徐州市2015-2016學年高二上期末數(shù)學試卷（文科）含答案解析

第 1 頁（共 16 頁） 2015年江蘇省徐州市高二（上）期末數(shù)學試卷（文科） 一、填空題：（本大題共 14 小題，每小題 5分，共計 70 分） 1拋物線 2x 的焦點坐標是 2命題 “xR， ”的否定為 3底面邊長為 2，高為 3 的正三棱錐的體積為 4已知橢圓 + =1 的兩個焦點分別為 P 是橢圓上一點，則 周長為 5已 知正方體的體積為 64，則與該正方體各面均相同的球的表面積為 6已知函數(shù) f（ x） = f（ ） = 7雙曲線 =1 的焦點到漸近線的距離為 8 “m ”是 “方程 + =1 表示在 y 軸上的 橢圓 ”的 條件（填寫 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”“既不充分也不必要 ”之一） 9若直線 4x 3y=0 與圓 x2+2x+=0 相切，則實數(shù) a 的值為 10若函數(shù) f（ x） =（ 1， +）上單調增，則實數(shù) a 的最大值為 11已知 F 為橢圓 C： + =1（ a b 0）的右焦點， A、 B 分別為橢圓 C 的左、上頂點，若 垂直平分線恰好過點 A， 則橢圓 C 的離心率為 12若直線 l 與曲線 y=切于點 P，且與直線 y=3x+2 平行，則點 P 的坐標為 13在平面直角坐標系 ，已知圓（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 上有且只有兩個點到原點 O 的距離為 3，則實數(shù) m 的取值范圍為 14已知函數(shù) f（ x） =a（ x 1） 2 g（ x） = ，若對任意的 0， e，總存在兩個不同的 0， e，使得 f（ =f（ =g（ 則實數(shù) a 的取 值范圍為 二、解答題：本大題共 6小題，共計 90分 . 15已知 p： 42x 70， q： a 3xa+3 （ 1）當 a=0 時，若 p 真 q 假，求實數(shù) x 的取值范圍； （ 2）若 p 是 q 的充分條件，求實數(shù) a 的取值范圍 16如圖，在四棱錐 P ，四邊形 矩形，平面 平面 M 為點求證： （ 1） 平面 （ 2） 第 2 頁（共 16 頁） 17已知直線 l 與圓 C： x2+x 4y+a=0 相交于 A， B 兩 點，弦 中點為 M（ 0， 1） （ 1）若圓 C 的半徑為 ，求實數(shù) a 的值； （ 2）若弦 長為 4，求實數(shù) a 的值； （ 3）求直線 l 的方程及實數(shù) a 的取值范圍 18如圖， 長方形硬紙片， 00硬紙片的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙箱，設切去的小正方形的白邊長為 x（ （ 1）若要求紙箱的側面積 S（ 大，試問 x 應取何值？ （ 2）若要求紙箱的容積 V（ 大，試問 x 應 取何值？ 19在平面直角坐標系 ，橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，連接橢圓C 的四個頂點所形成的四邊形面積為 4 （ 1）求橢圓 C 的標準方程； （ 2）如圖，過橢圓 C 的下頂點 A 作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓 C 于點 M， N，設直線 斜率為 k，直線 l： y= x 分別與直線 于點 P， Q，記 1， 否存在直線 l，使得 = ？若存在，求出所有直線 l 的方程；若不存在，說明理由 第 3 頁（共 16 頁） 20已知函數(shù) f（ x） =（ aR） （ 1）當 a=1 時，求函數(shù) f（ x）的極大 值； （ 2）若對任意的 x（ 0， +），都有 f（ x） 2x 成立，求 a 的取值范圍； （ 3）設 h（ x） =f（ x） +任意的 0， +），且 明： 恒成立 第 4 頁（共 16 頁） 2015年江蘇省徐州市高二（上）期末數(shù)學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、填空題：（本大題共 14 小題，每小題 5分，共計 70 分） 1拋物線 2x 的焦點坐標是 （ 3， 0） 【考點】 拋 物線的簡單性質 【分析】 確定拋物線的焦點位置，進而可確定拋物線的焦點坐標 【解答】 解：拋物線 2x 的焦點在 x 軸上，且 p=6， =3， 拋物線 2x 的焦點坐標為（ 3， 0） 故答案為：（ 3， 0） 2命題 “xR， ”的否定為 xR， 0 【考點】 命題的否定 【分析】 直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結果即可 【解答】 