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第二十一章 二次根式 教材內(nèi)容 1本單元教學(xué)的主要內(nèi)容: 二次根式的概念;二次根式的加減;二次根式的乘除;最簡二次根式 2本單元在教材中的地位和作用: 二次根式是在學(xué)完了八年級下冊第十七章反比例正函數(shù)、第十八章勾股定理及其應(yīng)用等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的,它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)教學(xué)目標(biāo) 1知識與技能 (1)理解二次根式的概念 (2)理解(a0)是一個非負(fù)數(shù),()2=a(a0),=a(a0) (3)掌握(a0,b0),=;=(a0,b0),=(a0,b0) (4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進(jìn)行加減 2過程與方法(1)先提出問題,讓學(xué)生探討、分析問題,師生共同歸納,得出概念再對概念的內(nèi)涵進(jìn)行分析,得出幾個重要結(jié)論,并運用這些重要結(jié)論進(jìn)行二次根式的計算和化簡(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律,用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規(guī)定,并運用規(guī)定進(jìn)行計算(3)利用逆向思維,得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等式并運用它進(jìn)行化簡(4)通過分析前面的計算和化簡結(jié)果,抓住它們的共同特點,給出最簡二次根式的概念利用最簡二次根式的概念,來對相同的二次根式進(jìn)行合并,達(dá)到對二次根式進(jìn)行計算和化簡的目的 3情感、態(tài)度與價值觀通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生:利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神,經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論,二次根式的乘除規(guī)定,發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力教學(xué)重點 1二次根式(a0)的內(nèi)涵(a0)是一個非負(fù)數(shù);()2a(a0);=a(a0)及其運用 2二次根式乘除法的規(guī)定及其運用3最簡二次根式的概念 4二次根式的加減運算教學(xué)難點 1對(a0)是一個非負(fù)數(shù)的理解;對等式()2a(a0)及=a(a0)的理解及應(yīng)用 2二次根式的乘法、除法的條件限制3利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式 教學(xué)關(guān)鍵 1潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生從具體到一般的推理能力,突出重點,突破難點 2培養(yǎng)學(xué)生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進(jìn)行準(zhǔn)確計算的能力,培養(yǎng)學(xué)生一絲不茍的科學(xué)精神 單元課時劃分 本單元教學(xué)時間約需11課時,具體分配如下: 211 二次根式 3課時 212 二次根式的乘法 3課時 213 二次根式的加減 3課時 教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié) 2課時21.1 二次根式(第1課時)教學(xué)內(nèi)容 二次根式的概念及其運用教學(xué)目標(biāo)(一)知識與技能 使學(xué)生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被開方數(shù)的取值范圍和二次根式的取值范圍.(二)過程與方法 培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)條件處理問題的能力及分類討論問題.(三)情感態(tài)度價值觀 培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點.教學(xué)重點二次根式中被開方數(shù)的取值范圍.教學(xué)難點二次根式的取值范圍.教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課1、回顧:什么叫平方根? 什么叫算術(shù)平方根?2、計算:(1)的平方根是 ;(2)如圖,在RABC中,AB=50m,BC=m,則AC= m;(3)圓的面積為S,則圓的半徑是 ;(4)正方形的面積為,則邊長為 。3、對上面(2)(4)題的結(jié)果,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特征嗎?二、自主學(xué)習(xí),探究新知1、學(xué)生自學(xué)概念:2、檢查自學(xué)情況:(1)、什么叫做二次根式?