江西省吉安市2015-2016學(xué)年高一下期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

第 1 頁（共 17 頁） 2015年江西省吉安市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1若 a、 b、 c R，且 a b 0，則下列不等式一定成立的是（ ） A a c b c B C D “二孩政策 ”的出臺(tái)，給很多單位安排帶來新的挑戰(zhàn) ，某單位為了更好安排下半年的工作，該單位領(lǐng)導(dǎo)想對(duì)本單位女職工做一個(gè)調(diào)研，已知該單位有女職工 300 人，其中年齡在 40 歲以上的有 50 人，年齡在 30， 40之間的有 150 人， 30 歲以下的有 100 人，現(xiàn)按照分層抽樣取 30 人，則各年齡段抽取的人數(shù)分別為（ ） A 5， 15， 10 B 5， 10， 15 C 10， 10， 10 D 5， 5， 20 3已知 三邊比為 3： 5： 7，則這個(gè)三角形的最大角的正切值是（ ） A B C D 4在某海洋軍事演習(xí)編隊(duì)中，指揮艦 00 號(hào)與驅(qū)逐艦 01 號(hào)、 02 號(hào)的距離一直保持 100 海里的距離，當(dāng)驅(qū)逐艦 01 號(hào)在指揮艦 00 號(hào)的北偏東 15， 02 號(hào)在 00 號(hào)南偏東 45時(shí)，則驅(qū)逐艦01 號(hào)與 02 號(hào)相距（ ） A 100 海里 B 100 海里 C 100 海 里 D 200 海里 5下列四個(gè)命題一定正確的是（ ） A算法的三種基本結(jié)構(gòu)是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu) B用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的過程中，總體容量越大，估計(jì)越精確 C一組數(shù)據(jù)的方差為 3，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的 3 倍，所得的新數(shù)據(jù)組的方差還是 3 D有 50 件產(chǎn)品編號(hào)從 1 到 50，現(xiàn)在從中抽取 5 件檢驗(yàn)，用系統(tǒng)抽樣確定所抽取的編號(hào)為5， 15， 20， 35， 40 6已知 a=b=（ ） c=則 a、 b、 c 大小關(guān)系正確的是（ ） A c a b B a b c C c b a D b c a 7設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 0， a1+0，則當(dāng) 大時(shí)正整數(shù) n 為（ ） A 4 B 5 C 6 D 10 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 S 的值為 1，則輸出 S 的值為（ ） 第 2 頁（共 17 頁） A 1 B C 2 D 3 9已知函數(shù) f（ x） = 滿足 a 1， 7，那么對(duì)于 a，使得 f（ x） 0 在 x 1，4上恒成立的概率為（ ） A B C D 10下列命題一定正確的是（ ） A在等差數(shù)列 ，若 ap+aq=ar+ p+q=r+ B已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 等比數(shù)列，則 是等比數(shù)列 C在數(shù)列 ，若 ap+ 等差數(shù)列 D在數(shù)列 ，若 apaq=a ，則 等比數(shù)列 11已知函數(shù) f（ x） =1 2 f（ 1） 1，則實(shí)數(shù) x 的取值范圍為（ ） A（ ， ） B（ 1， ） C（ 2， 1） （ 1， 2） D（ ， 1） （ 1， ） 12已知 f（ x）是偶函數(shù)，且 f（ x+ ） =f（ x），當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =（ ） x 1，記 an=f（ ）， n N+，則 ） A 1 B 1 C 1 D 1 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13某廠有一個(gè)新工人生產(chǎn) 5 件產(chǎn)品中有 3 件合格品，其余為次品，現(xiàn)從這 5 件產(chǎn)品中任取2 件，恰有一件合格品的概率為 14若正數(shù) a、 b 滿足 a+2b=1，則 + 的最小值是 15觀察下列圖，并閱讀圖形下面的文字，依此推斷 n 條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是 