高中數(shù)學(xué) 小專(zhuān)題復(fù)習(xí)課 熱點(diǎn)總結(jié)與強(qiáng)化訓(xùn)練(四)課件 理 新人教A版.ppt

熱點(diǎn)總結(jié)與強(qiáng)化訓(xùn)練 四 熱點(diǎn)1空間幾何體的三視圖及其表面積 體積1 本熱點(diǎn)在高考中的地位柱 錐 臺(tái) 球及其簡(jiǎn)單組合體 三視圖 直觀(guān)圖等內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ) 是研究空間問(wèn)題的基本載體 也是高考對(duì)立體幾何考查的一個(gè)重要方面 其中幾何體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖是高考的熱點(diǎn) 從近幾年的新課標(biāo)高考來(lái)看 對(duì)三視圖的考查每年都有 主要以選擇題 填空題的形式考查三視圖 幾何體的表面積 體積的計(jì)算 且難度有逐年加大的趨勢(shì) 2 本熱點(diǎn)在高考中的命題方向及命題角度從高考來(lái)看 對(duì)三視圖的考查每年都有所變化 主要有以下幾種方式 1 由幾何體畫(huà)三視圖或考查對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖的識(shí)別 2 由三視圖還原幾何體 主要考查對(duì)空間幾何體的認(rèn)識(shí)及空間想象能力 3 借助于三視圖研究幾何體 將三視圖與幾何體的表面積 體積的計(jì)算結(jié)合在一起進(jìn)行考查 另外 此類(lèi)問(wèn)題也可能以解答題的形式進(jìn)行綜合考查 以三視圖的形式給出幾何體的特征 進(jìn)一步考查空間中的位置關(guān)系 1 識(shí)與畫(huà)三視圖的關(guān)鍵點(diǎn) 1 要牢記三視圖的觀(guān)察方向和長(zhǎng) 寬 高的關(guān)系 三視圖的正視圖 側(cè)視圖 俯視圖分別是從物體的正前方 正左方 正上方看到的物體輪廓線(xiàn)的正投影圍成的平面圖形 反映了一個(gè)幾何體各個(gè)側(cè)面的特點(diǎn) 正視圖反映物體的主要形狀特征 是三視圖中最重要的視圖 俯視圖要和正視圖對(duì)正 畫(huà)在正視圖的正下方 側(cè)視圖要畫(huà)在正視圖的正右方 高度要與正視圖平齊 2 要熟悉各種基本幾何體的三視圖 2 空間幾何體的表面積和體積 1 柱體 錐體 臺(tái)體的側(cè)面積就是各個(gè)側(cè)面積之和 表面積就是各個(gè)面的面積之和 即側(cè)面積和底面積之和 2 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球的表面積和體積公式 3 幾何體的表面積及體積問(wèn)題求解技巧 1 求幾何體的表面積和體積問(wèn)題 可以多角度 多方位考慮 熟記公式是關(guān)鍵所在 求三棱錐的體積 等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法 轉(zhuǎn)換原則是其高易求 底面放在已知幾何體的某一面上 2 求不規(guī)則幾何體的體積 常用分割或補(bǔ)形的思想 將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以便于求解 平時(shí)的備考中要從對(duì)空間幾何體的整體觀(guān)察入手 遵循從整體到局部 從具體到抽象的原則認(rèn)識(shí)空間圖形 通常采用直觀(guān)感知認(rèn)識(shí)空間圖形 培養(yǎng)和發(fā)展空間想象能力及幾何直觀(guān)能力 同時(shí)對(duì)于幾何體的表面積 體積的求法要加大訓(xùn)練 培養(yǎng)準(zhǔn)確運(yùn)算的能力 1 2011 廣東高考 如圖 某幾何體的正視圖 主視圖 是平行四邊形 側(cè)視圖 左視圖 和俯視圖都是矩形 則該幾何體的體積為 a 6 b 9 c 12 d 18 解析 選b 由三視圖得 幾何體為一平行六面體 底面是邊長(zhǎng)為3的正方形 高 所以幾何體的體積故選b 2 2011 浙江高考 若某幾何體的三視圖如圖所示 則這個(gè)幾何體的直觀(guān)圖可以是 解析 選d 由三視圖的概念容易判斷a b的正視圖應(yīng)是正方形 c的俯視圖不含從正方形的頂點(diǎn)到一邊中點(diǎn)的斜線(xiàn) 