你們能舉出幾個例子嗎?(2)、說說對二次根式的認(rèn)識。3、啟發(fā)思考 (1)、當(dāng)a0時,有意義嗎?為什么? (2)、當(dāng)a0時,可能為負(fù)數(shù)嗎?為什么?4、學(xué)習(xí)例1 x是怎樣的實數(shù)時,式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義?(1)、學(xué)生嘗試解題。(2)、反饋矯正,學(xué)生總結(jié)解題方法。5、探索二次根式的性質(zhì):(1)、合作交流:觀察下面等式的兩邊,你得到什么啟示?22=4,即()2= 4; 32=9,即()2= 9;(2)、引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論:當(dāng)0時, = 。6、學(xué)習(xí)例2 計算:(1); (2); (3) (a+b0)(1)、學(xué)生嘗試解題:三名學(xué)生板演,其余學(xué)生在練習(xí)本上獨立完成。(2)、學(xué)生判斷對錯,更正錯誤。(3)、教師小結(jié)學(xué)生解題情況。三、課堂練習(xí)課后練習(xí)題 1、2四、課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲?五、布置作業(yè)習(xí)題21.1 1、2六、教后反思21.1 二次根式(第2課時)教學(xué)目標(biāo)(一)知識與技能 使學(xué)生初步掌握利用()2=(0)進(jìn)行計算. (二)過程與方法 如何利用()2=(0)解題.(三)情感態(tài)度價值觀通過利用乘方與開方互為逆運算推導(dǎo)結(jié)論()2=(0),使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系.教學(xué)重點應(yīng)用()2=(0)進(jìn)行計算.教學(xué)難點利用二次根式的非負(fù)性和利用()2=(0)解題.教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入 1什么叫二次根式?2當(dāng)a0時,叫什么?當(dāng)a0時,有意義嗎? 二、探究新知1、學(xué)生分組討論: (a0)是一個什么數(shù)呢?2、教師點評:根據(jù)學(xué)生討論和上面的練習(xí),我們可以得出 (a0)是一個非負(fù)數(shù)3、自主探究:根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空:()2=_;()2=_;()2=_;()2=_;()2=_;()2=_;()2=_合作交流:你從中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?4.引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論 ()2 = a(a 0)5.學(xué)習(xí)例1 計算 1()2 2(3)2 3()2 4()2(1)、學(xué)生嘗試解題:四名學(xué)生板演,其余學(xué)生在練習(xí)本上獨立完成。(2)、由學(xué)生點評,更正錯誤。(3)、教師小結(jié)學(xué)生解題情況。三、課堂練習(xí)1、課后練習(xí)題 1、22、補(bǔ)充練習(xí) 計算下列各式的值:()2 ()2 ()2 ()2 (4)2 四、課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲?五、布置作業(yè)教材P8 復(fù)習(xí)鞏固2(1)、(2) P9 7六、教后反思 21.1 二次根式(第3課時)教學(xué)目標(biāo)(一)知識與技能 使學(xué)生理解并掌握=,并能利用這一結(jié)論進(jìn)行計算.(二)過程與方法 通過對的化簡,培養(yǎng)學(xué)生分類討論的思想.(三)情感態(tài)度價值觀 培養(yǎng)學(xué)生用分類討論的思想分析生活中出現(xiàn)的不同事物教學(xué)重點利用=(0)進(jìn)行計算教學(xué)難點當(dāng)、0), 反過來,=(a0,b0) 3、下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目 例1計算:(1) (2) (3) (4) 例2化簡: (1) (2) (3) (4)(1)、學(xué)生嘗試:四名學(xué)生板演,其余學(xué)生在練習(xí)本上獨立完成。(2)、由學(xué)生點評,自由更正錯誤。(3)、教師小結(jié)學(xué)生解題情況。三、課堂練習(xí)(學(xué)生練習(xí),教師點評)1、教材P14 練習(xí)12、教材P15習(xí)題212 2、7四、課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲?五、布置作業(yè)教材P15習(xí)題212 8、9六、教后反思 21.2 二次根式的乘除(3)教學(xué)內(nèi)容 最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡教學(xué)目標(biāo)(一)知識與技能 理解最簡二次根式的概念,并能利用最簡二次根式的概念進(jìn)行二次根式的化簡(二)過程與方法 學(xué)會二次根式的化簡方法(三)情感態(tài)度價值觀通過探究,激發(fā)學(xué)生的探索熱情,讓學(xué)生充分參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中來,使他們體驗到成功的樂趣.