2016年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科）含答案解析

第 1 頁（共 20 頁） 2016 年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，滿分 60分） 1已知集合 A=x| 3 x 3， B=x|x（ x 4） 0，則 A B=（ ） A（ 0， 4） B（ 3， 4） C（ 0， 3） D（ 3， 4） 2已知復(fù)數(shù) z= ，則 對應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知 =（ =（ 2， 1），若 ，則 ） A 2 B 2 C D 4下列有關(guān)命題的說法正確的是（ ） A命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1” B “x=1”是 “5x 6=0”的必要不充分條件 C命題 “xR 使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命題 “若 x=y，則 逆否命題為真命題 5雙曲線 =1 的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（ ） A B C 1 D 6設(shè)變量 x， y 滿足約束條件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=2x+3y+1 的最大值為（ ） A 11 B 10 C 9 D 某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行輸出的 k 值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 第 2 頁（共 20 頁） 8已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+1） =f（ x），當(dāng) 0 x 時(shí)， f（ x） =4x，則 f（ ） =（ ） A B C 1 D 9已知函數(shù) y=y=2 下列結(jié)論正確的是（ ） A兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）成中心對稱 B 的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的 2 倍，再向右平移 個(gè)單位即得 的圖象 C兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間（ ， ）上都是單調(diào)遞增函數(shù) D兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同 10如圖是一個(gè)四面體的三視圖，這個(gè)三視圖均是腰長為 2 的等腰直角三角形，正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線，則該四面體的體積為（ ） A B C D 2 11已知函數(shù) f（ x） =x+ ， g（ x） =2x+a，若 ， 3， 2， 3，使得 f（ g（ 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A a1 B a1 C a0 D a0 12如圖所示，直線 y=m 與拋物線 x 交與 點(diǎn) A，與圓（ x 2） 2+6 的實(shí)線部分交于點(diǎn) B， F 為拋物線的焦點(diǎn)，則 周長的取值范圍是（ ） A（ 6， 8） B（ 4， 6） C（ 8， 12） D（ 8， 10） 二、填空題（共 4小題，每小題 5分，滿分 20分） 13拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為 a， b，那么直線 bx+ 的斜率 k 的概率是 14已知正項(xiàng)等比數(shù)列 ， a2a556， ，則數(shù)列 公比為 第 3 頁（共 20 頁） 15在半徑為 10球面上有 A、 B、 C 三點(diǎn)，如果 ， 0，則球心 O 到平面 距離為 16在 ，角 A、 B、 C 所對的邊分別 a、 b、 c，且滿足 b2+a2= 0，a= ，則邊 b 的取值范圍是 三、解答題（共 5小題，滿分 60分） 17等差數(shù)列 ， ， 6 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式 （ 2）設(shè) ， Tn=b1+b2+ 18某學(xué)校高三年級有學(xué)生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了 100 名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成 5 組： 100， 110），110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖 （ 1）從樣本中分?jǐn)?shù)小于 110 分的學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 人，求兩人恰好為一男一女的概率； （ 2）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于 130 分的學(xué)生為 “數(shù)學(xué)尖子生 ”，請你根據(jù)已知條件完成 22 列聯(lián)表，并判斷是否有 90%的把握認(rèn)為 “數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān) ”？ P（ K2 ： 19如圖， 圓 O 的直徑，點(diǎn) C 在圓 O 上，矩形 在的平面垂直于圓 O 所在的平面， ， （ 1）證明：平面 平面 （ 2）當(dāng)三棱錐 C 體積最大時(shí)，求點(diǎn) C 到平面 距離 第 4 頁（共 20 頁） 20已知點(diǎn) A（ 0， 2），橢圓 E： + =1（ a b 0）的離心率為 ， F 是橢圓的焦點(diǎn)，直線 斜率為 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) （ ）求 E 的方程； （ ）設(shè)過點(diǎn) A 的直線 l 與 E 相交于 P， Q 兩點(diǎn)，當(dāng) 面積最大時(shí)，求 l 的方程 21已知關(guān)于 x 的函數(shù) f（ x） = （ 1）當(dāng) a=0 時(shí)， 求函數(shù) y=f（ x）的單調(diào)區(qū)間； 若方程 f（ x） =k 有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍； （ 2）若 f（ x） 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值 選修 4何證明選講 22如圖， 平分線與 外接圓分別相交于 D 和 E，延長 過 D，E， C 三點(diǎn)的圓于點(diǎn) F （ 1）求證： F； （ 2）若 ， ，求 F 的值 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23已知曲線 線 =2 ），以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為 x 軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系 （ 1）求曲線 （ 2）求曲線 到直線 距離的最大值 選修 4等式選講 24已知函數(shù) f（ x） =|x 2| |x+1| （ 1）解不等式 f（ x） 1 （ 2）當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù) g（ x） = （ a 0）的最小值總大于函數(shù) f（ x），試求實(shí)數(shù)a 的取值范圍 第 5 頁（共 20 頁） 2016 年湖南省長沙市高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，滿分 60分） 1已知集合 A=x| 3 x 3， B=x|x（ x 4） 0，則 A B=（ ） A（ 0， 4） B（ 3， 4） C（ 0， 3） D（ 3， 4） 【考點(diǎn)】 并集及其運(yùn)算 【分析】 利用并集的性質(zhì)求解 【解答】 解： 集合 A=x| 3 x 3， B=x|x（ x 4） 0=x|0 x 4， A B=x| 3 x 4=（ 3， 4） 故選： B 2已知復(fù)數(shù) z= ，則 對應(yīng)的點(diǎn)在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 化簡已知復(fù)數(shù)，可得其共軛復(fù)數(shù) ，由復(fù)數(shù)的幾何意義可得 【解答】 解：化簡可得 z= = = = 2+i， = 2 i， 對應(yīng)的點(diǎn)為（ 2， 1），在第三象限， 故選： C 3已知 =（ =（ 2， 1），若 ， 則 ） A 2 B 2 C D 【考點(diǎn)】 數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系 【分析】 由向量垂直的性質(zhì)得 = 2，從而 此能求出= 【解答】 解： =（ =（ 2， 1）， ， = 2， = 故選 ： C 第 6 頁（共 20 頁） 4下列有關(guān)命題的說法正確的是（ ） A命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1” B “x=1”是 “5x 6=0”的必要不充分條件 C命題 “xR 使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+1 0” D命題 “若 x=y，則 逆否命題為真命題 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 寫出命題的否定判斷 A；求解方程后結(jié)合充分必要條件的判斷方法判斷 B；寫出特稱命題的否定判斷 C；由互為逆否命題的兩個(gè)命題共真假判斷 D 【解答】 解： 命題 “若 ，則 x=1”的否命題為： “若 ，則 x1”，故 A 錯(cuò)誤； 由 5x 6=0，解得 x= 1 或 x=6， “x=1”是 “5x 