故d正確 3 2012 濟(jì)南模擬 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 單位長(zhǎng)度 cm 則此幾何體的表面積是 a 80 16 cm2 b 84cm2 c 96 16 cm2 d 96cm2 解析 選a 由三視圖可得該幾何體是正四棱錐與正方體的組合 s表面積 42 5 4 80 16 cm2 4 2012 揭陽(yáng)模擬 如圖 三棱柱abc a1b1c1的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為4 且側(cè)棱aa1 底面abc 其正視圖是邊長(zhǎng)為4的正方形 則此三棱柱的側(cè)視圖的面積為 a 16 b c d 解析 選d 由題意知該三棱柱的側(cè)視圖是長(zhǎng)為4 寬為的矩形 故其面積為 5 2012 武漢模擬 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積與體積分別為 a 7 3 b 8 3 c 7 d 8 解析 選c 由幾何體的三視圖可得 此幾何體是四棱柱 底面是梯形 其表面積為s 2 1 2 1 12 12 1 2 1 7 體積為 6 2012 濰坊模擬 某幾何體的一條棱長(zhǎng)為 在該幾何體的正視圖中 這條棱的投影是長(zhǎng)為的線(xiàn)段 在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中 這條棱的投影分別是長(zhǎng)為a和b的線(xiàn)段 則a b的最大值為 a b c 4 d 解析 選c 結(jié)合長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)在三個(gè)面的投影來(lái)理解計(jì)算 如圖 設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng) 寬 高分別為m n k 由題意得 n 1 a2 1 b2 1 6 a2 b2 8 a b 2 a2 2ab b2 8 2ab 8 a2 b2 16 即a b 4 當(dāng)且僅當(dāng)a b 2時(shí)取等號(hào) 7 2012 福州模擬 一幾何體的三視圖如圖所示 1 畫(huà)出它的直觀(guān)圖 并求其體積 2 你能發(fā)現(xiàn)該幾何體的哪些面互相垂直 試一一列出 解析 1 幾何體的直觀(guān)圖如圖 棱錐p abc 其中pc 平面abc abc 90 abc斜邊ac上的高為cm pc 6cm ac 5cm 2 互相垂直的面分別有 平面pac 平面abc 平面pbc 平面abc 平面pbc 平面pab 熱點(diǎn)2點(diǎn) 線(xiàn) 面的位置關(guān)系及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用1 本熱點(diǎn)在高考中的地位點(diǎn) 直線(xiàn) 平面的位置關(guān)系主要包括空間點(diǎn) 直線(xiàn) 平面之間的位置關(guān)系及線(xiàn)面 面面平行 垂直 的判定和性質(zhì) 是解決立體幾何中推理和計(jì)算問(wèn)題的基礎(chǔ) 而空間向量在立體幾何中主要用于證明空間線(xiàn)面間的位置關(guān)系及計(jì)算空間角 它們都是高考的必考內(nèi)容 2 本熱點(diǎn)在高考中的命題方向及命題角度高考對(duì)本部分內(nèi)容考查的題型比較穩(wěn)定 以空間線(xiàn)面關(guān)系的推理證明與二面角的求解為主 難度中等 1 以選擇題 填空題的形式考查空間中的位置關(guān)系 且這種題型常與充要條件及命題結(jié)合在一起 有時(shí)也以此類(lèi)題型考查空間角的求法 2 解答題考查空間角的求法以及線(xiàn)線(xiàn) 線(xiàn)面 面面的垂直與平行等 第一問(wèn)一般為空間線(xiàn)面關(guān)系的證明 第二問(wèn)一般是二面角的求法 并且根據(jù)幾何體很容易建立空間直角坐標(biāo)系 將二面角的求解轉(zhuǎn)化為空間向量的有關(guān)運(yùn)算 1 直線(xiàn) 平面平行的判定與性質(zhì)利用線(xiàn)線(xiàn)平行 線(xiàn)面平行 面面平行的相互轉(zhuǎn)化 解決平行關(guān)系的判定時(shí) 