概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙大版)第七章第八章ppt課件

第七章參數(shù)估計(jì) 關(guān)鍵詞 矩估計(jì)法極大似然估計(jì)法置信區(qū)間置信度 點(diǎn)估計(jì) 區(qū)間估計(jì) 1參數(shù)的點(diǎn)估計(jì) 主要內(nèi)容 一 矩估計(jì)法二 極大似然估計(jì)三 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 一 矩估計(jì)法 矩思想 利用樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估計(jì)量 矩估計(jì)法 二 極大似然估計(jì)法 極大似然估計(jì)法是在總體的分布類型已知的條件下所使用的一種參數(shù)估計(jì)方法 它首先是由德國數(shù)學(xué)家高斯在1821年提出的 Gauss Fisher 然而 這個(gè)方法常歸功于英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇 費(fèi)歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法 并首先研究了這種方法的一些性質(zhì) 極大似然原理 一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有若干個(gè)可能結(jié)果A B C 若在一次試驗(yàn)中 結(jié)果A發(fā)生 則一般認(rèn)為試驗(yàn)條件對(duì)A最有利 即A發(fā)生的概率最大 條件 自然 認(rèn)為從甲箱取更合理 極大似然估計(jì)法 又如 兔龜賽跑 得第一名的最有可能是誰 對(duì)給定的樣本值 是參數(shù)的函數(shù) 稱為似然函數(shù) 記做 定義對(duì)給定的樣本值 若 如何求 即求的最大值點(diǎn)問題 方法一 若為可導(dǎo)函數(shù) 回憶 1 單調(diào)性相同 從而最大值點(diǎn)相同 方法二 2 連續(xù)型總體似然函數(shù)的求法 設(shè)X為連續(xù)型總體 其概率密度為 對(duì)來自總體的樣本 其觀測(cè)值為 作為與總體X同分布且相互獨(dú)立的n維隨機(jī)變量 樣本的聯(lián)合概率密度為 其中未知 于是 樣本落入點(diǎn) 鄰域內(nèi)的概率為 由極大似然原理 最合理的的估計(jì)值應(yīng)該是使 達(dá)到最大 求的步驟 例1 設(shè)總體X的分布律為 0 p 1 p未知 求參數(shù)p的極大似然估計(jì)量 解 總體X的分布律為 設(shè) X1 X2 Xn 是來自總體X的樣本 似然函數(shù)為 解得p的極大似然估計(jì)量為 說明 p的極大似然估計(jì)值為 解 的似然函數(shù)為 取對(duì)數(shù) 例2 設(shè) X1 X2 Xn 是來自總體X的一個(gè)樣本 求 的極大似然估計(jì)量 求導(dǎo)并令其為0 從中解得 即為 的極大似然估計(jì)量 推廣 解 26 27 三 衡量估計(jì)量好壞的標(biāo)準(zhǔn) 的點(diǎn)估計(jì)量一般是不唯一的 如何選擇好的 首先我們要對(duì)估計(jì)量提出衡量其好壞的標(biāo)準(zhǔn) 標(biāo)準(zhǔn) 無偏性 有效性 一致性 1 無偏性 即取值在真值附近來回?cái)[動(dòng) 證明 1 6 32 是 的兩個(gè)無偏估計(jì)量 若 2 有效性 34 相合性 一致性 43 2010年數(shù)學(xué)1 45 作業(yè)題 P120 5 11 46 3區(qū)間估計(jì) 點(diǎn)估計(jì) 缺點(diǎn) 無法確定誤差 區(qū)間估計(jì) 估計(jì) 的真值所在的區(qū)間 最大誤差 47 成立 那么稱隨機(jī)區(qū)間為參數(shù) 的置信度為1 的 雙側(cè) 置信區(qū)間 設(shè) 為總體分布的一個(gè)未知參數(shù) X1 X2 Xn是來自總體的一個(gè)樣本 如果對(duì)于給定的1 0 1 能由樣本確定出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量 雙側(cè) 置信下限 雙側(cè) 置信上限置信度 1 定義 使 一 區(qū)間估計(jì)的基本概念 48 2 說明 通常 取得很小 因而 落在區(qū)間內(nèi)的概率很大 一般地 越小 則 落在區(qū)間內(nèi)的可靠程度越大 但在樣本容量相同的情況下 這個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度也就越大 從而估計(jì)的誤差也就越大 置信區(qū)間的意義 當(dāng)樣本容量n固定時(shí) 做N次抽樣 得到N組樣本觀察值 從而得到N個(gè)置信區(qū)間 這N個(gè)置信區(qū)間中 包含 的真值在其內(nèi)部的約占100 1 例如 N 1000 0 05 則1000個(gè)置信區(qū)間中大約有950個(gè)包含 的真值 問題 如何確定 一般從 的點(diǎn)估計(jì)量出發(fā) 減去某個(gè)量構(gòu)成 加上某個(gè)量構(gòu)成 49 單側(cè)置信區(qū)間 50 復(fù)習(xí) 常用的統(tǒng)計(jì)量分布 51 t分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 52 復(fù)習(xí)四個(gè)定理 正態(tài)總體統(tǒng)計(jì)量的分布 定理1設(shè)總體 標(biāo)準(zhǔn)化 得到 54 55 56 二 正態(tài)總體未知參數(shù)的區(qū)間估計(jì) 