16已知數(shù)列 n 2 時(shí)滿足 = + ，且 ， + + =9， 的前 n 項(xiàng)和，則 三、解答題（共 6 小題，滿分 70 分） 17一個(gè)盒子中裝有 5 張編號(hào)依次為 1， 2， 3， 4， 5 的卡片，這 5 張卡片除號(hào)碼外完全相同，現(xiàn)進(jìn)行有放回的連續(xù)抽取兩次，每次任意地取出一張卡片 （ 1）求出所有可能結(jié)果數(shù)，并列出所有可能結(jié)果； 第 3 頁（共 17 頁） （ 2）求條件 “取出卡片的號(hào)碼之和不小于 7 或小于 5”的概率 18已知公差為 0 的等差數(shù)列 足 ，且 2， 等比數(shù)列 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）記數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 求使得 + 成立的最小正整數(shù) n 19在銳角 ， = （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2，且 C+2B ）取得最大值時(shí)，求 面積 20從吉安市某校高一的 1000 名學(xué)生隨機(jī)抽取 50 名分析期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)，被抽取學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?95 分和 135 分之間，將抽取的成績(jī)分成八組：第一組 95， 100，第二組 100，105， ，第八組 130， 135，如圖是按上述分組得到的頻率分布直方圖的一部分，已知前三組的人數(shù)成等差數(shù)列，第六組的人數(shù)為 4 人，第一組的人數(shù)是第七組、第八組人數(shù)之和 （ 1）在圖上補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)該校 1000 名學(xué)生中成績(jī)?cè)?120 分以上（含 120分）的人數(shù)； （ 2）若從成績(jī)屬于第六組，第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，記他們的成績(jī)分別為x， y，事件 G=|x y| 5|，求 P（ G） 21某集團(tuán)公司為了獲 得更大的收益，決定以后每年投入一筆資金用于廣告促銷經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi) t 百萬元，可增加銷售額約（ 2t+ ）百萬元（ t 0） （ 1）若公司當(dāng)年新增收益不少于 萬元，求每年投放廣告費(fèi)至少多少百萬元？ （ 2）現(xiàn)公司準(zhǔn)備投入 6 百萬元分別用于當(dāng)年廣告費(fèi)和新產(chǎn)品開發(fā)，經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入新產(chǎn)品開發(fā)費(fèi) x 百萬元，可增加銷售額約（ +3x+ ）百萬元，問如何分配這筆資金，使該公司獲得新增收益最大？（新增收益 =新增銷售額投入） 22已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 n+1，（ n N*） （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng) （ 2）設(shè) bn=n，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 （ 3）設(shè) ，求證： c1+（ n N*） 第 4 頁（共 17 頁） 2015年江西省吉安市高一（ 下）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分） 1若 a、 b、 c R，且 a b 0，則下列不等式一定成立的是（ ） A a c b c B C D 考點(diǎn)】 不等式的基本性質(zhì) 【分析】 根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，分別判斷四個(gè) 答案中的不等式是否恒成立，可得結(jié)論 【解答】 解： a b 0， a c b c，故 A 錯(cuò)誤； ，故 B 正確； 當(dāng) c 0 時(shí)， ，故 C 錯(cuò)誤； 當(dāng) c=0 時(shí)， D 錯(cuò)誤； 故選： B 2 “二孩政策 ”的出臺(tái)，給很多單位安排帶來新的挑戰(zhàn)，某單位為了更好安排下半年的工作，該單位領(lǐng) 導(dǎo)想對(duì)本單位女職工做一個(gè)調(diào)研，已知該單位有女職工 