2017全國2卷理科數(shù)學(xué)與答案

2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（卷）逐題解析理科數(shù)學(xué)1、 選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。【題目1】(2017新課標(biāo)全國卷理1)1.（ ）A B C D【命題意圖】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念，意在考查學(xué)生的運(yùn)算能力.【解析】解法一：常規(guī)解法 解法二：對(duì)十法可以拆成兩組分式數(shù)，運(yùn)算的結(jié)果應(yīng)為形式，（分子十字相乘，分母為底層數(shù)字平方和），（分子對(duì)位之積差，分母為底層數(shù)字平方和）.解法三：分離常數(shù)法解法四：參數(shù)法，解得故 【知識(shí)拓展】復(fù)數(shù)屬于新課標(biāo)必考點(diǎn)，考復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算的年份較多，復(fù)數(shù)考點(diǎn)有五：1.復(fù)數(shù)的幾何意義（2016年）；2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；3.復(fù)數(shù)的相等的充要條件；4.復(fù)數(shù)的分類及共軛復(fù)數(shù)；5.復(fù)數(shù)的模【題目2】(2017新課標(biāo)全國卷理2)2.設(shè)集合，若，則（ ）A B C D【命題意圖】本題主要考查一元二次方程的解法及集合的基本運(yùn)算，以考查考生的運(yùn)算能力為目的.【解析】解法一：常規(guī)解法 1是方程的一個(gè)根，即， 故 解法二：韋達(dá)定理法 1是方程的一個(gè)根， 利用偉大定理可知：，解得：，故 解法三：排除法集合中的元素必是方程方程的根， ，從四個(gè)選項(xiàng)ABCD看只有C選項(xiàng)滿足題意.【知識(shí)拓展】集合屬于新課標(biāo)必考點(diǎn)，屬于函數(shù)范疇，常與解方程求定義域和值域數(shù)集意義相結(jié)合，集合考點(diǎn)有二：1.集合間的基本關(guān)系；2.集合的基本運(yùn)算.【題目3】(2017新課標(biāo)全國卷理3)3.我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）A1盞 B3盞 C5盞 D9盞【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列通向公式及其前項(xiàng)和，以考查考生的運(yùn)算能力為主目的.【解析】解法一：常規(guī)解法一座7層塔共掛了381盞燈，即；相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，即，塔的頂層為；由等比前項(xiàng)和可知：，解得.解法二：邊界效應(yīng)等比數(shù)列為遞增數(shù)列，則有，解得， .【知識(shí)拓展】數(shù)列屬于高考必考考點(diǎn)，一般占10分或12分，即兩道小題或一道大題，其中必有一道小題屬于基礎(chǔ)題，一道中檔偏上題或壓軸題，大題在17題出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題型，高考所占分值較大，在高中教學(xué)中列為重點(diǎn)講解內(nèi)容，也是大部分學(xué)生的難點(diǎn)，主要是平時(shí)教學(xué)題型難度嚴(yán)重偏離高考考試難度，以及研究題型偏離命題方向，希望能引起注意；考試主線非常明晰，1.等差數(shù)列通向公式及其前項(xiàng)和；2. 等比數(shù)列通向公式及其前項(xiàng)和.【題目4】(2017新課標(biāo)全國卷理4)4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，學(xué) 科&網(wǎng)粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為（ ）A B C D【命題意圖】本題主要考查簡單幾何體三視圖及體積，以考查考生的空間想象能力為主目的.【解析】解法一：常規(guī)解法從三視圖可知：一個(gè)圓柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具體圖像如下：切割前圓柱切割中切割后幾何體從上圖可以清晰的可出剩余幾何體形狀，該幾何體的體積分成兩部分，部分圖如下：從左圖可知：剩下的體積分上下兩部分陰影的體積，下面陰影的體積為， ；上面陰影的體積是上面部分體積的一半，即，與的比為高的比（同底），即，故總體積.第二種體積求法：，其余同上，故總體積.【知識(shí)拓展】三視圖屬于高考必考點(diǎn)，幾乎年年考三視圖，題型一般有五方面，1.求體積；2.求面積（表面積，側(cè)面積等）；3.求棱長；4.視圖本質(zhì)考查（推斷視圖，展開圖，空間直角坐標(biāo)系視圖）；5.視圖與球體綜合聯(lián)立，其中前三個(gè)方面考的較多.【題目5】(2017新課標(biāo)全國卷理5)5.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）A B C D【命題意圖】本題主要考查線性規(guī)劃問題，以考查考生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用為目的，屬于過渡中檔題.