一般遵循從 低維 到 高維 的轉(zhuǎn)化 即從 線(xiàn)線(xiàn)平行 到 線(xiàn)面平行 再到 面面平行 而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí) 其順序正好相反 但也要注意其轉(zhuǎn)化的方向 要依題目的具體條件而定 不可過(guò)于模式化 2 直線(xiàn) 平面垂直的判定與性質(zhì) 1 線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)實(shí)質(zhì)體現(xiàn)了線(xiàn)線(xiàn)垂直與線(xiàn)面垂直的相互轉(zhuǎn)化 判定定理中的兩條相交直線(xiàn)必須保證 在平面內(nèi)相交 這一條件 而且已知線(xiàn)面垂直 則直線(xiàn)與平面內(nèi)任一直線(xiàn)垂直的性質(zhì)又為我們提供了證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的依據(jù) 2 要證面面垂直 可以考慮利用面面垂直的定義即證這兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角 也可先證線(xiàn)面垂直 即設(shè)法先找到其中一個(gè)平面的一條垂線(xiàn) 再證這條垂線(xiàn)在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行 而見(jiàn)到面面垂直時(shí)要首先想到在其中一個(gè)平面內(nèi)找 或作 出交線(xiàn)的垂線(xiàn) 此直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直 3 向量法證明線(xiàn)面位置關(guān)系的常用依據(jù)設(shè)直線(xiàn)l m的方向向量分別 a1 b1 c1 a2 b2 c2 平面 的法向量分別為 a3 b3 c3 a4 b4 c4 1 線(xiàn)線(xiàn)平行 l m a1 ka2 b1 kb2 c1 kc2 2 線(xiàn)線(xiàn)垂直 l m a1a2 b1b2 c1c2 0 3 線(xiàn)面平行 l a1a3 b1b3 c1c3 0 4 線(xiàn)面垂直 l a1 ka3 b1 kb3 c1 kc3 5 面面平行 a3 ka4 b3 kb4 c3 kc4 6 面面垂直 a3a4 b3b4 c3c4 0 4 巧用 向量法 求解 空間角 1 向量法求異面直線(xiàn)所成的角若異面直線(xiàn)a b的方向向量分別為 異面直線(xiàn)所成的角為 則 2 向量法求線(xiàn)面所成的角求出平面的法向量 直線(xiàn)的方向向量 設(shè)線(xiàn)面所成的角為 則 3 向量法求二面角求出二面角 l 的兩個(gè)半平面 與 的法向量 若二面角 l 所成的角 為銳角 則若二面角 l 所成的角 為鈍角 則 1 熟練掌握立體幾何的基本概念 公理 定理是基礎(chǔ) 解題步驟要規(guī)范 注重通性通法的運(yùn)用 2 從高考的考查形式看 命題的載體以柱體 錐體為主 但同時(shí)也逐步趨向不規(guī)則幾何體 因此要有意識(shí)地加強(qiáng)對(duì)空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)和空間想象能力的培養(yǎng) 3 重視空間直角坐標(biāo)系的建立方法及對(duì)向量計(jì)算的訓(xùn)練 4 注重?cái)?shù)學(xué)方法 加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo) 轉(zhuǎn)化與化歸的思想貫穿立體幾何的始終 是處理立體幾何問(wèn)題的基本思想 另外還要注意提高識(shí)圖 理解圖 應(yīng)用圖的能力 解題時(shí)應(yīng)多畫(huà) 多看 多想 這樣才能提高空間想象能力和解決問(wèn)題的能力 1 2011 新課標(biāo)全國(guó)卷 如圖 四棱錐p abcd中 底面abcd為平行四邊形 dab 60 ab 2ad pd 底面abcd 1 證明 pa bd 2 若pd ad 求二面角a pb c的余弦值 解題指南 1 利用勾股定理證明bd ad 從而證明pd 平面abcd 再證bd 平面pad即可 2 