解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題 “xR， ”的否定為： xR，0 故答案為： xR， 0 3底面邊長為 2，高為 3 的正三棱錐的體積為 【考點】 棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 求出正三棱錐的底面面積，然后求解體積 【解答】 解：底面邊長為 2，高為 3 的正三棱錐的體積為： = 故答案為： 4已知橢圓 + =1 的兩個焦點分別為 P 是橢圓上一點，則 周長為 18 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 由題意知 a=5， b=3， c=4，從而可得 |2a=10， |2c=8 【解答】 解：由題意作圖如右圖， 橢圓的標準方程為 + =1， a=5， b=3， c=4， |2a=10， |2c=8， 第 5 頁（共 16 頁） 周長為 10+8=18； 故答案為： 18 5已知正方體的體積為 64，則與該正方體各面均相同的球的表面積為 16 【考點】 球內接多面體；球的體積和表面積 【分析】 由已知求出正方體的棱長為 4，所以正方體的內切球的半徑為 2，由球的表面積公式得到所求 【解答】 解：因為正方體的體積為 64，所以棱長為 4， 所以正方體的內切球的半徑為 2，所以該正方體的內切球的表面 積為 422=16 故答案為： 16 6已知函數(shù) f（ x） = f（ ） = 【考點】 導數(shù)的運算 【分析】 直接求出函數(shù)的導數(shù)即可 【解答】 解：函數(shù) f（ x） = f（ x） = f（ ） = 故答案為： 7雙曲線 =1 的焦點到漸近線的距離為 2 【考點】 雙曲線的簡單性質 【分析】 求出雙曲線 的焦點坐標，漸近線方程，利用距離公式求解即可 【解答】 解：雙曲線 =1 的一個焦點（ ， 0），一條漸近線方程為： y= ， 雙曲線 =1 的焦點到漸近線的距離為： =2 第 6 頁（共 16 頁） 故答案為： 2 8 “m ”是 “方程 + =1 表示在 y 軸上的橢圓 ”的 必要不充分 條件（填寫 “充分不必要 ”、 “必要不充分 ”、 “充要 ”“既不充分也不必要 ”之一） 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)橢圓的定義，求出 m 的范圍，結合集合的包含關系判斷充分必要性即可 【解答】 解：若 “方程 + =1 表示在 y 軸上的橢圓 ”， 則 ，解得： 1 m ， 故 “m ”是 “方程 + =1 表示在 y 軸上的橢圓 ”的必要不充分條件， 故答案為：必要不充分 9若直線 4x 3y=0 與圓 x2+2x+=0 相切，則實數(shù) a 的值為 1 或 4 【考點】 圓的切線方程 【分析】 把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標和圓的半徑，然后根據(jù)直線與圓相切得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，列出關于 a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值 【解答】 解：把圓的方程化為標準方程得：（ x 1） 2+（ y+ ） 2= ， 所以圓心坐標為（ 1， ），半徑 r=| |， 由已知直線與圓相切，得到圓心到直線的距離 d= =r=| |， 解得 a= 1 或 4 故答案為： 1 或 4 10若函數(shù) f（ x） =（ 1， +）上單調增，則實數(shù) a 的最大值為 e 【考點】 變化的快慢與變化率 【分析】 根據(jù)導數(shù)和函數(shù)單調性的關系，再分離參數(shù)，求出 最值即可 【解答】 解： f（ x） =a 函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ 1， +）上單調遞增 函數(shù) f（ x） =a0 在區(qū)間（ 1， +）上恒成立， aex區(qū)間（ 1， +）上成立 而 e， ae 故答案為： e 第 7 頁（共 16 頁） 11已知 F 為橢圓 C： + =1（ a b 0）的右焦點， A、 B 分別為橢圓 C 的左、上頂點，若 垂直平分線恰好過點 A，則橢圓 C 的離心率為 【考點】 橢圓的簡單性質 【分析】 利用線段垂直平分線的性質可得線段 垂直平分線的方程，進而得出 【解答】 解：由已知可得： A（ a， 0）， B（ 0， b）， F（ c， 0）， 線段 中點 M ， ，可得線段 垂直平分線的斜率為 線段 垂直平分線的方程為： y = ， 垂直平分線恰好過點 A， 0 = ， 化為： 2e 1=0， 解得 e= 故答案為： 12若直線 l 與曲線 y=，且與直線 y=3x+2 平行，則點 P 的坐標為 （ 1， 1），（ 1， 1） 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 利用直線平行斜率相等求出切線的斜率，再利用導數(shù)在切點處的值是曲線的切線斜率求出切線斜率，列出方程解得即可 【解答】 解：設切點 P（ m， 由 y=導數(shù)為 y=3 可得切線的斜率為 k=3 由切線與直線 y=3x+2 平行， 可得 3，解得 m=1， 可得 P（ 1， 1），（ 1， 1） 故答案為：（ 1， 1），（ 1， 1） 13在平面直角坐標系 ，已知圓（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 上有且只有兩個點到原點 O 的距離為 3，則實數(shù) m 的取值范圍為 （ ， ） （ 0， 2） 【考點】 圓的標準方程 【分析】 由已知得圓 C：（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 與圓 O： x2+ 恰有兩個交點，由此能求出實數(shù) m 的取值范圍 【解答】 解：圓（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 上有且只有兩個點到原點 O 的距離為 3， 圓 C：（ x m 1） 2+（ y 2m） 2=4 與圓 O： x2+ 恰有兩個交點， 圓 C 的圓心 C（ m+1， 2m），半徑 ， 圓 O 的圓心 O（ 0， 0），半徑 ， 第 8 頁（共 16 頁） 圓心距離 | = ， 3 2 3+2， 解得 m 或 0 m 2 實數(shù) m 的取值范圍為（ ， ） （ 0， 2） 故答案為：（ ， ） （ 0， 2） 14已知函數(shù) f（ x） =a（ x 1） 2 g（ x） = ，若對任意的 0， e，總存在兩個不同的 0， e，使得 f（ =f（ =g（ 則實數(shù) a 的取值范圍為 a 【考點】 導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；函數(shù)與方程的綜合運用 【分析】 求導數(shù)，確定函數(shù)的單調性，即可求函數(shù) f（ x）的值域； g（ x） （ 0， e，分類討論，研究 f（ x）的單調性，即可求 a 的取值范圍 【解答】 解： g（ x） = ，令 =0，解得 x=1， 0， x（ 0， 1）時， g（ x） 0； x（ 1， e時， g（ x） 0， g（ x）在（ 0， 1上單調遞增，在（ 1， e單調單調遞減，根據(jù)極大值的定義知： g（ x）極大值是 g（ 1） =1，又 g（ 0） =0， g（ e） = ，所以 g（ x）的值域是（ 0， 1 函數(shù) f（ x） =a（ x 1） 2 x 0， f（ x） =22a = ， 令 h（ x） =221， h（ x）恒過（ 0， 1）， 當 a=0 時， f（ x） 0， f（ x）是減函數(shù)，不滿足題意 h（ x） =0，可得 221=0， =4a， 0 解得 a 2 或 a 0 當 2 a 0 時， h（ x）的對稱軸為： x= ， h（ x） 0 恒成立， f（ x） 0， f（ x）是減函數(shù)，不滿足題意 當 a 2 時， x（ 0， ）， h（ x） 0 恒成立， f（ x） 0， f（ x）是減函數(shù)， x ， f（ x） 0， f（ x）是增函數(shù)， x ，f（ x） 0， f（ x）是減函數(shù)， 若對任意的 0， e，總存在兩個不同的 0， e，使得 f（ =f（ =g（ 第 9 頁（共 16 頁） 可知 f（ x） 極大值 1， f（ x） 極小值 0可得 ， f（ x） =a（ x 1） 2 ，不等式不成立 當 a 0 時， x（ 0， ）， h（ x） 0 恒成立， f（ x） 0， f（ x）是減函數(shù)， x ， f（ x） 0， f（ x）是增函數(shù)，因為 x=1 時， f（ 1） =0，只需 f（ e）1 可得： a（ e 1） 2 11， 解得 a 綜上：實數(shù) a 的取值范圍為： a 二、解答題：本大題共 6小題，共計 90分 . 