【解析】解法一：常規(guī)解法根據(jù)約束條件畫出可行域（圖中陰影部分）, 作直線，平移直線，將直線平移到點(diǎn)處最小，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)，可得，即.y = -32x+3y-3=02x-3y+3=0解法二：直接求法對(duì)于封閉的可行域，我們可以直接求三條直線的交點(diǎn)，代入目標(biāo)函數(shù)中，三個(gè)數(shù)種選其最小的為最小值即可，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所求值分別為，故，.解法三：隔板法首先 看約束條件方程的斜率約束條件方程的斜率分別為；其次 排序按照坐標(biāo)系位置排序；再次 看目標(biāo)函數(shù)的斜率和前的系數(shù)看目標(biāo)函數(shù)的斜率和前的系數(shù)分別為；最后 畫初始位置，跳格，找到最小值點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)的斜率在之間，即為初始位置，前的系數(shù)為正，則按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，第一格為最大值點(diǎn)，即，第二個(gè)格為最小值點(diǎn)，即，只需解斜率為和這兩條線的交點(diǎn)即可，其實(shí)就是點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代到目標(biāo)函數(shù)，可得，即.【知識(shí)拓展】線性規(guī)劃屬于不等式范圍，是高考必考考點(diǎn)，常考查數(shù)學(xué)的數(shù)形結(jié)合能力，一般變化只在兩個(gè)方向變化，1.約束條件的變化；2.目標(biāo)函數(shù)的變化；約束條件變化從封閉程度方面變化，目標(biāo)函數(shù)則從方程的幾何意義上變化，但此題型屬于高考熱點(diǎn)題型（已知封閉的約束條件，求已知的二元一次方程目標(biāo)函數(shù)），此題型屬于過渡中檔題，只需多積累各題型解決的方法即可.【題目6】(2017新課標(biāo)全國卷理6)6.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有（ ）A12種 B18種 C24種 D36種【命題意圖】本題主要考查基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，以考查考生的邏輯分析能力和運(yùn)算求解能力為主.【解析】解法一：分組分配之分人首先 分組將三人分成兩組，一組為三個(gè)人，有種可能，另外一組從三人在選調(diào)一人，有種可能；其次 排序兩組前后在排序，在對(duì)位找工作即可，有種可能；共計(jì)有36種可能.解法二：分組分配之分工作工作分成三份有種可能，在把三組工作分給3個(gè)人有可能，共計(jì)有36種可能.解法三：分組分配之人與工作互動(dòng)先讓先個(gè)人個(gè)完成一項(xiàng)工作，有種可能，剩下的一項(xiàng)工作在有3人中一人完成有種可能，但由兩項(xiàng)工作人數(shù)相同，所以要除以，共計(jì)有36種可能.解法四：占位法其中必有一個(gè)完成兩項(xiàng)工作，選出此人，讓其先占位，即有中可能；剩下的兩項(xiàng)工作由剩下的兩個(gè)人去完成，即有種可能，按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能.解法五：隔板法和環(huán)桌排列首先讓其環(huán)桌排列，在插兩個(gè)隔板，有種可能，在分配給3人工作有種可能，按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能.【知識(shí)拓展】計(jì)數(shù)原理屬于必考考點(diǎn)，?？碱}型有1.排列組合；2.二項(xiàng)式定理，幾乎二者是隔一年或隔兩年交互出題，排列組合這種排序問題?？迹呀?jīng)屬于高考常態(tài)，利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)或求奇偶項(xiàng)和也已經(jīng)屬于高考常態(tài)，尤其是利用二項(xiàng)式定理求某一項(xiàng)的系數(shù)更為突出.【題目7】(2017新課標(biāo)全國卷理7)7.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，學(xué) 科&網(wǎng)給丁看甲的成績看后甲對(duì)大家說：我還是不知道我的成績根據(jù)以上信息，則（ ）A乙可以知道四人的成績 B丁可以知道四人的成績C乙、丁可以知道對(duì)方的成績 D乙、丁可以知道自己的成績【命題意圖】本題考查推理與證明的有關(guān)知識(shí)，考查考生推理論證能力.【解析】解法一：假設(shè)法甲看乙丙成績，甲不知道自己的成績，那么乙丙成績中有一人為優(yōu)，一人為良；乙已經(jīng)知道自己的成績要么良，要么優(yōu)，丙同樣也是，當(dāng)乙看到丙的成績，一定知道自己的成績，但是丙一定不知道自己的成績；而丁同學(xué)也知道自己的成績要么良，要么優(yōu)，只有看到甲的成績，才能判斷自己的成績，丁同學(xué)也一定知道自己的成績，故只有乙丁兩位同學(xué)知道自己的成績.解法二：選項(xiàng)代入法當(dāng)我們不知道如何下手,則從選項(xiàng)入手，一一假定成立，來驗(yàn)證我們的假設(shè)是否成立，略【知識(shí)拓展】推理與證明近兩年屬于熱點(diǎn)考題，2016年的第15題（理）第16題（文），今年的理（7）文（9），屬于創(chuàng)新題，突出新穎，但題的難度不大，需要考生冷靜的思考，抓住主要知識(shí)要點(diǎn)，從而能夠快速做題，屬于中檔題.【題目8】(2017新課標(biāo)全國卷理8)8.執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）A2 B3 C4 D5【命題意圖】本題考查程序框圖的知識(shí)，意在考查考生對(duì)循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解與應(yīng)用.