ 6 級） 若已知 a 與 b 互為相反數(shù)，且 4 ，求2 1a ab ba 的值 . 【解析】 a 與 b 互為相反數(shù)，那么 0 ) 1 0 1a a b b a b a b a b a b a a b a ， 4 ， 4 ， 當 4 時，且 0 ，那么 2, 2 ， 4 ； 當 4 時，且 0 ，那么 2, 2 ， 4 ； 綜上可得2 41a ab ba . 【鞏固】 （ 8 級） （第 15 屆江蘇省初中數(shù)學競賽試題）如果 10x x y ， 12y x y ，那么 （ ） A B. 2 C. 185D. 225【解析】 討論 x 的符號：若 x 0, 則由第一個方程的 10,y 代入到第二個方程 x =12 顯然是矛盾的，從而 x 0, 1對值方程及非負性 題庫教師版 0 同樣的方法可以討論 ,y 確定 y 的符號。能可到 185模塊二、多重絕對值方程 【例 17】 （ 8 級 ） (五羊杯數(shù)學競賽 )解方程： 1 1 1 1 0x 【解析】 從外到內(nèi)逐漸去掉絕對值 . 1 1 1 1x ，所以 1 1 1 1x ， 所以有： 1 1 2x 或者 1 1 0x ，進而可得： 13x 或者 11x ， 當 13x 時有， 13x ，即 4x 或者 2x ； 當 11x 時有， 11x ，即 0x 或者 2x 【鞏固】 （ 6 級 ） 當 01x 時，求方程 1 1 1 0x 的解 【解析】 根據(jù) x 所在的范圍，可得 0x ， 10x ，因此 11x x x x ， ，按從內(nèi)到外的順序逐個去除方程中的絕對值符號，原方程可順次化為： 1 1 1 0x ，即 10x ，所以 1x 【鞏固】 （ 6 級） 解方程 ： 2 1 1 2x ； 【解析】 掉外層絕對值可得： 2 1 1 2x ，移項可得： 2 1 3x ，或 2 1 1x (舍去 )； 由 2 1 3x 可得 2 1 3x ，所以原方程的解為： 2x 或 1x 【鞏固】 （ 6 級） 求方程 3 1 4 的解 . 【解析】 解法一： 13 1 03 ，； 3 1 0 ， 12x， 14，這 3 個零點將數(shù)軸分成 4段， 我們分段討論研究可以得到結果為： 32x或 54x， 但其實這么做是沒必要的 解法二： 當 13x時，方程可化為： 4 1 4x ， 54x， 在 13x 范圍內(nèi)，是方程的解 當 13x時，方程可化為 2 1 4x ， 當 2 1 4x 時，得 52x， 5123 ， 52x不是解，舍去； 當 2 1 4x 時，得 32x， 3123， 32x是方程的一個解 綜上可得，原方程的解為 32x或 54x 【例 18】 （ 6 級） 解方程： 2 1 2 1 1對值方程及非負性 題庫教師版 0 【解析】 先將內(nèi)層的絕對值符號去掉，再對外層的絕對值進行研究 . 當 2x 時，原方程可化為： 3 2 1 ，進而可得： 3 2 1 ， 23x在 2x 的范圍內(nèi)，所以是原方程的解； 當 2x 時，原方程可化為： 1 2 1 ，進而可得： 1 2 1 ， 2x 不在 2x 的范圍內(nèi)，所以不是原方程的解； 綜上可得原方程的解為 23x. 【例 19】 （ 8 級 ） 解絕對值方程： 35162 【解析】 35162 或 6 ，即 35 72x x 或 35 52x x 當 70x 時（即 7x ）， 3502x ， 35 72x x 化為 35 72x x ， 解得 9x 當 50x 時（ 5x ），若還有 3502x （即 53x）， 35 52x x ， 解得 15x 當 50x 時（ 5x ），若還有 3502x （即 53x）， 35 52x x ， 解得 1x 再來檢驗這三個解 9x （舍去）、 15x 、 1x 【例 20】 （ 8 級 ） 證明：方程 1 2 3x x x x 只有一個解 【解析】 這一命題既是要證明：在數(shù)軸上，到原點和 1 的兩個對應點距離之和，與到 2 和 3 的兩個對應點距離之和相等的點只有一個，顯然， 32x是這樣一個點，如圖，對任何小于 32的一個數(shù)，它在數(shù)軸上的對應點位于點 32x的左側，這時，它到原點的距離比到 3 的對應點的距離小，即 3 ，同理可得： 12 ，所以 1 2 3x x x x ，它不是方程的解，同樣可以證明，任意大于 32的數(shù)也不是這個方程的解， 所以，方程只有一個解 模塊三、含有字母參數(shù)的絕對值方程 【例 21】 （ 6 級） 若 21 有三個整數(shù)解，求 a 的值 【解析】 顯然 0a ，則 21 ， 21 當 1a 時， 21 或者 21 ，方程有四個解： 3 1 3 1a a a a ， ， ，； 當 1a 時， 21 ，方程有兩個解： 3 a ， 1a ； 當 1a 時， 22x 或 20x ，方程有三個解： 4， 0， 2 綜上所得，當 1a 時，原方程有三個整數(shù)解 1對值方程及非負性 題庫教師版 0 【例 22】 （ 6 級） 已知方程 1x 有一個負根而沒有正根 ,求 a 的取值范圍。 【解析】 當 0x 時 ; 1x ; 1 01x a( 1a );即 1a ； 當 0x 時 ; 1x ； 11x a ( 1a ), 1a ;反過來即 1a 。 【例 23】 （ 6 級） 求關于 x 的方程 1 232 的解 【解析】 原方程化為 1 232 ，需根據(jù) a 的取值范圍進行分類討論： 當 3a 時，原方程無解 當 3a 時，方程可化為 1 202 x ，解得 4x 當 3a 時，方程化為 1 232 或 1 232 ，解得 2 10或 22 【例 24】 （ 6 級） 已知關于 x 的方程 32kx x 有一個正數(shù)解，求 k 的取值范圍 【解析】 當 0x 時，方程可化為 32kx x ，即 23，根據(jù)題意，此時方程有一個正數(shù)解，故可以得到 20k ，即 2k 練習 1 （ 2 級 ） 已知 2 4 5 3 1 0a b c ，求 a 、 b 、 c 的值 . 【解析】 2a , 5b , 13c. 練習 2 （ 2 級 ） (01 年全國初中競賽題 )若 3 2 3 0 ，則 【解析】 2 0 3 0 2 3x y x y ， ， ， 32 課后練習 1對值方程及非負性 題庫教師版 0 練習 3 （ 6 級）