15已知 p： 42x 70， q： a 3xa+3 （ 1）當 a=0 時，若 p 真 q 假，求實數(shù) x 的取值范圍； （ 2）若 p 是 q 的充分條件，求實數(shù) a 的取值范圍 第 10 頁（共 16 頁） 【考點】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷；復合命題的真假 【分析】 （ 1）將 a=0 代入 q，求出 x 的范圍即可；（ 2）根據(jù)集合的包含關系得到關于 a 的不等式組，解出即可 【解答】 解：由 42x 70，解得： x ， q： a 3xa+3 （ 1）當 a=0 時， q： 3x3， 若 p 真 q 假，則 x 3； （ 2）若 p 是 q 的充分條件， 則 ， 解得： x ，（ “=”不同時取到） 16 如圖，在四棱錐 P ，四邊形 矩形，平面 平面 M 為點求證： （ 1） 平面 （ 2） 【考點】 直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）連接 點 O，連接 證明出 而根據(jù)線面平行的判定定理證明出 平面 （ 2）先證明出 平面 而根據(jù)線面垂直的性質證明出 【解答】 證明：（ 1）連接 點 O，連接 M 為 中點， O 為 中點， 面 面 平面 （ 2） 平面 平面 面 面 D， 面 平面 面 第 11 頁（共 16 頁） 17已知直線 l 與圓 C： x2+x 4y+a=0 相交于 A， B 兩點，弦 中點為 M（ 0， 1） （ 1）若圓 C 的半徑為 ，求實數(shù) a 的值； （ 2） 若弦 長為 4，求實數(shù) a 的值； （ 3）求直線 l 的方程及實數(shù) a 的取值范圍 【考點】 直線與圓的位置關系 【分析】 （ 1）利用配方法得到圓的標準方程，根據(jù)圓 C 的半徑為 ，求實數(shù) a 的值； （ 2）求出直線 l 的方程，求出圓心到直線的距離，根據(jù)弦 長為 4，求實數(shù) a 的值； （ 3）點與圓的位置關系即可求出 a 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）圓的標準方程為（ x+1） 2+（ y 2） 2=5 a， 則圓心 C（ 1， 2），半徑 r= ， 圓 C 的半徑為 ， = ， a=2； （ 2） 弦的中點為 M（ 0， 1） 直線 斜率 k= 1， 則直線 l 的斜率 k=1， 則直線 l 的方程為 y 1=x，即 x y+1=0 圓心 C 到直線 x y+1=0 的距離 d= = ， 若弦 長為 4，則 2+4=5 a=6， 解得 a= 1； （ 3）由（ 2）可得直線 l 的方程為 x y+1=0 弦 中點為 M（ 0， 1） 點 M 在圓內部，即 ， 5 a 2，即 a 3 18如圖， 長方形硬紙片， 00硬紙片的四角切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙箱，設切去的小正方形的白邊長為 x（ （ 1）若要求紙箱 的側面積 S（ 大，試問 x 應取何值？ （ 2）若要求紙箱的容積 V（ 大，試問 x 應取何值？ 第 12 頁（共 16 頁） 【考點】 基本不等式在最值問題中的應用 【分析】 （ 1）求出紙箱的側面積 S，利用基本不等式，求最大值； （ 2）求出紙箱的容積 V，利用導數(shù)，求最大值 【解答】 解：（ 1） S=2x（ 50 2x+80 2x） =2x = ， 當且僅當 4x=130 4x，即 x= 箱的側面積 S（ 大； （ 2） V=x（ 50 2x）（ 80 2x）（ 0 x V=（ 50 2x）（ 80 2x） 2x（ 80 2x） 2x（ 50 2x） =4（ 3x 100）（ x 10）， 0 x 10， V 0， 10 x V 0， x=10， V 最大 19在平面直角坐標系 ，橢圓 C： + =1（ a b 0）的離心率為 ，連接橢圓C 的四個頂點所形成的四邊形面積為 4 （ 1）求橢圓 C 的標準方程； （ 2）如圖，過橢圓 C 的下頂點 A 作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓 C 于點 M， N，設直線 斜率為 k，直線 l： y= x 分別與直線 于點 P， Q，記 別為 否存在直線 l，使得 = ？若存在，求出所有直線 l 的方程；若不存在，說明理由 【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質 【分析】 （ 1）由橢圓的離心率公式及菱形的面積公式求得 a 和 b 的值，可求得橢圓的方程； （ 2）利用橢圓方程及直線 方程求得 k 的 值，求得直線方程 第 13 頁（共 16 頁） 【解答】 解：（ 1）由題意可知： e= = = ，且 2 ，且 b2= 解得 a=2， b= ， 橢圓的標準方程： ， （ 2）由（ 1）可知， A（ 0， ），則直線 方程為 y=， 將直線方程代入橢圓方程得：消去并整理得：（ 3+48 ， 解得 ， 直線 方程 y= ，同理可得： ， 解得 k，同理可得 ， = =丨 丨 = = ， 即 310=0， 解得 或 ， 所以 = 或 ， 故存在直線 l： y= x， y= x，滿足題意 20已知函數(shù) f（ x） =（ aR） （ 1）當 a=1 時，求函數(shù) f（ x）的極大值； （ 2）若對任意的 x（ 0， +），都有 f（ x） 2x 成立，求 a 的