【畢業(yè)學(xué)位論文】（Word原稿）分形的計(jì)算機(jī)生成及其應(yīng)用-計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)軟件技術(shù)

目錄 摘要 2 第 1 章 分形 4 其的研究課題 4 形基礎(chǔ) 7 本概念 7 數(shù) 9 第 2 章 傳統(tǒng)分形 12 造分形專用函數(shù)包 12 13 的構(gòu)造 13 的實(shí)現(xiàn) 14 線 17 線與隨機(jī) 線 17 歸分形中的生成元 20 27 27 29 第 3 章 分形模型和系統(tǒng) 31 系統(tǒng) 31 31 33 代函數(shù)系統(tǒng) 38 射變換與拼貼定理 ( 38 然景物模擬 43 型 44 形凝聚體與 型 44 然生長過程模擬及其維數(shù)的計(jì)算： 46 尺度下的 型改造 47 第 4 章 分形之應(yīng)用 48 分子分形產(chǎn)生 49 有生命活力的高分子分形分析 49 香烴族生成元的分形模擬 52 統(tǒng)與 枝 54 宙中的分形綜述 56 結(jié)束語 58 參考文獻(xiàn) 59 附錄 59 2 摘要 自從 出分形之后 ，由于它極其接近于大自然，在很多領(lǐng)域了人們一直進(jìn)行相關(guān)的研究。在本文中，通過計(jì)算機(jī)編程語言 模擬出傳統(tǒng)分形以及幾個(gè)具有代表性的模型或者系統(tǒng)產(chǎn)生的分形圖形。首先，我們介紹了被稱為分形之父的 究的課題，然后，稍微描述關(guān)于分形的定義以及維數(shù)方面的概念。其次，根據(jù)對分形的粗略理解，我們構(gòu)建了 線和 繪制出它們的有限步圖形。在分析 線的過程中，分析構(gòu)造出一種生成一類分形的方法：等長生成元和可變生成元。利用這個(gè)方法構(gòu)造出各 種奇異的線條以及根據(jù)生成元線條幾何關(guān)系計(jì)算了部分圖形的維數(shù)。再次，基于不同的目的，這里更加注重于構(gòu)造分形的三個(gè)模型或系統(tǒng)： L 系統(tǒng)，迭代函數(shù)系統(tǒng)（ 型。然后構(gòu)造出這些模型和系統(tǒng)的算法，同時(shí)在生成傳統(tǒng)分形的基礎(chǔ)上，用這些算法及其相應(yīng)的程序，對大量的自然事物進(jìn)行模擬，例如：柳條，楓樹葉，樹枝和凝聚物的生長過程等等。其間，在 用基本幾何多邊形來細(xì)化自然樹枝在 利用 算壓縮變換的系數(shù)；在 型中用 出了它在大尺度下的模型改造。最后， 利用上面的分形模型算法和程序，我們分別在微觀分子尺度、常規(guī)尺度和宇宙宏觀大尺度上分別考慮并且探討了分形的應(yīng)用。從這三個(gè)尺度上，先是利用生成元方法分析了像蛋白質(zhì)這樣的高分子分形結(jié)構(gòu)，并且模擬出一些苯的衍生物；隨后綜合運(yùn)用 統(tǒng)模擬出帶分形葉子和花朵的枝條；最終從宇宙的觀點(diǎn)，探討了宇宙的分形特征并采用分形觀點(diǎn)解釋了一些現(xiàn)象例如木星的大紅、黑斑，月亮的環(huán)形山，并推測出一些內(nèi)在的結(jié)果，如隕星的大小分布。 關(guān)鍵字：維數(shù)；生成元；傳統(tǒng)分形； 代函數(shù)系統(tǒng)； 型；高分子；宇宙 3 on it in to In by or by in a . as of is of to we of a is in we of by of on we to of or LA or At a of by to as of up of of by LA of we LA in of of of we of in of of we to of as of FS to in of we of to or on to on as of 4 第 1章 分形 多少世紀(jì)以來，歐式幾何奠定了整個(gè)科學(xué)的基礎(chǔ)，為人類進(jìn)行科學(xué)研究、生產(chǎn)實(shí)踐以及探索自然提供了有力的工具，而歐式幾何更是描述的是整數(shù)維空間的幾何學(xué)。