1 一個(gè)正態(tài)總體的情況 1 均值 的置信區(qū)間 2已知 的置信區(qū)間 的一個(gè)無偏估計(jì)量是什么 前面遇到過的哪個(gè)統(tǒng)計(jì)量既含有又含有 且分布已知 57 x 所以 的1 置信區(qū)間為 58 得置信區(qū)間 置信度為1 的置信區(qū)間不是唯一的 在置信度相同的情況下 置信區(qū)間的區(qū)間長(zhǎng)度越小越好 注 可以證明 當(dāng)總體的概率密度函數(shù)為偶函數(shù)時(shí) 采用對(duì)稱的上 分位點(diǎn)所得的置信區(qū)間長(zhǎng)度最小 59 2未知 的置信區(qū)間 當(dāng) 2未知時(shí) 用 2的無偏 一致估計(jì)量 樣本方差 來代替 2 從而得一新的統(tǒng)計(jì)量 這樣就得到了置信度為1 的置信區(qū)間 60 2 方差 2的置信區(qū)間 若 已知 可用 未知時(shí) 可用 可得 2的置信度為 1 的置信區(qū)間為 61 單個(gè)總體的情形總結(jié) 2已知 估計(jì) 2未知 估計(jì) 用 用 未知 估計(jì) 2 用 3 求 的置信度為 1 的置信區(qū)間的步驟 根據(jù)Z的分布的上 分位點(diǎn) 解出 的置信區(qū)間 尋求一個(gè)含有 而不含其它未知參數(shù) 的樣本函數(shù)Z Z X1 X2 Xn 且Z的分布已知 62 例1已知樣本值為 3 3 0 3 0 6 0 9 求 1 當(dāng) 3時(shí) 正態(tài)總體均值 的置信度為95 的置信區(qū)間 2 當(dāng) 未知時(shí) 正態(tài)總體均值 的置信度為95 的置信區(qū)間 解 由樣本值計(jì)算可得 1 當(dāng) 3時(shí) 因?yàn)?故 所以 均值 的置信度為95 的置信區(qū)間為 代入樣本值可得 請(qǐng)您注意學(xué)習(xí)解題過程的寫法 請(qǐng)準(zhǔn)備好計(jì)算器和練習(xí)本 4 應(yīng)用舉例 63 2 當(dāng) 未知時(shí) 由 知 所以 均值 的置信度為95 的置信區(qū)間為 代入樣本值可得 查表可得 64 例2 用某儀器間接測(cè)量溫度 重復(fù)測(cè)量5次 所得溫度值為1250 1265 1245 1260 1275 試問真值在什么范圍內(nèi) 置信度為95 分析 用隨機(jī)變量X表示溫度的測(cè)量值 它通常是一個(gè)正態(tài)變量 假定儀器無系統(tǒng)誤差 則E X 就是溫度的真值 設(shè)X N 2 問題即為估計(jì) 的范圍 未知 查t分布表 0 05 自由度是n 1 4得 65 溫度真值的置信度為95 的置信區(qū)間為 1244 2 1273 8 66 67 2 兩個(gè)總體的情形 1 兩個(gè)正態(tài)總體均值差 1 2的置信區(qū)間 樣本分別為 X1 X2 Xn1 Y1 Y2 Yn2 12 22已知 估計(jì) 1 2 68 69 12 22都未知 但 12 22 2 均值差 1 2區(qū)間估計(jì) 12 22都未知的一般情況 此時(shí) 當(dāng)n1 n2都很大時(shí) 實(shí)用中大于50 均值差 1 2區(qū)間估計(jì)為 70 2 兩個(gè)正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間 一樣 第二個(gè)穩(wěn)定 第一個(gè)穩(wěn)定 現(xiàn)需找一個(gè)包含 且分布為已知的統(tǒng)計(jì)量 方差比的意義 如比較兩個(gè)燈泡廠 壽命均值相等 的質(zhì)量哪個(gè)穩(wěn)定 71 72 要求 掌握方法 而不是死記硬背 明確置信區(qū)間的實(shí)際意義 能結(jié)合到實(shí)際問題中去 73 例3設(shè)有兩個(gè)工廠獨(dú)立地生產(chǎn)同一種產(chǎn)品 其質(zhì)量指標(biāo)均服從正態(tài)分布 現(xiàn)從它們某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取60只 測(cè)得其樣本均值分別為10 3和9 9 樣本方差S2依次為0 84和1 25 試以95 的可靠性判斷兩工廠生產(chǎn)質(zhì)量水平的差異 分析 要判斷兩工廠生產(chǎn)質(zhì)量水平的差異 首先需要比較兩總體的均值的大小 以反映平均質(zhì)量水平的高低 其次還可以比較總體方差的大小 以反映質(zhì)量水平波動(dòng)的程度 先估計(jì)總體均值差 1 2的大小 因樣本容量較大 故近似地有 由此可得 1 2置信區(qū)間 74 代入樣本值可得 再估計(jì)總體方差比 12 22的大小 由 知 這一結(jié)果說明什么 由此可得 12 22的置信區(qū)間 代入樣本值可得 這一結(jié)果又說明什么 正態(tài)總體均值 方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限 實(shí)際應(yīng)用 1 用金球測(cè)定觀察值為 6 6836 6816 6766 6786 6796 672 2 用鉑球測(cè)定觀察值為 6 6616 6616 6676 6676 664設(shè)測(cè)定值總體為 和 為未知 對(duì) 1 2 兩種情況分別求 和 的置信度為0 9的置信區(qū)間 X 6 6836 6816 6766 6786 6796 672 Y 6 6616 6616 6676 6676 664 mu sigma muci sigmaci normfit X 0 1 金球測(cè)定的估計(jì) MU SIGMA MUCI SIGMACI normfit Y 0 1 鉑球測(cè)定的估計(jì) mu 6 6