建立空間直角坐標(biāo)系 求出平面pab和平面pbc的法向量 利用向量求解 解析 1 因?yàn)?dab 60 ab 2ad 由余弦定理得bd ad 從而bd2 ad2 ab2 故bd ad 又pd 底面abcd 可得bd pd 又因?yàn)閜d ad d 所以bd 平面pad 故pa bd 2 如圖 以d為坐標(biāo)原點(diǎn) ad的長(zhǎng)為單位長(zhǎng) 射線(xiàn)da為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz 則a 1 0 0 b 0 0 c 1 0 p 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 設(shè)平面pab的一個(gè)法向量為 x y z 由 得令y 1 得同理可得平面pbc的一個(gè)法向量為所以由圖形知 二面角a pb c為鈍角 故二面角a pb c的余弦值為 2 如圖 在直三棱柱abc a1b1c1中 ac bc ac bc 1 cc1 2 點(diǎn)d e分別是aa1 cc1的中點(diǎn) 1 求證 ae 平面bc1d 2 證明 平面bc1d 平面bcd 3 求cd與平面bc1d所成角的正切值 解析 1 在矩形acc1a1中 由c1e ad c1e ad 得四邊形aec1d是平行四邊形 所以ae dc1 又ae 平面bc1d c1d 平面bc1d 所以ae 平面bc1d 2 直三棱柱abc a1b1c1中 bc cc1 ac bc cc1 ac c 所以bc 平面acc1a1 而c1d 平面acc1a1 所以bc c1d 在矩形acc1a1中 dc dc1 cc1 2 從而dc2 dc12 cc12 所以c1d dc 又dc bc c 所以c1d 平面bcd 而c1d 平面bc1d 所以平面bc1d 平面bcd 3 方法一 由 2 可知平面bc1d 平面bcd 所以 斜線(xiàn)cd在平面bc1d的射影在bd上 bdc即為直線(xiàn)cd與平面bc1d所成的角 又由 2 可知 bc 平面acc1a1 所以 bc cd 所以 三角形bcd是直角三角形 bc 1 cd 所以所求值為 方法二 以c1為原點(diǎn) 射線(xiàn)c1a1 c1b1 c1c為x y z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 則c 0 0 2 d 1 0 1 c1 0 0 0 b 0 1 2 則 1 0 1 1 0 1 0 1 2 設(shè)平面bc1d的一個(gè)法向量為 x y 1 由 得x 1 0 由 得y 2 0 由以上兩式解得x 1 y 2 1 2 1 設(shè)與的夾角為 則即cd與平面bc1d所成角的正弦值為 故所求值為 3 如圖 矩形abcd所在的平面與平面aeb垂直 且 bae 120 ae ab 4 ad 2 f g h分別為be ae bc的中點(diǎn) 1 求證 直線(xiàn)de與平面fgh平行 2 若點(diǎn)p在直線(xiàn)gf上 且二面角d bp a的大小為 試確定點(diǎn)p的位置 解析 1 取ad的中點(diǎn)m 連接mh mg f g h分別是be ae bc的中點(diǎn) mh ab gf ab mh gf mg 平面fgh 又mg de 且de 平面fgh de 平面fgh 2 如圖 在平面abe內(nèi) 過(guò)a作ab的垂線(xiàn) 記為ai 則ai 平面abcd 以a為原點(diǎn) ai ab ad所在的直線(xiàn)分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系axyz a 0 0 0 b 0 4 0 d 0 0 2 e 2 2 0 g 1 0 f 1 0 0 2 0 0 4 2 5 0 設(shè) 0 2 0 則設(shè)平面pbd的一個(gè)法向量為 x y z 則取y 得z 2 x 5 2 又平面abp的一個(gè)法向量為 0 0 1 解得 1或4 故或 點(diǎn)p與f點(diǎn)重合或 4 4 已知某幾何體的三視圖如圖所示 其中p p 分別是該幾何體的一個(gè)頂點(diǎn)p在三個(gè)投影面上的投影 a b c d 分別是另四個(gè)頂點(diǎn)a b c d的投影 1 從 兩個(gè)圖中選擇出該幾何體的直觀(guān)圖 2 求直線(xiàn)pa與平面pbc所成角的正弦值 3 設(shè)平面pa