然而自從被稱為分形之父的 B M 于它的研究如雨后春筍般涌現(xiàn)出來。如今分形的應(yīng)用涉及到幾乎所有的領(lǐng)域，可以說它無處不在。 本章將 以 方面 介紹它的 人物信息來呈現(xiàn)出他所研究的方式 、課題 及獨(dú)特的幾何觀念，另一方面介紹分形的基礎(chǔ)知識，以便后面關(guān)于 分形模擬和維數(shù)計(jì)算以及應(yīng)用方面提供良好的基礎(chǔ)。 其 的研究課題 他的分形理論出現(xiàn)之前，他一直不被各領(lǐng)域的科學(xué)家所認(rèn)同。但是，自從他的分形研究在世人面前展現(xiàn)之后，他的地位扶搖直上，成為世界上最有名氣的科學(xué)家之一。之后，科學(xué)界曾兩次為他舉行國際范圍的助手活動(dòng)，對于在不計(jì)其數(shù)的眾多科學(xué)家當(dāng)中，得到這樣的享譽(yù)，實(shí)在是一件極為不容易的事情。他獨(dú)特的思維，以 及個(gè)人成長背景，我想，正好塑造了他這個(gè)科學(xué)界的偉人。 為什么我們這里要討論下 一方面是表明他在其所開創(chuàng)的分形領(lǐng)域所作的實(shí)際貢獻(xiàn)；另一方面，從他的研究課題中可以理會其研究方法和獨(dú)特的氣質(zhì)；還有從其中引出本論文后面所涉及的相關(guān)的部分內(nèi)容以深化理解相關(guān)知識。 個(gè)人本身就在多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域“流浪”過。在早期，他進(jìn)入 物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生理學(xué)、語言學(xué)和其他一些似乎毫不相關(guān)的學(xué)科 領(lǐng)域，是博學(xué)成就了他的事業(yè)，使他成為一代偉人?？v觀 以看出他最擅長用自己的幾何直覺來分析問題。他是一個(gè)當(dāng)今為數(shù)不多通過幾何觀點(diǎn)顯現(xiàn)出如此成就的研究者。 海岸線 如果問你中國的海岸線有多長，我相信大部分人都會去找到資料，描述它具體有多少公里。其實(shí)，這只是我們作為人所能識別的尺度來測量海岸線所得的長度。以 何海岸線都是無限長的，在這種情況下長度測量已經(jīng)失去了實(shí)際意義，必須找到一個(gè)其他的量或者事物來表征不同的海岸線。 1967年芒氏在美國的科學(xué)雜志上 專門 發(fā)表 了 長度為兩頁多 的報(bào)告英國海岸線有多長 ?統(tǒng)計(jì)自相似與分?jǐn)?shù) 維， 以及在 1975出版的分形對象：形、機(jī)遇和維數(shù)也有專門一章討論到“布列塔尼的海岸線有多長？”引出的一些概念和理論知識。其實(shí)，芒氏和很多科學(xué)偉人一樣都是站在“巨人”的肩膀上才獲得如此成就。在 英國海岸線有多長 ?統(tǒng)計(jì)自相似與分?jǐn)?shù)維 文獻(xiàn)中，開篇就明確地指出：地理上的曲線都有精細(xì)結(jié)構(gòu)，它們的長度是無窮的，確切地講是不確定的，而且大多數(shù)是統(tǒng)計(jì)自相似的，即每個(gè)部分認(rèn)為是整體的縮小比例的近似。在這種情況下，這篇文章中引出了一個(gè)量 D，它用來表示自然分形的復(fù)雜程度，也就是通常說的分形維數(shù)。在研 究海岸線中，他提出了上面所說的“統(tǒng)計(jì)自相似”的概念，也發(fā)現(xiàn)出海岸線和它本身的精細(xì)結(jié)構(gòu)幾乎沒有空缺或者交叉點(diǎn)。這與 將用 隨機(jī) 于這個(gè)曲線的具體性質(zhì)和實(shí)現(xiàn)過程我們將在第二章介紹。 