300 人，其中年齡在 40 歲以上的有 50 人，年齡在 30， 40之間的有 150 人， 30 歲以下的有 100 人，現(xiàn)按照分層抽樣取 30 人，則各年齡段抽取的人數(shù)分別為（ ） A 5， 15， 10 B 5， 10， 15 C 10， 10， 10 D 5， 5， 20 【考點(diǎn)】 分層抽樣方法 【分析】 本題是一個(gè)分層抽樣，根據(jù)該單位有女職工 300 人，要取一個(gè)容量為 30 的樣本，得到本單位每個(gè)女職工被抽到的概率，即可得到答案 【解答】 解：抽取人數(shù)與女職工總數(shù)的比是 30： 300=1： 10 年齡在 40 歲以上的有 50 人，年齡在 30， 40之間的有 150 人， 30 歲以下的有 100 人， 在分層抽樣時(shí)，各年齡段抽取的人數(shù)分別為 5 人、 15 人和 10 人 故選： A 3已知 三邊比為 3： 5： 7，則這個(gè)三角形的最大角的正切值是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 余 弦定理 【分析】 設(shè)三邊長(zhǎng)依次為 3t， 5t， 7t，其中 t 0，設(shè)最大角是 C，由余弦定理求得 值，可得 C 的正切 【解答】 解： 三邊比為 3： 5： 7，設(shè)三邊長(zhǎng)依次為 3t， 5t， 7t，其中 t 0， 設(shè)最大角是 C，由余弦定理知， 4952 3t 5 ，所以 C=120 則由余弦定理可得 ， 故選： D 第 5 頁（共 17 頁） 4在某海洋軍事演習(xí)編隊(duì)中，指揮艦 00 號(hào)與驅(qū)逐艦 01 號(hào)、 02 號(hào)的距離一直保持 100 海里的距離，當(dāng)驅(qū)逐艦 01 號(hào)在指揮艦 00 號(hào)的北偏東 15， 02 號(hào)在 00 號(hào)南偏東 45時(shí)，則驅(qū)逐艦01 號(hào)與 02 號(hào)相距（ ） A 100 海里 B 100 海里 C 100 海里 D 200 海里 【考點(diǎn)】 解三角形的實(shí)際應(yīng)用 【分析】 首先由題意畫出示意圖，然后解三角形可得 【解答】 解：由題意，示意圖如圖：已知驅(qū)逐艦 01 號(hào)在 A 處的指揮艦 00 號(hào)的北偏東 15的 C 處， 02 號(hào)在 00 號(hào)南偏東 45的 B 處，由已知得到 20， C=100m， 所以 230000， 所以 00 ； 所以驅(qū)逐艦 01 號(hào)與 02 號(hào)相距 100 海里； 故選 C 5下列四個(gè)命題一定正確的是（ ） A算法的三種基本結(jié)構(gòu) 是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu) B用樣本頻率分布估計(jì)總體頻率分布的過程中，總體容量越大，估計(jì)越精確 C一組數(shù)據(jù)的方差為 3，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的 3 倍，所得的新數(shù)據(jù)組的方差還是 3 D有 50 件產(chǎn)品編號(hào)從 1 到 50，現(xiàn)在從中抽取 5 件檢驗(yàn)，用系統(tǒng)抽樣確定所抽取的編號(hào)為5， 15， 20， 35， 40 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 A根據(jù)算法的結(jié)構(gòu)進(jìn)行判斷， B樣本容量越大，估計(jì)越精確， C樣本方差滿足平方關(guān)系， D系統(tǒng)抽樣要求樣本間隔相同 第 6 頁（共 17 頁） 【解答】 解： A根據(jù)算法的內(nèi)容可知算法的三 種基本結(jié)構(gòu)是順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)果、循環(huán)結(jié)構(gòu)正確， B樣本的頻率分布估計(jì)總體分布的過程中，樣本容量越大，估計(jì)越準(zhǔn)確，故 B 錯(cuò)誤， C一組數(shù)據(jù)的方差為 3，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來的 3 倍，所得的新數(shù)據(jù)組的方差 9，故 C 錯(cuò)誤， D有 50 件產(chǎn)品編號(hào)從 1 到 50，現(xiàn)在從中抽取 5 件檢驗(yàn)，用系統(tǒng)抽樣則樣本間隔為 50 5=10， 則編號(hào)為 5， 15， 20， 35， 40 的樣本間隔不是 10，故 D 錯(cuò)誤， 故選： A 6已知 a=b=（ ） c=則 a、 b、 