6=0”的既不充分也不必要條件，故 B 錯(cuò)誤； 命題 “xR 使得 x2+x+1 0”的否定是： “xR，均有 x2+x+10”，故 C 錯(cuò)誤； 命題 “若 x=y，則 真命題， 其逆否命題為真命題，故 D 正確 故選： D 5雙曲線 =1 的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（ ） A B C 1 D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由 a2=m， ，利用 可得右焦點(diǎn) F 取漸近線 y= x利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出 【解答】 解： a2=m， ， = 可得右焦點(diǎn) F 取漸近線 y= x，即 x y=0 右焦點(diǎn) F 到漸近線的距離 d= =1 故選： C 6設(shè)變量 x， y 滿足約束條 件 ，則目標(biāo)函數(shù) z=2x+3y+1 的最大值為（ ） A 11 B 10 C 9 D 考點(diǎn)】 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 【分析】 首先做出可行域，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為 ，求 z 的最大值，只需求直線 l： 在 y 軸上截距最大即可 【解答】 解：做出可行域如圖所示： 第 7 頁（共 20 頁） 將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為 ， 欲求 z 的最大值， 只需求直線 l： 在 y 軸上的截距的最大值即可 作出直線 ，將直線 行移動(dòng)，得到一系列的平行直線當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn) A 時(shí)在 時(shí) z 最大 由 可求得 A（ 3， 1）， 將 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入 z=2x+3y+1 解得 z 的最大值為 23+31+1=10 故選 B 7某程序框圖 如圖所示，該程序運(yùn)行輸出的 k 值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考點(diǎn)】 循環(huán)結(jié)構(gòu) 【分析】 分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)計(jì)算 S， k 值并輸出 k，模擬程序的運(yùn)行過程，即可得到答案 第 8 頁（共 20 頁） 【解答】 解：程序在運(yùn)行過程中各變量的值如下表示： S k 是否繼續(xù)循環(huán) 循環(huán)前 100 0/ 第一圈 100 201 是 第二圈 100 20 212 是 第六圈 100 20 21 22 23 24 25 0 6 是 則輸出的結(jié)果為 7 故選 C 8已知定義在 R 上的奇函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+1） =f（ x），當(dāng) 0 x 時(shí)， f（ x） =4x，則 f（ ） =（ ） A B C 1 D 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)函數(shù)的奇函數(shù)得 f（ ） = f（ ），再根據(jù) f（ x+1） =f（ x），把） = f（ ）= f（ +1） = f（ ），進(jìn)而求解 【解答】 解：因?yàn)楹瘮?shù)的奇函數(shù)， 所以 f（ ） = f（ ） 又 f（ +1） =f（ ） = = ， 所以 f（ ） = 故選 A 9已知函數(shù) y=y=2 下列結(jié)論正確的是（ ） A兩個(gè)函數(shù)的圖象均關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）成中心對稱 B 的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的 2 倍，再向右平移 個(gè)單位即得 的圖象 C兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間（ ， ）上都是單調(diào)遞增函數(shù) D兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正弦函數(shù)；二倍角的正弦；正弦函數(shù)的單調(diào)性；正弦函數(shù)的對稱性 【分析】 函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡為一個(gè)角的正弦函數(shù)； 函數(shù)解析式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡為一個(gè)角的正弦函數(shù)，然后分別對各項(xiàng)判斷即可 【解答】 解： y=x+ ）， y=2 第 9 頁（共 20 頁） A、 中的函數(shù)令 x+ =kZ），解得： x=（ kZ），故（ ， 0）為函數(shù)對稱中心； 中的函數(shù)令 2x=kZ），解得： x= （ kZ），故（ ， 0）不是函數(shù)對稱中心，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、 向右平移 個(gè)單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的 倍，即得 ，本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、 令 +2kx+ +2kZ），解得： +2kx +2函數(shù)在區(qū)間（ ， ）上是單調(diào)遞增函數(shù)； 令 +2x +2kZ），解得： +kx +函數(shù)在區(qū)間（ ，）上是單調(diào)遞增函數(shù)，本選項(xiàng)正確； D、 =1， T=2； =2， T=，本選項(xiàng)錯(cuò)誤， 故選 C 10如圖是一個(gè)四面體的三視圖，這個(gè)三視圖均是腰長為 2 的等腰直角三角形，正視圖和俯視圖中的虛線是三角形的中線，則該四面體的體積為（ ） A B C D 2 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由四面體的三視圖得該四面體為棱長為 2 的正方體 的三棱錐中 E 是 點(diǎn)，由此能求出該四面體的體積 【解答】 解：由四面體的三視圖得該四面體為棱長為 2 的正方體 1 其中 E 是 點(diǎn)， 積 ，三棱錐 高 h=， 該四面體的體積： V= = 第 10 頁（共 20 頁） 故選： A 11已知函數(shù) f（ x） =x+ ， g（ x） =2x+a，若 ， 3， 2， 3，使得 f（ g（ 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A a1 B a1 C a0 D a0 【考點(diǎn)】 全稱命題 【分析】 由 ， 3，都 2， 3，使得 f（ g（ 可得 f（ x）在 ， 3的最小值不小于 g（ x）在 2， 3的最小值，構(gòu)造關(guān)于 a 的不等式，可得結(jié)論 【解答】 解：當(dāng) ， 3時(shí)，由 f（ x） =x+ 得， f（ x） = ， 令 f（ x） 0，解得： x 2，令 f（ x） 0，解得： x 2， f（ x）在 ， 2單調(diào)遞減，在（ 2， 3遞增， f（ 2） =4 是函數(shù)的最小值， 當(dāng) 2， 3時(shí)， g（ x） =2x+a 為增函數(shù)， g（ 2） =a+4 是函數(shù)的最小值， 又 ， 3，都 2， 3，使得 f（ g（ 可得 f（ x）在 ， 3的最小值不小于 g（ x）在 2， 3的最小值， 即 4a+4，解得： a0， 故選： C 12如圖所示，直線 y=m 與拋物線 x 交與點(diǎn) A，與圓（ x 2） 2+6 的實(shí)線部分交于點(diǎn) B， F 為拋物線的焦點(diǎn)，則 周長的取值范圍是（ ） A（ 6， 8） B（ 4， 6） C（ 8， 12） D（ 8， 10） 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 第 11 頁（共 20 頁） 【分析】 由拋物線定義可得 |，由已知條件推導(dǎo)出 周長 =6+此能求出三角形 周長的取值范圍 【解答】 解：拋物線的準(zhǔn)線 l： x= 2，焦點(diǎn) F（ 2， 0）， 由拋物線定義可得 |， 周長 =|+（ +4=6+ 由拋物線 x 及圓（ x 2） 2+6， 得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2， 2， 6） 6+ 8， 12） 三角形 周長的取值范圍是（ 8， 12） 故選： C 二、填空題（共 4小題，每小題 5分，滿分 20分） 13拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為 a， b，那么直線 bx+ 的斜率 k 的概率是 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足直線 bx+ 的斜率 k 的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出直線 bx+ 的斜率 k 的概率 【解答】 解：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為 a， b， 基本事件總數(shù) n=66=36， 直線 bx+ 的斜率 k= ， 滿足直線 bx+ 的斜率 k 的基本事件有： （ 3， 1），（ 4， 1），（ 5， 1），（ 5， 2），（ 6， 1），（ 6， 2），共 6 個(gè)， 直線 bx+ 的斜率 k 的概率 p= = 故答案為： 14已知正項(xiàng)等比數(shù)列 ， a2a556， ，則數(shù)列 公比為 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】 由題意和等比數(shù)列的性質(zhì)可得 56，解得 通項(xiàng)公式可得公比 【解答】 解： 正項(xiàng)等比數(shù)列 ， a2a556， 第 12 頁（共 20 頁） a2a556，解得 ， 又 ， 數(shù)列 公比 q= = 故答案為： 15在半徑為 10球面上有 A、 B、 C 三點(diǎn)，如果 ， 0，則球心 O 到平面 距離為 6 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算 【分析】 設(shè) A、 B、 C 三點(diǎn)所在圓的半徑為 r，圓心為 O，從而可解得 r=8；從而求答案 【解答】 解：設(shè) A、 B、 C 三點(diǎn)所在圓的半徑為 r，圓心為 O， 則 0， 20； 則在等腰三角形 ， =8； 即 r=8； 故球心 O 到平面 距離為 =6（ 故答 案為： 6 16在 ，角 A、 B、 C 所對的邊分別 a、 b、 c，且滿足 b2+a2= 0，a= ，則邊 b 的取值范圍是 （ ， 1） 【考點(diǎn)】 余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 利用已知代入到余弦定理中求得 值，進(jìn)而求得 A，利用平面向量的運(yùn)算可得 B 的范圍， 利用正弦定理即可得解 b 的取值范圍 【解答】 解：在 ， b2+a2=余弦定理可得 = = ， A 是三角形內(nèi)角， A=60， =| | | B） 0， B 是鈍角 90 B 120，可得： ， 1） 又 a= ， 由正弦定理可得 b= = ， 1） 故答案為：（ ， 1） 第 13 頁（共 20 頁） 三、解答 題（共 5小題，滿分 60分） 17等差數(shù)列 ， ， 6 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式 （ 2）設(shè) ， Tn=b1+b2+ 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 設(shè)等差數(shù)列 公差為 d，則有 ，解之可得 ， d=2，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（ 2）把（ 1）的結(jié)果代入可得 通項(xiàng)，由列項(xiàng)相消法可得答案 【解答】 解：（ 1）設(shè)等差 數(shù)列 公差為 d，則有 解得： ， d=2， an=a1+d（ n 1） =6+2（ n 1） =2n+4 （ 2） = = Tn=b1+b2+ + + = = 18某學(xué) 校高三年級有學(xué)生 500 人，其中男生 300 人，女生 200 人，為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了 100 名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成 5 組： 100， 110），110， 120）， 120， 130）， 130， 140）， 140， 150分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖 （ 1）從樣本中分?jǐn)?shù)小于 110 分的學(xué)生中隨機(jī)抽取 2 人，求兩人恰好為一男一女的概率； （ 2）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于 130 分的學(xué)生為 “數(shù)學(xué)尖子生 ”，請你根據(jù)已知條件完成 22 列聯(lián)表，并判斷是否有 90%的把握認(rèn)為 “數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān) ”？ P（ K2 ： 【考點(diǎn)】 獨(dú)立性檢驗(yàn)；頻率分布直方圖 第 14 頁（共 20 頁） 【分析】 （ 1）根據(jù)分層抽樣原理計(jì)算抽取的男、女生人數(shù)，利用列舉法計(jì)算基本事件數(shù)，求出對應(yīng)的概率值； （ 2）由頻率分布直方圖計(jì)算對應(yīng)的數(shù) 據(jù)，填寫列聯(lián)表，計(jì)算 ，對照數(shù)表即可得出概率結(jié)論 【解答】 解：（ 1）由已知得，抽取的 100 名學(xué)生中，男生 60 名，女生 40 名， 分?jǐn)?shù)小于等于 110 分的學(xué)生中， 男生人有 60（人），記為 女生有 40（人），記為 從中隨機(jī)抽取 2 名學(xué)生，所有的可能結(jié)果共有 10 種，它們是： （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 其中，兩名學(xué)生恰 好為一男一女的可能結(jié)果共有 6 種，它們是： （ （ （ （ （ （ 故所求的概率為 P= = （ 2）由頻率分布直方圖可知， 在抽取的 100 名學(xué)生中，男生 605（人），女生 405（人）； 據(jù)此可得 22 列聯(lián)表如下： 數(shù)學(xué)尖子生 非數(shù)學(xué)尖子生 合計(jì) 男生 15 45 60 女生 15 25 40 合計(jì) 30 70 100 所以得 = 因?yàn)?