既然長度無法表征海岸線，那么應(yīng)該有其他量來描述塔的復(fù)雜程度。 961 年 究的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，比通常曲線維數(shù) 1要大，而且是一個(gè)分?jǐn)?shù)。當(dāng)時(shí) 是 通過經(jīng)驗(yàn)觀察，得出海岸線的長度 G 成正比，其中 G 是他用來測量海岸線的比例尺的大小，而得出的結(jié)論是 是一個(gè)依賴于海岸線的選擇。但是由于對同一海岸線的不同區(qū)段也得到不同的 ，對此 無特殊意義。但是 對 G 作雙對數(shù)曲線圖，得到一個(gè)驚人的發(fā)現(xiàn)，結(jié)果整個(gè)曲線幾乎是一條直線，斜率大概是 1D ,D 就是后面他定義的分形維數(shù)， 并且其后提出的相似維數(shù)我們后面將會討論到。 前述海岸線在分形對象：形、機(jī)遇和維數(shù)用專門的一章來提及過。其中，他進(jìn)一步對分形維數(shù)方面的概念及一些問題進(jìn)行了介紹和分析。譬如維數(shù)方面， 它重新列舉了容量維數(shù)、 相似維數(shù)和廣義維數(shù)，提出了內(nèi)位似和級聯(lián)的概念。重新對海岸線的粗略模型 些內(nèi)容我將在第二章進(jìn)行詳細(xì)介紹和分析?？傊?，分形概念的提出相當(dāng)部分應(yīng)該歸功于 且他的對前人的總結(jié)和堅(jiān)決反對世人對他的藐視看法進(jìn)行駁斥，都為他后來的成就產(chǎn)生深遠(yuǎn)影響。 隨機(jī)論 人們在談到概率分布的時(shí)候，立馬就會談到高斯正態(tài)分布。因?yàn)檎龖B(tài)分布實(shí)在太普遍了，以致于將它視為標(biāo)準(zhǔn)，不滿足正態(tài)分布的被認(rèn)為是“變態(tài)”分布。特別是維納在研 究布朗運(yùn)動(dòng)中完成了一套漂亮的數(shù)學(xué)理論之后，是人們對正態(tài)分布更是向往，因?yàn)榫S納對布朗隨機(jī)過程的研究用的正是正態(tài)分布。正因?yàn)檎龖B(tài)分布在處理某些問題上取得了空前的成功，所以“非高斯穩(wěn)定隨即過程”受重視的程度遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及正態(tài)分布。 于隨機(jī) 論方面的研究，最早是關(guān)于詞頻分布和收入分布方面。后來他又對河水的漲落以及經(jīng)濟(jì)學(xué)中的收入分布規(guī)律進(jìn)行過專門探討。另外，在 萊維穩(wěn)定分布 是最為重要的。這個(gè)分布幾乎使 他的研究完全統(tǒng)一起來，并且也溝通了自然科學(xué)中確定論體系和隨機(jī) 論體系。 期 ，經(jīng)濟(jì)學(xué)方面是他的重要研究課題。在所有的這類研究中，他似乎只關(guān)心涉及收入分布及其相關(guān)的價(jià)格問題。然而在他研究的經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，也涉及了多個(gè)非高斯的穩(wěn)定概率分布。 所謂穩(wěn)定分布指的是多個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī) 變量序列經(jīng)過適當(dāng)?shù)木€性 總和后，其分布仍然保持不變。 其中， 柯西分布和以及 其中指數(shù)介于 0和 2之間 )都屬于穩(wěn)定分布。其實(shí)， 現(xiàn)出來的就是尺度不變下的不變性，并且期間他提出了標(biāo)度理論。 同樣在隨機(jī) 處理方面，當(dāng) 曾考慮過用 后，他應(yīng)用隨機(jī)性來改善 為只有運(yùn)用隨機(jī)性，才能尋求掌握未知和不能控制對象的唯一數(shù)學(xué)模型，他發(fā)現(xiàn)這樣做效果極高。