教學(xué)重點最簡二次根式的運用教學(xué)難點會判斷二次根式是否是最簡二次根式教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課 1、請同學(xué)們完成下列各題(請三位同學(xué)板演) 計算, , , 2、引入新課:上面的結(jié)果是最簡形式嗎?二、探究新知1、學(xué)生自學(xué)概念:2、檢查自學(xué)情況:(1)、什么叫做最簡二次根式?(2)、你們能舉出幾個例子嗎?3、教師明確:最簡二次根式有如下兩個特點: (1)被開方數(shù)不含分母; (2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式4、嘗試應(yīng)用:例1、(1) ; (2) ; (3) (1)、三名學(xué)生板演,其余學(xué)生在練習(xí)本上獨立完成。(2)、學(xué)生點評,自由更正錯誤。例2、在RtABC中,C=90,AC=2.5cm, BC=6cm,求AB的長 。 (1)、小組合作學(xué)習(xí)。(2)、檢查學(xué)習(xí)效果,推薦2人到黑板上板書三、課堂練習(xí)(學(xué)生練習(xí),教師點評) 隨堂練習(xí)1、1、3四、課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲?五、布置作業(yè)教材P15 習(xí)題212 3、7、10六、教后反思 21.3二次根式的加減(第1課時)教學(xué)目標(biāo)(一)知識與技能 能夠正確進(jìn)行簡單的二次根式加減法的運算.(二)過程與方法 通過二次根式加減法運算培養(yǎng)學(xué)生運算能力.(三)情感態(tài)度價值觀 通過對二次根式加減法的探究,激發(fā)學(xué)生的探索熱情,讓學(xué)生充分參與到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中來,使他們體驗到成功的樂趣.教學(xué)重點二次根式加減法的運算.教學(xué)難點探討二次根式加減法運算的方法,快速準(zhǔn)確進(jìn)行二次根式加減法的運算.教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課 1、 學(xué)生活動:計算下列各式 (1)2x+3x; (2)2x2-3x2+5x2; (3)x+2x+3y; (4)3a2-2a2+a3 2、教師點評:上面題目的結(jié)果,實際上是我們以前所學(xué)的合并同類項合并同類項就是字母不變,系數(shù)相加減3、猜想:2+3應(yīng)該怎樣計算?二、探究新知1、學(xué)生嘗試:計算下列各式(1)2+3 (2)2-3+5 2、發(fā)現(xiàn)規(guī)律:你從中得出什么結(jié)論?3、教師明確: 二次根式加減時,可以先將二次根式化成最簡二次根式,再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并4、嘗試應(yīng)用:例1計算 (1)+ (2)+(1)、三名學(xué)生板演,其余學(xué)生在練習(xí)本上獨立完成。(2)、學(xué)生點評,自由更正錯誤。(3)學(xué)生總結(jié)解題方法:第一步,將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式;第二步,將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并例2計算(1)3-9+3 (2)(+)+(-)(1)、學(xué)生嘗試:二名學(xué)生板演,其余學(xué)生在練習(xí)本上獨立完成。(2)、由學(xué)生點評,自由更正錯誤。(3)、教師小結(jié)學(xué)生解題情況。三、課堂練習(xí)(學(xué)生練習(xí),教師點評) 教材P19 練習(xí)1、2四、課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲?五、布置作業(yè)教材P21 習(xí)題213 1、2、3、5六、教后反思21.3二次根式的加減(第2課時)教學(xué)目標(biāo)(一)知識與技能 利用二次根式加減法解決一些實際問題.(二)過程與方法 獲得把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的體驗.(三)情感態(tài)度價值觀 通過獨立思考與小組討論,培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)態(tài)度,以及自我意識.教學(xué)重點將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題教學(xué)難點被開方式中含有字母、被開方式中含有分母的二次根式的化簡教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)引入1、計算:(1); (2).2、引入:數(shù)學(xué)來源于生活,應(yīng)用于生活.下面我們研究一下二次根式在實際生活中的應(yīng)用.