所以沒有 90%的把握認(rèn)為 “數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān) ” 19如圖， 圓 O 的直徑，點(diǎn) C 在圓 O 上，矩形 在的平面垂直于圓 O 所在的平面， ， （ 1）證明：平面 平面 （ 2）當(dāng)三棱錐 C 體積最大時(shí)，求點(diǎn) C 到平面 距離 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面垂直的判定；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算 【分析】 （ 1） 出 平面 后證明平面 平面 （ 2）通過 E 出棱錐的體積的最大值，求解底面面積，設(shè)點(diǎn) C 到平面 h，利用體積公式求出距離即可， 第 15 頁（共 20 頁） 【解答】 （ 1） 直徑， ， 又四邊形 矩形， C=C， 平面 平面 又 面 平面 平面 （ 2）解：由（ 1）知 E = = = ， ， 當(dāng)且僅當(dāng) C=2 時(shí)等號成立 ， 當(dāng) C=2 三棱錐 C 積最大為： ， 此時(shí)， ， ， 設(shè)點(diǎn) C 到平面 距離為 h，則 h= 20已知點(diǎn) A（ 0， 2），橢圓 E： + =1（ a b 0）的離心率為 ， F 是橢圓的焦點(diǎn)，直線 斜率為 ， O 為坐標(biāo)原點(diǎn) （ ）求 E 的方程； （ ）設(shè)過點(diǎn) A 的直線 l 與 E 相交于 P， Q 兩點(diǎn)，當(dāng) 面積 最大時(shí)，求 l 的方程 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）通過離心率得到 a、 c 關(guān)系，通過 A 求出 a，即可求 E 的方程； （ ）設(shè)直線 l： y=2，設(shè) P（ Q（ y=2 代入 ，利用 0，求出 k 的范圍，利用弦長公式求出 |然后求出 面積表達(dá)式，利用換元法以及基本不等式求出最值，然后求解直線方程 【解答】 解：（ ） 設(shè) F（ c， 0），由條件知 ，得 又 ， 所以 a=2 ， b2=，故 E 的方程 （ ）依題意當(dāng) l x 軸不合題意，故設(shè)直線 l： y=2，設(shè) P（ Q（ 第 16 頁（共 20 頁） 將 y=2 代入 ，得（ 1+4162=0， 當(dāng) =16（ 43） 0，即 時(shí)， 從而 又點(diǎn) O 到直線 距離 ，所以 面積 = ， 設(shè) ，則 t 0， ， 當(dāng)且 僅當(dāng) t=2， k= 等號成立，且滿足 0， 所以當(dāng) 面積最大時(shí)， l 的方程為： y= x 2 或 y= x 2 21已知關(guān)于 x 的函數(shù) f（ x） = （ 1）當(dāng) a=0 時(shí)， 求函數(shù) y=f（ x）的單調(diào)區(qū)間； 若方程 f（ x） =k 有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍； （ 2）若 f（ x） 恒成立，求實(shí)數(shù) a 的取值 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)恒成立問題 【分析】 （ 1） 先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間， 根函數(shù)單調(diào)性和最值分類討論即可求出 k 的范圍； （ 2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值即可求出 a 的值 【解答】 解：（ 1） 當(dāng) a=0 時(shí)， f（ x） = ，其定義域?yàn)椋?0， 1） （ 1， +） f（ x） = ， 當(dāng) f（ x） 0 時(shí)，解得 x e，函數(shù)單調(diào)遞增， 當(dāng) f（ x） 0 時(shí)，解得 0 x 1 或 1 x e，函數(shù)單調(diào)遞減， f（ x）在（ 0， 1），（ 1， e）單調(diào)遞減，在（ e， +）上單調(diào)遞增， 當(dāng) x 1 時(shí)，由 知， f（ x） f（ e） = =e， 方程 f（ x） =k 有兩個(gè)不同的根， k e， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)，函數(shù) f（ x）在（ 0， 1）單調(diào)遞減，此時(shí)方程 f（ x） =k 不可能有兩個(gè)不同的根， 綜上所述 k 的取值范圍為（ e， +）； 第 17 頁（共 20 頁） （ 2） f（ x） 恒成立， f（ x） = 恒成立， 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， ax 令 =t，則 0 t 1， a2 g（ t） =2 g（ t） =2t 2 2 令 h（ t） =2t 2 2 h（ t） =2（ 1 ） 0， h（ t）在（ 0， 1）上單調(diào)遞減， h（ t） h（ 1） =0， g（ t） 0，在（ 0， 1）上恒成立， g（ t）在（ 0， 1）上單調(diào)遞增