對海岸線的隨機(jī) 6 形成分屬于迭代函數(shù)進(jìn)行多次迭代產(chǎn)生的無限自相似精細(xì)結(jié)構(gòu)。自從迭代分形提出后，復(fù)式迭代過程又成為研究的熱點(diǎn)。因?yàn)槲恼卵芯康南薅?，本文后邊關(guān)于它們的分析幾乎沒有涉及到，所以這里只是稍作介紹以加深對分形對象的理解。 一個(gè)簡單明了的數(shù)學(xué)表達(dá)式能隱藏驚人的復(fù)雜性 ，一個(gè)簡單的二次多項(xiàng)式究竟有什么奧秘值得如此眾多的學(xué)者和研究人員來關(guān)注。最先，作為動(dòng)力系統(tǒng)的模型，我們大多數(shù)考慮的是它作為決定性系統(tǒng)來研究其隨時(shí)間的演化。但是最近的研究就是對這個(gè)二次多項(xiàng)式進(jìn)行復(fù)式迭代，它是屬于一 種特殊的復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)，而這些至今已經(jīng)有了非常豐富的成果。 那么復(fù)式迭代是什么呢？從數(shù)學(xué)上的語言來講，這樣的復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)是一個(gè)集合到其自身的映射。也就是說，從某一初始點(diǎn) 1z f z ,然后作 21z f z ,等等。這樣的迭代序列就是動(dòng)力系統(tǒng)后續(xù)的離散狀態(tài)，從而數(shù)學(xué)家們通過它來探索系統(tǒng)長時(shí)間的演化?，F(xiàn)在我們將要提到的是 在所有的非線性映射中，多項(xiàng)式映射可以說是最為簡單的映射， 而 2f z z c著手研究的。對于它所定義的動(dòng)力系統(tǒng)，我們已經(jīng)得到了很多的定義和性質(zhì)。當(dāng)對這個(gè)二次多項(xiàng)式進(jìn)行迭代時(shí)，我們得到一個(gè)復(fù)數(shù)序列 z ,1z , 2z ,。這樣的一個(gè)序列可能一直延伸到無窮，也可能保持有界，也就是說保持在初始點(diǎn)的一個(gè)有界范圍內(nèi)。所謂 在我們知道這樣的一個(gè)多項(xiàng)式的 充集的邊界則叫做 稱 研究的成果，得知：對于多項(xiàng)式中不同 的形狀有很大的變化（當(dāng)然對其填充集也是如此），它的外形如此多樣，此時(shí) 可能是非連通的（ 此時(shí) 就是一個(gè) 后面將涉及到） 。 的面積為 0。因此， 于我們研究的分形聯(lián)系也非常緊密。在 稱 指的是所有使 合。研究指出， 且是連通的。同時(shí)， 于 集 極為相似；當(dāng) 集中的一點(diǎn)時(shí)，它也是 繞 集觀察一個(gè)區(qū)域，然后再 湍流 流體的運(yùn)動(dòng)情況本身是十分復(fù)雜的，流體力學(xué)就是研究流體流動(dòng)的科學(xué)，其在生產(chǎn)生活、科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用十分廣泛。而湍流現(xiàn)象 是流體中的一種更加常見的流動(dòng)方式，流體在流動(dòng)過程中就伴隨著大量的渦旋運(yùn)動(dòng)，例如：快速行駛的船在船尾形成的渦旋；點(diǎn)燃的香煙，其煙氣出現(xiàn)的一團(tuán)團(tuán)的渦旋；江水在水流急速的情況出現(xiàn)的漩渦等等。湍流是近百年來的一個(gè)經(jīng)典的難于解決的問題，而湍流理論的中心問題是求納維 而這個(gè)方程無法得到解析解。 從它的提出到現(xiàn)在，人們一直在摸索如何求解這個(gè)方面，并獲得它的部分性質(zhì)。 為什么湍流受到如此眾多的人關(guān)注呢？因?yàn)橥牧魇亲匀唤绾凸こ讨衅毡榈亓鲃?dòng)現(xiàn)象，對于湍流問題的正確認(rèn)識和?