【解析】解法一：常規(guī)解法 ， 執(zhí)行第一次循環(huán)：；執(zhí)行第二次循環(huán)：；執(zhí)行第三次循環(huán)：；執(zhí)行第四次循環(huán)：；執(zhí)行第五次循環(huán)：；執(zhí)行第五次循環(huán)：；當(dāng)時(shí)，終止循環(huán)，輸出，故輸出值為3.解法二：數(shù)列法，裂項(xiàng)相消可得；執(zhí)行第一次循環(huán)：，當(dāng)時(shí)，即可終止，即，故輸出值為3.【題目9】(2017新課標(biāo)全國卷理9)9.若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ）A2 B C D【命題意圖】主要考查雙曲線的性質(zhì)及直線與圓的位置關(guān)系，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想.【解析】解法一：常規(guī)解法根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進(jìn)線的距離為， 圓心到漸近線的距離為，即，解得.解法二：待定系數(shù)法設(shè)漸進(jìn)線的方程為，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得圓心到漸進(jìn)線的距離為， 圓心到漸近線的距離為，即，解得；由于漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得.解法三：幾何法從題意可知：，為等邊三角形，所以一條漸近線的傾斜較為，由于，可得，漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得.解法四：坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化法根據(jù)圓的直角坐標(biāo)系方程：，可得極坐標(biāo)方程，由可得極角，從上圖可知：漸近線的傾斜角與圓的極坐標(biāo)方程中的極角相等，所以，漸近線的斜率與離心率關(guān)系為，解得.解法五：參數(shù)法之直線參數(shù)方程如上圖，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得漸近線方程為，可以表示點(diǎn)的坐標(biāo)為， ， 點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入圓方程中，解得.【知識(shí)拓展】雙曲線已成為高考必考的圓錐曲線內(nèi)容（理科），一般與三角形直線與圓向量相結(jié)合，屬于中檔偏上的題，但隨著二卷回歸基礎(chǔ)的趨勢，圓錐曲線小題雖然處于中檔題偏上位置，但難度逐年下降.【題目10】(2017新課標(biāo)全國卷理10)10.已知直三棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【命題意圖】本題考查立體幾何中的異面直線角度的求解，意在考查考生的空間想象能力【解析】解法一：常規(guī)解法在邊上分別取中點(diǎn)，并相互連接.由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面直線和所成的夾角為或其補(bǔ)角，通過幾何關(guān)系求得，利用余弦定理可求得異面直線和所成的夾角余弦值為.解法二：補(bǔ)形通過補(bǔ)形之后可知：或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，通過幾何關(guān)系可知：，由勾股定理或余弦定理可得異面直線和所成的夾角余弦值為.解法三：建系建立如左圖的空間直角坐標(biāo)系， ， 解法四：投影平移-三垂線定理設(shè)異面直線和所成的夾角為利用三垂線定理可知：異面直線和所成的夾角余弦值為.【知識(shí)拓展】立體幾何位置關(guān)系中角度問題一直是理科的熱點(diǎn)問題，也是高頻考點(diǎn)，證明的方法大體有兩個(gè)方向：1.幾何法；2.建系；幾何法步驟簡潔，但不易想到；建系容易想到，但計(jì)算量偏大，平時(shí)復(fù)習(xí)應(yīng)注意各方法優(yōu)勢和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍.【題目11】(2017新課標(biāo)全國卷理11)11.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為（ ）A. B. C. D.1【命題意圖】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的極值概念及其極大值與極小值判定條件，意在考查考生的運(yùn)算求解能力.【解析】解法一：常規(guī)解法 導(dǎo)函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)令， ，當(dāng)變化時(shí)，隨變化情況如下表：+0-0+極大值極小值從上表可知：極小值為.【知識(shí)拓展】導(dǎo)數(shù)是高考重點(diǎn)考查的對(duì)象，極值點(diǎn)的問題是非常重要考點(diǎn)之一，大題小題都會(huì)考查，屬于壓軸題，但難度在逐年降低.【題目12】(2017新課標(biāo)全國卷理12)12.已知是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）A. B. C. D.【命題意圖】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及平面向量的線性運(yùn)算數(shù)量積，意在考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解能力【解析】解法一：建系法連接，.