c 大小關(guān)系正確的是（ ） A c a b B a b c C c b a D b c a 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)值大小的比較 【分析】 利用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解： a=1， b=（ ） = ， c= ， b c a， 故選： D 7設(shè) 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和，若 0， a1+0，則當(dāng) 大時(shí)正整數(shù) n 為（ ） A 4 B 5 C 6 D 10 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 由等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到 d 0， 4 ，由此能求出當(dāng) 大時(shí)正整數(shù) 【解答】 解： 等差數(shù)列 前 n 項(xiàng)和， 0， a1+0， ， ， d 0， 4 Sn= +（ ） n= ， n= = （ ， 5）， 當(dāng) 大時(shí)正整數(shù) n 為 5 故選： B 8執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入 S 的值為 1，則輸出 S 的值為（ ） 第 7 頁（共 17 頁） A 1 B C 2 D 3 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 根據(jù)題意，模擬程序框圖的運(yùn)行過程，即可得出該程序運(yùn)行輸出的結(jié)果 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 S= 1， i=1 S= 滿足條件 i 2016，執(zhí)行循環(huán)體， i=2， S=2 滿足條件 i 2016，執(zhí)行循環(huán)體， i=3， S= 1 滿足條件 i 2016，執(zhí)行循環(huán)體， i=4， S= 觀察規(guī)律可知 S 的取值周期為 3，由于 2016=672 3，可得 滿足條件 i 2016，執(zhí)行循環(huán)體， i=2016， S= 1 滿足條件 i 2016，執(zhí)行循環(huán)體， i=2017， S= 不滿足條件 i 2016，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 故選： B 9已知函數(shù) f（ x） = 滿足 a 1， 7，那么對(duì)于 a，使得 f（ x） 0 在 x 1，4上恒成立的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 幾何概型 【分析】 由 f（ x） 0 在 x 1， 4上恒成立，可得 a x+ 在 x 1， 4上恒成立，可得 a 1， 4求出區(qū)間 1， 4上構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，再求出在區(qū)間 1， 7上任取一個(gè)數(shù)構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，再求兩長(zhǎng)度的比值 第 8 頁（共 17 頁） 【解答】 解：由 f（ x） 0 在 x 1， 4上恒成立，可 得 a x+ 在 x 1， 4上恒成立， a 4 又 a 1， 7， a 1， 4， 使得 f（ x） 0 在 x 1， 4上恒成立的概率為 = ， 故選： C 10下列命題一定正確的是（ ） A在等差數(shù)列 ，若 ap+aq=ar+ p+q=r+ B已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 等比數(shù)列，則 是等比數(shù)列 C在數(shù)列 ，若 ap+ 等差數(shù)列 D在數(shù)列 ，若 apaq=a ，則 等比數(shù)列 【考點(diǎn)】 等差關(guān)系的確定；等比關(guān)系的確定 【分析】 A在等差數(shù)列 ，公差 d=0， p+q=r+ 不一定正確； B若 等比數(shù)列，必須 不等于 0 時(shí)， 可判斷出正誤； C利用等差數(shù)列的性 質(zhì)即可判斷出結(jié)論； D在數(shù)列 ， apaq=a ，則 ， 一定成等比數(shù)列 【解答】 解： A在等差數(shù)列 ，若 ap+aq=ar+差 d=0，則 p+q=r+ 不一定正確； B在數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 等比數(shù)列，必須 不等于0 