；苯佑绊憣ψ匀画h(huán)節(jié)的預(yù)測和工程的質(zhì) 量。雖然我們還有很多 7 的問題懸而未決，但是因?yàn)樗咏匀缓吞蠈?shí)際，所以現(xiàn)在一直成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)。其中，最直接的表現(xiàn)就是納維 見其重要性。因?yàn)檫@個(gè)方程如此重要，很多年來人們從解析的角度做了很多的努力，但是方程就是無法求解。這時(shí) ,幾何形狀這樣一個(gè)全新方式入手，觀察湍流的繪畫，速度紀(jì)錄等等，以方便獲得基本的幾何直覺。利用自己的研究經(jīng)驗(yàn)，他也獲得了一些猜想，他認(rèn)為這些猜想將來一定能夠被證明。 先研究利用的他分形中 最為重要的概念 根據(jù)里查遜在氣象研究中與級聯(lián)有關(guān)的旋渦等級層次的概念，著手于湍流級聯(lián)的自相似。然后， 認(rèn)為：如果維納 是事實(shí)上的極限分形，他進(jìn)而猜想歐拉方程的解奇異性也是分形。 在分形的應(yīng)用關(guān)于宇宙方面的討論中，涉及到一點(diǎn)點(diǎn)渦漩的分析。 形基礎(chǔ) 本概念 自相似性、標(biāo)度不變性和特征長度 我們說一個(gè)系統(tǒng)具有自相似性指的是它的某種結(jié)構(gòu)或者過程上的特征從不同的空間或時(shí)間來看是使相似的，或者 也可以說這個(gè)系統(tǒng)或者結(jié)構(gòu)的局部性質(zhì)或局域結(jié)構(gòu)與整體類似。一般情況下我們說的自相似性不是簡單的比例放大和整 體完全重合，其實(shí)符合這種性質(zhì)的分形自然界是不存在的，只有我們?nèi)藶?構(gòu)造的自相似結(jié)構(gòu)才存在有這樣的性質(zhì)。但是自然界中表征自相似系統(tǒng)或者 結(jié)構(gòu) 的定量屬性分形維數(shù)，并不會因放大或縮小而變化，我們稱這種性質(zhì)為伸縮不變性。這也是自相似結(jié)構(gòu)的內(nèi)在屬性。 現(xiàn)在人們觀察到，這種自相似性存在各個(gè)領(lǐng)域，如地理、物理、化學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以及社會科學(xué)，它其實(shí)是自然界的普遍規(guī)律之一。前面我們介紹了 分形主題 海岸線。如果我們是在高空的飛機(jī)上觀察海岸線，可以看到它是極不規(guī)則和不光滑的曲線構(gòu)成，由許許多多的半島和港灣組成。隨著我們觀察高度的降低，也就是把我們的海岸線發(fā)達(dá)，可發(fā)現(xiàn)原來的海灣或半島由更小的海灣和半島組成。更進(jìn)一步，如果我們徒步在海岸線上行走時(shí)，會發(fā)現(xiàn)它具有更精細(xì)的結(jié)構(gòu)，這就說明海岸線具有自相似結(jié)構(gòu)。而這樣的自相似結(jié)構(gòu)在我們改變測量尺度下，無法確定其真正的長度，也就是前述長度是無窮大。再看看我們身邊的大自然世界，自相似結(jié)構(gòu)無處不在。一棵大樹是由一個(gè)主干和主干上的分叉長出的樹枝組成。你會發(fā)現(xiàn)每 截樹枝它的生長形態(tài)又和一棵整體的樹一樣，它又有很多分支。你會看到用石灰粉刷的墻壁有象植物根系一樣的裂痕，生出魔掌似的的閃電，植物葉脈的分叉形狀，一些蕨類植物的枝葉，這所有所有的都具有自相似結(jié)構(gòu)。在看看我們?nèi)祟愖约?，我們的血液循環(huán)系統(tǒng)，它的有動(dòng)脈、靜脈和毛細(xì)血管，它們是如此的錯(cuò)落有致，幾乎走遍了我們?nèi)康纳眢w。 在這里我想著重講述下由中國人創(chuàng)建的新科學(xué) 全息生物學(xué)。