， 最小值為解法二：均值法， 由上圖可知：；兩邊平方可得 ， ，最小值為解法三：配湊法 最小值為【知識(shí)拓展】三角形與向量結(jié)合的題屬于高考經(jīng)典題，一般在壓軸題出現(xiàn)，解決此類問題的通法就是建系法，比較直接，易想，但有時(shí)計(jì)算量偏大.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分?！绢}目13】(2017新課標(biāo)全國卷理13)13.一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則 【命題意圖】本題考查二項(xiàng)分布概念及其數(shù)字特征，意在考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.【解析】解法一：一般解法隨機(jī)變量，【知識(shí)拓展】離散型隨機(jī)變量是高考考點(diǎn)之一，隨機(jī)變量分布是熱點(diǎn)話題，正態(tài)分布和二項(xiàng)分布都以小題出現(xiàn)，且在基礎(chǔ)題位置，難度較低，在平時(shí)復(fù)習(xí)時(shí)不宜研究難題.【題目14】(2017新課標(biāo)全國卷理14)14.函數(shù)（）的最大值是 【命題意圖】本題考查三角函數(shù)同角基本關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)最值，意在考查考生轉(zhuǎn)化與化歸思想和運(yùn)算求解能力【解析】解法一：換元法 ， 設(shè)， 函數(shù)對(duì)稱軸為， 【知識(shí)拓展】此類問題屬于熱點(diǎn)題型，2016年二卷（文11）2010年和2014廣西卷均出現(xiàn)此題型，解決方法相同，但二卷近幾年不會(huì)再出了.【題目15】(2017新課標(biāo)全國卷理15)15.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列通向公式及其前項(xiàng)和以及疊加法求和，【解析】解法一：常規(guī)解法 ， ， ， 【知識(shí)拓展】本題不難，屬于考查基礎(chǔ)概念，但有一部分考生會(huì)丟掉這個(gè)條件，此處屬于易錯(cuò)點(diǎn).【題目16】(2017新課標(biāo)全國卷理16)16.已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)若為的中點(diǎn)，則 【命題意圖】本題主要考查拋物線的定義及直線與拋物線的位置關(guān)系，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸思想運(yùn)算求解的能力【解析】解法一：幾何法 點(diǎn)為線段的中點(diǎn) 【知識(shí)拓展】本題從拋物線定義入手，定比分點(diǎn)求坐標(biāo)，這是基礎(chǔ)概念題，課本習(xí)題常有練習(xí).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、解答過程或演算步驟。第1721題為必做題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。【題目17】(2017新課標(biāo)全國卷理17)17.（12分）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為 ,已知(1)求 (2)若 , 面積為2,求 【命題意圖】本題考查三角恒等變形，解三角形【試題分析】在第（）中，利用三角形內(nèi)角和定理可知，將轉(zhuǎn)化為角的方程，思維方向有兩個(gè)：利用降冪公式化簡，結(jié)合求出；利用二倍角公式，化簡，兩邊約去，求得，進(jìn)而求得.在第（）中，利用（）中結(jié)論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出（）【基本解法1】由題設(shè)及，故上式兩邊平方，整理得 解得 【基本解法2】由題設(shè)及，所以，又，所以，（）由，故又由余弦定理及得所以b=2【知識(shí)拓展】解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系，這樣的題目小而活，備受老師和學(xué)生的歡迎【題目18】(2017新課標(biāo)全國卷理18)18.（12分）淡水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比學(xué)|科網(wǎng)，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）某頻率直方圖如下：（1） 設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg, 新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg,估計(jì)A的概率；（2） 填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法（3） 根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（精確到0.01） 【命題意圖】概率統(tǒng)計(jì),獨(dú)立檢驗(yàn)等知識(shí)的綜合運(yùn)用【基本解法】（）舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為0.0125+0.0145+0.0245+0.0345+0.0405=0.62，由于兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，于是P（A）=0.620.66=0.4092（）舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的有1000.62=62箱，不低于50kg的有38箱，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg的有1000.66=66箱，低于50kg的有34箱，得到22列聯(lián)表如下： 箱產(chǎn)量0.50，不低于55kg的頻率為0.0465+0.0105+0.0085=0.320.50，于是新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)介于50kg到55kg之間，設(shè)新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)為x，則有（55-x）0.068+0.0465+0.0105+0.0085=0.50 解得x=52. 