時(shí)，成 是等比數(shù)列，因此不正確； C在數(shù)列 ，若 ap+ 等差 數(shù)列，正確； D在數(shù)列 ，若 apaq=a ，則 一定成等比數(shù)列，沒有條件 0 故選： C 11已知函數(shù) f（ x） =1 2 f（ 1） 1，則實(shí)數(shù) x 的取值范圍為（ ） A（ ， ） B（ 1， ） C（ 2， 1） （ 1， 2） D（ ， 1） （ 1， ） 【考點(diǎn)】 指、對(duì)數(shù)不等式的解法 【分析】 由函數(shù)的性質(zhì)得到 1） 0，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =1 2f（ 1） 1， 1 21） 1， 即 1） 0= 0 1 1， 解得 x 1，或 1 x ， 故不等式的解集為（ ， 1） （ 1， ）， 故選： D 第 9 頁（共 17 頁） 12已知 f（ x）是偶函數(shù)，且 f（ x+ ） =f（ x），當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =（ ） x 1，記 an=f（ ）， n N+，則 ） A 1 B 1 C 1 D 1 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【分析】 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性求出函數(shù)是周期為 1 的周期函數(shù)，根據(jù)數(shù)列和函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可 【解答】 解： f（ x）是偶函數(shù)，且 f（ x+ ） =f（ x）， f（ x+ ） =f（ x） =f（ x ）， 即 f（ x+1） =f（ x）， 即函數(shù) f（ x）是周期為 1 的周期函數(shù)， 則 f（ ） =f=f（ ） =f（ ）， 當(dāng) x 0 時(shí)， f（ x） =（ ） x 1， f（ ） =（ ） 1= 1= 1， 故 f（ ） = 1， 故選： C 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13某廠有一個(gè)新工人生產(chǎn) 5 件產(chǎn)品中有 3 件合格品，其余為次品，現(xiàn)從這 5 件產(chǎn)品中任取2 件，恰有一件合格品的概率為 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本 事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再求出恰有一件合格品包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出恰有一件合格品的概率 【解答】 解：某廠有一個(gè)新工人生產(chǎn) 5 件產(chǎn)品中有 3 件合格品，其余為次品， 現(xiàn)從這 5 件產(chǎn)品中任取 2 件， 基本事件總數(shù) n= ， 恰有一件合格品包含的基本事件個(gè)數(shù) m= =6， 恰有一件合格品的概率 p= = 故答案為： 第 10 頁（共 17 頁） 14若正數(shù) a、 b 滿足 a+2b=1，則 + 的最小值是 8 【考點(diǎn)】 基本不等式 【分析】 利用 “乘 1 法 ”與基本不等式的性質(zhì)即可得出 【解答】 解： 正數(shù) a、 b 滿足 a+2b=1， 則 + =（ a+2b） =4+ 4+2 =8，當(dāng)且僅當(dāng) a=2b= 時(shí)取等號(hào) + 的最小值是 8 故答案為： 8 15觀察下列圖，并閱讀圖形下面的文字，依此推斷 n 條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多 是 n（ n 1） 【考點(diǎn)】 歸納推理 【分析】 根據(jù) 2 條、 3 條、 4 條直線相交交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的數(shù)目，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律確定出 n 條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多的即可 【解答】 解： 2 條直線相交，最多有 2 （ 2 1） =1 個(gè)交點(diǎn)； 3 條直線相交，最多有 3 （ 3 1） =3 個(gè)交點(diǎn)； 4 條直線相交，最多有 4 （ 4 1） =6 個(gè)交點(diǎn)， ， 依此類推， n 條直線相交，最多有 n（ n 1）個(gè)交點(diǎn)， 故答案為： n（ n 