生活在農(nóng)村小孩子就應(yīng)該都很了解：只要將帶有枝節(jié)的葡萄枝插在有營養(yǎng)的土地里就會長出葡萄藤來；我們現(xiàn)在 的 8 吃的薯片以及番薯等等在大面積種植的時(shí)候，它并 不是由番薯一個(gè)個(gè)種 下去的，而是把種薯長出來的藤條剪成許多帶葉子的小段，每段插在地里，就可以長出番薯來，不過種植的時(shí)候一般在下雨天；種馬鈴薯的時(shí)候，把馬鈴薯塊莖用刀削開幾個(gè)口子，就可以生長；以前見過月季、菊花、仙人掌類、蘋果 和 梨 等通過嫁接生長。這樣的植物的根莖、枝條、葉子都包含了植物生長的全部信息，也就是說它存有一整套的基因，它們都能培育成一個(gè)完整的植物個(gè)體，也就正好反映了植物本身所具有的自相似性。我們所說的全息生物學(xué)研究的就是生物體部分和整體或者部分和部分在生物學(xué)特性上全息相關(guān)的規(guī)律以及其應(yīng)用。其中提出的相 似度的概念就是表示對應(yīng)部分之間生物學(xué)特性相似程度的大小 ，全息胚的相似度越大，則 全息胚之間在形態(tài)和結(jié)構(gòu)上越相似，如一株 植物的葉子之間 ，從而在后邊引出了生成元生成分形的算法。 我們在這里指出一個(gè)具有自相似特性的系統(tǒng)必定滿足標(biāo)度不變性。那么什么是標(biāo)度不變性呢？我們這里還是用拿一個(gè)島嶼作為例子：如果你從高空中觀察，你會看到這個(gè)島嶼的邊界是如此的比規(guī)則，它由很多凹凸部分，以及一些零碎的小島嶼組成。在近看，你會看到島嶼的一個(gè)區(qū)段的邊界，你發(fā)現(xiàn)在這些凹凸部分之上又不斷地“冒出”很多小的凹凸部分。接下來你來到這個(gè)島嶼的一個(gè) 海灘，你發(fā)現(xiàn)這個(gè)海灘，也不是一條直線，它可能會有很多零碎地時(shí)候，彎曲的沙灘向兩邊延伸。最后你對具體一個(gè)石頭，你也會發(fā)現(xiàn)其實(shí)石頭也是如此的凹凸不平，。從中你可以看出每次的這種類似放大的過程， 每次看到的圖像是如此的相似。因此，所謂標(biāo)度不變性是指在分形上的任選一局部區(qū)域，對它進(jìn)行放大 后，得到的放大圖又會顯示出原圖的形態(tài)特征，它的形態(tài)、復(fù)雜程度、不規(guī)則形等方面都不發(fā)生變化。 我們指出自相似體沒有特征長度，一般認(rèn)為能代表物體的幾何特征的長度就可以說是該物體的特征長度。如一個(gè)球的半徑，桌子的邊邊長，人的身高，江河的 官邸等。如果我們對物體稍加簡化，而物體的特征長度不變，那么它的幾何性質(zhì)就不會有太多的變化。我們把一個(gè)原木和在遠(yuǎn)處的電線桿一起樹立，它們之 間沒有太大的差別。這些具有特征長度的最基本形狀都有一個(gè)共同的性質(zhì) ，它們都是平滑幾乎處處可微的。其實(shí)我們描述的這類物體是一種對現(xiàn)實(shí)事物理想化和簡單化的產(chǎn)物，可以說自然界不存在有這種有特征長度的物體，相當(dāng)一部分我們見到的就是沒有特征長度的分形。例如云就是具有自相似性的物體，我們對云的邊界描述，它不是球的一部分表面。如果要細(xì)致的描述，可以由一部分小的球表面的結(jié)合，然而要完全描述云 的話，那么必須有無窮個(gè)這樣的球表面進(jìn)行結(jié)合才能表現(xiàn)出云的如此復(fù)雜的自相似表面。其實(shí)我們這里提出的自相似和標(biāo)度不變性還有特征長度都有非常密切的聯(lián)系，自相似的物體必然滿足標(biāo)度不變性，而且它沒有特征長度。 分形的概念 現(xiàn)在我們知道分形理論中很多概念早在 久之前就已經(jīng)出現(xiàn)了，例如多這樣的處處不可微的圖形，被稱為反常的現(xiàn)象，但是 今世界舉目的分形，并創(chuàng)立了分形幾何學(xué)，如今分形在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用在短短的二 、三十年中就迅猛發(fā)展。 于是， 試給分形下一個(gè)明確的定義：分形是滿足數(shù)嚴(yán)格大于其拓?fù)渚S數(shù)的集合。