二、探究新知例1現(xiàn)有一塊長7.5dm,寬5dm的木板,能否在這塊木板上截出兩個面積分別為8dm2和18dm2的正方形木板?1、 學(xué)生獨立思考。2、 小組討論,交流解題思路。3、 選1名學(xué)生板演4、 教師點撥小結(jié)。例2要焊接如圖所示的鋼架,大約需要多少米鋼材(精確到0.1m)?1、學(xué)生獨自審清題意. 觀察圖中所給的已知條件,力爭使學(xué)生能獨自解決這一問題.2、小組討論,交流解題思路。3、選1名學(xué)生板演4、教師點撥小結(jié)。三、課堂練習(xí)(學(xué)生練習(xí),教師點評) 教材P19 練習(xí)3四、課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲?五、布置作業(yè)教材P21 習(xí)題213 7六、教后反思21.3二次根式的加減(第3課時)教學(xué)目標(biāo)(一)知識與技能 在有理數(shù)的混合運算及整式的混合運算的基礎(chǔ)上,使學(xué)生了解二次根式的混合運算與以前所學(xué)知識的關(guān)系,在比較中求得方法,并能熟練地進(jìn)行二次根式的混合運算 (二)過程與方法 在多解中進(jìn)行比較,尋求有效快捷的計算方法(三)情感態(tài)度價值觀通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的類比思想.教學(xué)重點混合運算的法則,明確三級運算的順序,運算律的合理使用教學(xué)難點靈活運用因式分解、約分等技巧,使計算簡便教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課1、計算:(1); (2); (3).2、猜想:應(yīng)怎樣計算?二、探究新知1、學(xué)生嘗試用兩種方法計算:3、嘗試應(yīng)用:例1 計算:(1); (2)選二名學(xué)生板演2、教師明確:由此可見,運算律在二次根式的混合運算中依然可以應(yīng)用.(1)、學(xué)生嘗試:二名學(xué)生板演,其余學(xué)生在練習(xí)本上獨立完成。(2)、由學(xué)生點評,自由更正錯誤。(3)、教師小結(jié)學(xué)生解題情況。例2 計算:(1); (2); (3).(1)、小組合作學(xué)習(xí)。(2)、檢查學(xué)習(xí)效果,推薦3人到黑板上板書三、課堂練習(xí)(學(xué)生練習(xí),教師點評)練習(xí)1計算:(1); (2);(3);(4)四、課堂小結(jié)這節(jié)課你有哪些收獲?五、布置作業(yè)1.計算:(1);(2).2已知,求下列各式的值:(1); (2).六、教后反思第 21 章 二 次 根 式單元復(fù)習(xí)(1) 一、知識結(jié)構(gòu)圖(見課本)二、梳理知識點二次根式的定義:形如(a0)的式子叫做二次根式2二次根式的識別:(1)被開方數(shù)a0(2)根指數(shù)是23二次根式的性質(zhì)4、題型1:確定二次根式中被開方數(shù)所含字母的取值范圍.(1)使式子有意義的條件是 。(2)當(dāng)時,有意義。(3)若有意義,則的取值范圍是 。(4) 當(dāng)時,是二次根式。說明:二次根式被開方數(shù)不小于0,所以求二次根式中字母的取值范圍常轉(zhuǎn)化為不等式(組) 5、題型2:二次根式的非負(fù)性的應(yīng)用若,求的值。6、說明:滿足下列兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式7、化簡二次根式的方法:(1)如果被開方數(shù)是整數(shù)或整式時,先因數(shù)分解或因式分解,然后利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì),將式子化簡。(2)如果被開方數(shù)是分?jǐn)?shù)或分式時,先利用商的算術(shù)平方根的性質(zhì),將其變?yōu)槎胃较喑男问?然后利用分母有理化,將式子化簡。三、練習(xí)與反饋:1要是下列式子有意義求字母的取值范圍2、設(shè)a,b,c為ABC的三邊,化簡3、一個臺階如圖,階梯每一層高15cm,寬25cm,長60cm.一只螞蟻從A點爬到B點最短路程是多少?四、作業(yè):復(fù)習(xí)題21第 1,2,3 .第 21 章 二 次 根 式單元復(fù)習(xí)(2)一、梳理知識點本章主要知識:1.二次根式性質(zhì)及運算律1) ()2=a(a0) 2) = /a/= -a(a0) a(a0)3) (a0,b0),反之=(a0,b0) 4) =(a0,b0),反過來=(a0,b0)2.二次根式的應(yīng)用(1)二次根式的加減法:通常先把各個二次根式化成最簡二次根式,在合并同類二次根式(2)二次根式的乘法類似與多項式的乘法,運算中公式(a0,b0),對于二次根式除法,通常是先化成分式的形式,然后通過分母有理化進(jìn)行運算,有時可以約分,有時可以利用公式,運算的結(jié)果都要化成最簡二次根式。二、課堂練習(xí)基礎(chǔ)題A組1.計算或化簡: (1) (2) (3)在直角坐標(biāo)系中,點P(1, )到原點的距離是_基礎(chǔ)題B組2.化簡下列各式(1) +(-3)2 (3) -(-3) (4)(-3)(2+1)3、計算下列各題,并概括二次根式的運算的一般 步驟:(1)9+7-5 (2)(3+2)(3-2) 5.
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