1） 16已知數(shù)列 n 2 時(shí)滿足 = + ，且 ， + + =9， 的前 n 項(xiàng)和，則 7 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 數(shù)列 n 2 時(shí)滿足 = + ，可得數(shù)列 是等差數(shù)列，設(shè)公差為 d由 + + =9，可得 =9，解得 =3由 ，可得 =24，因此（ 3 2d） 3 （ 3+2d） =24，解出 d，進(jìn)而得出 第 11 頁（共 17 頁） 【解答】 解： 數(shù)列 n 2 時(shí)滿足 = + ， 數(shù)列 是等差數(shù)列，設(shè)公差為 d + + =9， =9，解得 =3 ， =24， （ 3 2d） 3 （ 3+2d） =24， 解得 d= d= 時(shí)， = +（ n 5） d=3+ = =7 d= 時(shí)， = +（ n 5） d=3 = （舍去， n=11 時(shí)不存在） 綜上可得： 故答案為： 7 三、解答題（共 6 小題，滿分 70 分） 17一個(gè)盒子中裝有 5 張編號(hào)依次為 1， 2， 3， 4， 5 的卡片，這 5 張卡片除號(hào)碼外完全相同，現(xiàn)進(jìn)行有放回的連續(xù)抽取兩次，每次任意地取出一張卡片 （ 1）求出所有可能結(jié)果數(shù)，并列出所有可能結(jié)果； （ 2）求條件 “取出卡片的 號(hào)碼之和不小于 7 或小于 5”的概率 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率 【分析】 （ 1）先求出基本事件總數(shù) n=5 5=25，再利用列舉法列出所有可能結(jié)果 （ 2）利用列舉法求出 “取出卡片的號(hào)碼之和不小于 7 或小于 5”包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出 “取出卡片的號(hào)碼之和不小于 7 或小于 5”的概率 【解答】 解：（ 1）盒子中裝有 5 張編號(hào)依次為 1， 2， 3， 4， 5 的卡片，這 5 張卡片除號(hào)碼外完全相同， 現(xiàn)進(jìn)行有放回的連續(xù)抽取兩次，每次任意地取出一張卡片， 基本事件總數(shù) n=5 5=25， 所有可能結(jié)果為： （ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 1， 4），（ 1， 5），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 3），（ 2， 4），（ 2， 5），（ 3， 1），（ 3， 2），（ 3， 3）， （ 3， 4），（ 3， 5），（ 4， 1），（ 4， 2），（ 4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5），（ 5， 1），（ 5， 2），（ 5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5） （ 2） “取出卡片的號(hào)碼之和不小于 7 或小于 5”包含的基本事件有： （ 1， 1），（ 1， 2），（ 1， 3），（ 2， 1），（ 2， 2），（ 2， 5），（ 3， 1），（ 3， 4），（ 3， 5）， （ 4， 3），（ 4， 4），（ 4， 5），（ 5， 2），（ 5， 3），（ 5， 4），（ 5， 5），共有 m=16 個(gè)， 第 12 頁（共 17 頁） “取出卡片的號(hào)碼之和不小于 7 或小于 5”的概率 p= = 18已知公差為 0 的等差數(shù)列 足 ，且 2， 等比數(shù)列 （ 1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ 2）記數(shù)列 的前 n 項(xiàng)和為 求使得 + 成立的最小正整數(shù) n 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 （ 1）設(shè)數(shù)列 公差為 d，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程，求出 d 的值，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出 （ 2）由（ 1）化簡(jiǎn) ，利用裂項(xiàng)相消法求出 簡(jiǎn) + 求出 n 的范圍，即可求出最小正整數(shù) n 【解答】 解：（ 1）設(shè)數(shù)列 公差為 d， 由 2， 等比數(shù)列得，（ 2d 1） 2=1 （ 1+8d）， 則 3d=0，解得 d=3 或 d=0（舍去）， 所以 +（ n 1） d=3n 2； （ 2）由（ 1）得， = = （ ）， 則 （ 1 ） +（ ） +（ ） = （ ） = ， 所以 + 為 + ，化簡(jiǎn)得， 25n 8 0，又 n 是正整數(shù)，解得 n 26， 所以 ，使得 + 成立的最小正整數(shù) n 為 26 19在銳角 ， = （ 1）求角 A； （ 2）若 a=2，且 C+2B ）取得最大值時(shí)，求 面積 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）利用余弦定理、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)所給的式子，求得 值，可得 A 的值 （ 2）由（ 1）可得 B+C= ，故有 C+2B =B ，再利用兩角和差的三角公式、正弦函數(shù)的值域求得 C+2B ）取得最大值 ，此時(shí)， 等邊三角形，從而求得它的面積 第 13 頁（共 17 頁） 【解答】 解：（ 1）銳角 ， = ， = ， ， A= （ 2）由（ 1）可得 B+C= ， C+2B =B ， C+2B ） =B ） = B+ ）， 故當(dāng) B+ = 時(shí)，即 B= 時(shí)， C+2B ）取得最大值 ，此時(shí)， A=B=C= ， 等邊三角形， 面積為 bc22 = 20從吉安市某校高一的 1000 名學(xué)生隨機(jī)抽取 50 名分析期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)，被抽取學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?95 分和 135 分之間，將抽取的成績(jī)分成八組：第一組 95， 100，第二組 100，105， ，第八組 130， 135，如圖是按上述分組得到的頻率分布直方圖的一部分，已知前三組的人數(shù)成等差數(shù)列，第六組的人數(shù)為 4 人，第一組的人數(shù)是第七組、第八組人數(shù)之和 （ 1）在圖上補(bǔ)全頻率分布直方圖，并估計(jì)該校 1000 名學(xué)生中成績(jī)?cè)?120 分以上（含 120分）的人數(shù) ； （ 2）若從成績(jī)屬于第六組，第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，記他們的成績(jī)分別為x， y，事件 G=|x y| 5|，求 P（ G） 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）由題意得：第四組有 10 名，第五組有 6 名，第七組有 4 名，第八組有 2 名，從而前三組共有 24 名，進(jìn)而第一組有 6 名，第二組 8 名，第三組 10 名，由此作出頻率分布直方圖，估計(jì)該校 1000 名學(xué)生中成績(jī)?cè)?120 分以上（含 120 分）的人數(shù) （ 2）記第四組 4 名 學(xué)生為 a， b， c， d，第八組 2 名學(xué)生為 E， F，由此利用列舉法能求出事件 G=|x y| 5|的概率 P（ G） 【解答】 解：（ 1）由題意得：第四組有 10 名，第五組有 6 名，第七組有 4 名，第八組有 2名， 則前三組共有 24 名， 前三組的人數(shù)成等差數(shù)列，第一組有 6 名， 第二組 8 名，第三組 10 名， 由此作出頻率分布直方圖，如右圖 由頻率分布直方圖得成績(jī)?cè)?120 分以上（含 120 分）的頻率為：（ 5= 第 14 頁（共 17 頁） 估計(jì)該校 1000 名學(xué)生中成績(jī)?cè)?120 分以上（含 120 分）的人數(shù)為： 1000 00 人 （ 2）記第四組 4 名學(xué)生為 a， b， c， d， 第八組 2 名學(xué)生為 E， F， 所有學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生有 dE， 15 種情況， 而事件 G 含有 7 種情況， 事件 G=|x y| 5|的概率 P（ G） = 21某集團(tuán)公司為了獲得更大的收益，決定以后每年投入一筆 資金用于廣告促銷經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查，每年投入廣告費(fèi) t 百萬元，可增加銷售額約（ 2t+ ）百萬元（ t 0） （ 1）若公司當(dāng)年新增收益不少于 萬元，求每年投放廣告費(fèi)至少多少百萬元？ （ 2）現(xiàn)公司準(zhǔn)備投入 6 百萬元分別用于當(dāng)年廣告費(fèi)和新產(chǎn)品開發(fā)，經(jīng)預(yù)測(cè)，每投入新產(chǎn)品開發(fā)費(fèi) x 百萬元，可增加銷售額約（ +3x+ ）百萬元，問如何分配這筆資金，使該公司獲得新增收益最大？（新增收益 =新增銷