這里邊引入了 數(shù)的概念，它將在接下來的維數(shù)一節(jié)中介紹。我們說的集合的拓?fù)渚S數(shù)都是早就為人接受的非負(fù)整數(shù)維。即一個(gè)點(diǎn)是零維，直線線是 1維的，平面是 2維的，空間是 3維的，。但這也 9 有一些分形如 維的。因此，后來 分與整體以某種方式相似的圖形 稱為分形。這個(gè)定義重點(diǎn)體現(xiàn)的是 分形具有自相似結(jié)構(gòu)，著重提顯出分形的局部與局部、局部與整體在形態(tài) 、功能和性質(zhì)等方面的相似性，但是這樣不能解釋像直 線、圓等不是分形。這樣，從嚴(yán)格意義上對分形進(jìn)行嚴(yán)格定義比較困難。 這樣我們總結(jié)自然界的分形，它應(yīng)該具有的性質(zhì)和特征，歸納這樣一個(gè)集合 合 果它滿足如下幾個(gè)典型性質(zhì)： 在任意小的尺度下，它一直存在有與整體相似的細(xì)節(jié)； 的整體和局部都 不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述； 種自相似可以是完全自相似的，也可以是統(tǒng)計(jì)意義下的； 一般情況下， 一般 能由迭代過程產(chǎn)生。 上面所說的分形具有的這些性質(zhì)用來完全確定分形也仍然不很明確，里邊的這些性質(zhì)的說法也是模棱兩可的。但是從這個(gè)定義形式下，我們大致了解到分形大概的特征，甚至可以想象到分形具有的簡單美和復(fù)雜美。 數(shù) 分形提出不到半個(gè)世紀(jì)，它的應(yīng)用可算是空前絕后，但如今沒有一個(gè)有關(guān)于分形的確切定義。同樣關(guān)于分形圖形維數(shù)的計(jì)算方法也是多種多樣，對不同的問題采用不同定義計(jì)算維數(shù)。本節(jié)主要介紹分形維數(shù)最初的理論基礎(chǔ)定義 在所有我們分析的分形維數(shù)中， 數(shù)可以說是最古老最重要的一種。它的優(yōu)點(diǎn)在于它適用于任何點(diǎn)集 ，同時(shí)它也是建立在測度的基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)上的研究要很方便。正是由于至一點(diǎn)，很多情況下，用來實(shí)際 計(jì)算或估計(jì)集合的維數(shù)時(shí)，卻比較難。但它作為數(shù)學(xué)理論上的應(yīng)用是有特別重要的地位。在我們介紹 數(shù)之前，我們必須先說明下純屬數(shù)學(xué)上的定義。 假設(shè) U 為歐式空間 任 意 非 空 子 集 ， 且 U 的 直 徑 的 定 義 為 s u p : ,U x y x y U ，即 U 內(nèi)任意兩點(diǎn)距離的最大值。如果 有限或者可數(shù)個(gè)點(diǎn)集構(gòu)成的點(diǎn)集序列，則我們說 成點(diǎn)集 F 的一個(gè) 覆 蓋 ，也就是說： 對 i 且有 0 ，滿足 1 (此時(shí)，如果有 F 為 的任意子集， s 是一個(gè)非負(fù)數(shù)，我們考察對任意直徑不超過 的 10 F 的覆蓋，使得這些直徑冪的和最小，即定義： s 1i n f : U F 為 的 任 意 覆 蓋H (已經(jīng)知道 減少時(shí)， s FH 隨之增加，所以當(dāng) 0 時(shí)，我們記極限值為 i (其中對于任意的子集 F 這樣的極限值都存在，且極限值一般為 0或者 。此時(shí)我們稱 (中的 s F 的 定義可以看出，空集的 ，且若 ，則 H。 度是對長度，面積和 體積的推廣。我們知道當(dāng)尺度比例放大 k 倍時(shí)，相應(yīng)的長度、面積和體積將分別放大 k 、 2k 和 3k 倍，其中的指數(shù) 1， 2和 3就是通常所說的拓?fù)渚S數(shù)。對于 放大 。 此時(shí)，我們從式 (式 (過來看 s。