3529因此，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值52. 35?！局R(shí)拓展】首先，先表示事件，再寫出其發(fā)生的概率，將未知事件用已知事件表示，依據(jù)事件間的關(guān)系，求出未知事件的概率.統(tǒng)計(jì)的基本原理是用樣本估計(jì)總體.獨(dú)立性檢驗(yàn)，先填2*2列聯(lián)表，再計(jì)算 ,與參考值比較，作出結(jié)論；中位數(shù)的計(jì)算要根據(jù)中位數(shù)以左其頻率和為50%.求面積和計(jì)算頻率. 【題目19】(2017新課標(biāo)全國卷理19)19.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn).（1）證明：直線 平面PAB（2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值 【命題意圖】線面平行的判定，線面垂直的判定，面面垂直的性質(zhì)，線面角、二面角的求解【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明略；（2）【基本解法1】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接、因?yàn)?，所以因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫?，平面所以直線平面（2）取中點(diǎn)為，連接因?yàn)闉榈冗吶切?，所以因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面所以平面因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以所以以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)，則，所以設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在棱上，所以，即所以，所以平面的法向量為因?yàn)橹本€與底面所成角為，所以解得，所以設(shè)平面的法向量為，則令，則所以所以求二面角的余弦值【基本解法2】（1）證明：取中點(diǎn)為，連接因?yàn)?，所以，即所以四邊形為平行四邊形，所以因?yàn)槠矫妫矫嫠灾本€平面因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以因?yàn)槠矫妫矫嫠灾本€平面因?yàn)?，所以平面平面因?yàn)槠矫嫠灾本€平面（2）同上【知識(shí)拓展】線面平行的證明一般有兩個(gè)方向，線面平行的判定或面面平行的性質(zhì)。角的求解多借助空間直角坐標(biāo)系，需要注意兩個(gè)問題：（1）題中沒有現(xiàn)成的三條線兩兩垂直，需要先證明后建系；（2）是指兩個(gè)法向量的夾角，與二面角相等或互補(bǔ)，需要觀察所求二面角是銳二面角還是鈍二面角【題目20】(2017新課標(biāo)全國卷理20)20. （12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過M做x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.(1) 求點(diǎn)P的軌跡方程；(2) 設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 【命題意圖】橢圓，定值問題的探索；運(yùn)算求解能力【基本解法】（）解法一：相關(guān)點(diǎn)法求軌跡：設(shè)，,，則：,.又,所以：，則：.又在橢圓C上，所以：。所以：.解法二： 橢圓C的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.設(shè)，,，則：,.又,所以：，則：.則：.（）解法一：設(shè)，,則，,，.又,所以：即：.那么：.所以：.即過垂直于的直線過橢圓C的左焦點(diǎn)。解法二：設(shè)，,則，,，.又,所以：.又在上，所以：.又.所以：.即過垂直于的直線過橢圓C的左焦點(diǎn)?！绢}目21】(2017新課標(biāo)全國卷理21)21.（12分）已知函數(shù)且.（1）求a；（2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且.【命題意圖】本題考查函數(shù)的極值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【基本解法】(1)法一.由題知：，且 ，所以：.即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，成立.令，當(dāng)時(shí)，遞減，所以：，即：.所以：；當(dāng)時(shí)，遞增，所以：，即：.所以：；綜上：.法二.洛必達(dá)法則由題知：，且 ，所以：.即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)