容易看出對任意的點(diǎn)集 F 以及 1 ， s FH 對 如果 ，則有 ， F 的 覆 蓋 兩邊同時(shí)取下確界就得到 0 ,可知若 s F H ，則 t 0F H ，當(dāng) ，則 t F H 。此時(shí)，也就是說，存在 s 跳躍到 0，我們稱這個(gè) 臨界值為 F 的 為 F 。精確地表示為 i m i n f : 0 s u p :H F s F s F 此時(shí)可知到 可取 0或無窮或者兩者之間。 盒維數(shù) 盒維數(shù) (稱為計(jì)盒維數(shù)或容量維數(shù)。由于盒維數(shù)的計(jì)算相對于其他維數(shù) 11 而言要方便，所以它可以說是應(yīng)用最為廣泛的維數(shù)之一。下面引出盒維數(shù)的數(shù)學(xué)定義。 假設(shè) 是一個(gè)非空有界子集， 是直徑最大為 可以覆蓋 F 的最少集合數(shù)，定義 F 的上、下盒維數(shù)為 0l o gd i m l i ml o 0l o gd i m l i ml o 如果這兩個(gè)極限相等，則稱極限為集合 F 的盒維數(shù)，記為 0l o gd i m l i ml o 。 經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兓陀懻?，我們以上面的定義來確定盒維數(shù)，對于 的確定可以由下面的方式等價(jià)計(jì)算： 覆蓋 F 的半徑為 的最小閉球數(shù)，對于二維而言就是圓； 覆蓋 F 的邊長為 的最小立方體數(shù)，對于二維而言就是正方形； 與 F 相交 的 于二維而言就是矩形網(wǎng)格； 覆蓋 F 的直徑最大為 的最少集合數(shù)，就是上面定義中的情況； 球心在 F 上，半徑為 的相互不交的球的最多個(gè)數(shù)。 其實(shí)這樣的等價(jià)計(jì)算方法還有很多，根據(jù)你所考慮的圖形的具體情況來選擇實(shí)現(xiàn)計(jì)算的方法，這里我們對 的二維分形圖形的維數(shù)計(jì)算提出一個(gè)可行的 方法 盒維數(shù)計(jì)算方法 ：選取一個(gè)合適的正方形，它完全覆蓋點(diǎn)集 F ，并取任意比較小的正數(shù) ，任意給定一個(gè)較小的正數(shù) (這個(gè)數(shù)據(jù)討論的圖形而具體確定 )，以 為邊長對上面的這個(gè)正方形進(jìn)行網(wǎng)格分割成若干小方格。對這個(gè)正方形內(nèi)的所有像素進(jìn)行掃描，記錄包含 F 中的點(diǎn)的小方格數(shù)，記為 ,并計(jì)算比值 = 。縮小比例 (如取 /2 )，如果前后兩個(gè)比值的差大于 ，則重復(fù) 上面操作， 否則 此時(shí)的比值就是為集合 。 其實(shí)，最后計(jì)算盒維數(shù)還有方法，就是每次記錄算法 和 ，多次運(yùn)行算法后，作這兩個(gè) 量的對數(shù)圖，則圖形幾乎是位于一條直線的旁邊，它的斜率的相反數(shù)就是盒維數(shù)。 相似維數(shù) 自相似性是 分形研究中經(jīng)常提到的一個(gè)概念，它曾用自相似性來定義分形。我們后面將要討論的 于自相似集合，我們定義相似維數(shù)為 /s k 其中 k 是相似比例因子， n 是按 比例因子組成 F 的相似子集的個(gè)數(shù)。舉個(gè)例子來說：平 12 面上的一個(gè)正方形，那么這樣一個(gè)正方形，可以看作由比例系數(shù) 1/k 的 2k 個(gè)小正方形構(gòu)成的，這時(shí)由上面相似維數(shù)得 ；同樣，如果對于立方體，可以看作由比例系數(shù) 1/k 的 3k 個(gè)小正方體，從而相似維數(shù)為 3 。這些正同我們在普通意義的維數(shù)一樣。 相似維數(shù)最適合有自相似結(jié)構(gòu)的規(guī)則分形的維數(shù)計(jì)算，特別適合于后面我們提到的分形元生成分形的情況。如果在生成分