化妝品生產(chǎn)銷售問題模型概述.doc

化妝品生產(chǎn)銷售問題模型概述-作者：-日期：A化妝品生產(chǎn)銷售問題模型摘要追求企業(yè)利潤最大化是企業(yè)的根本目標(biāo)。在生產(chǎn)過程中，生產(chǎn)經(jīng)營者主要關(guān)注生產(chǎn)的產(chǎn)量、成本和利潤。本文提出了在滿足指標(biāo)等系列條件的前提下，綜合考慮各個指標(biāo)對廠商利潤的影響，以及各指標(biāo)之間的關(guān)系，從而達到盡量控制5種原料的購進量及存儲量及增大產(chǎn)品的銷售量，從而使成本達到最小，利潤最大的方案。針對問題一，我們利用經(jīng)濟學(xué)中公司盈利的相關(guān)模型，存儲論中的存貨模型、以及利用線性規(guī)劃對指標(biāo)、存儲量、產(chǎn)量等進行條件限制。用經(jīng)濟學(xué)知識找出利潤最大化的目標(biāo)函數(shù)，建立一個線性規(guī)劃模型，并運用lingo進行最優(yōu)解，從而得出最大利潤為18175.0元，并計算出在利潤達到最大時的各種原料在各個月中的合理購進量和加工量(見文中表). 在問題二中，我們考慮到參數(shù)的變化引起需求量的相應(yīng)變化，從而引起利潤的變化，因而，采用了列舉有限個增長幅度的策略，在每個增長幅度限定的前提下，運用插值與擬合方法，對增長幅度與利潤進行數(shù)據(jù)分析，得出兩者關(guān)系。直觀的，我們運用matlab畫圖，以縮小最優(yōu)解的區(qū)間。用這幾種方法結(jié)合，從而得到了對應(yīng)的購進量與加工量的最優(yōu)策略。一、問題重述生產(chǎn)和銷售一直是我們經(jīng)濟和生活中常見的問題。利潤最大化是解決此類問題的首要標(biāo)準(zhǔn)。本題主要研究了在化妝品單位售價確定而原料價格不斷沒變化的情況下和各種生產(chǎn)條件限制下，應(yīng)怎樣調(diào)整采購量和加工量以使廠家獲得最大利潤。利潤由銷售額和總成本確定，總成本由儲存成本和購買成本決定。而各種原料價格的變化又會影響每月的購入量、加工量、貯存量，這幾個量之間有著相互制約相互變動的關(guān)系。同時我們也生產(chǎn)中各種約束條件考慮進去。如化妝品中添加劑的指標(biāo)限制在3-6%之間，輔料主料每月加工量的限制，以及貯存限制等。我們要在銷售單價不變的條件下解決如下問題。問題一：在題中所給在下半年5種基礎(chǔ)原料的價格下，已知現(xiàn)存有每種原料50千克，并且12月底每種原料的存貨仍為50千克，為使公司利潤最大，應(yīng)制定怎樣的采購和加工方案。問題二： 研究總利潤和采購與加工方案適應(yīng)不同的未來市場價格應(yīng)如何變化?？紤]如下的價格變化方式：8月份基礎(chǔ)副料價格上升，基礎(chǔ)原料價格上升；9月份基礎(chǔ)副料價格上升，基礎(chǔ)原料價格上升；其余月份保持這種線性的上升勢頭。對不同的值（在0到25之間）就方案的必要的變化及對利潤的影響，作出全面計劃。二、模型假設(shè)1由題中成品化妝品和加工過的基礎(chǔ)原料不能儲存，假定加工后的化妝品立即全部售出；2加工過程中沒有重量損失，費用不考慮；3 假定加工過程中的基礎(chǔ)原料是線性消耗的；4 假定每月生產(chǎn)的化妝品中，原料的使用比例是按照價格的變化而變化的，即原料的使用比例不固定5 生產(chǎn)周期為一個月。我們約定每個月月初按當(dāng)月的價格采購原料，生產(chǎn)期間均勻消耗原料且不再進購原料。直到下一個生產(chǎn)周期（即下一月月初）進購新原料 三、符號約定Pij ：表示第i個月Aj原料的價格Xij ：表示第i個月Aj原料的進貨Yij ：表示第i個月Aj原料的加工量Iij ：表示第i個月初Aj原料的存貨量，即第i-1個月生產(chǎn)后的存貨量Vij ：表示第i個月Aj原料的平均存儲量Cij ：表示第i個月Aj原料的存儲成本Di ：表示第i個月的盈利D ：表示半年的盈利，即我們要做的規(guī)劃四、模型建立因本題中不涉及稅費、銷售、工資、訂貨成本等經(jīng)濟學(xué)中的相關(guān)問題，此處我們采用最基本的盈利模型，即：利潤=銷售額-成本。本題中，成品化妝品的售價固定為225元，每個月原料的價格也為已知。所以，要使公司獲得最大利潤，我們應(yīng)使銷售量（即加工量）盡可能大的同時，讓成本盡量的小。因此，尋找最大利潤的問題轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)采購量與加工量的組合的問題。現(xiàn)在可以看出，問題已經(jīng)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的問題。我們利用線性規(guī)劃模型求解出最優(yōu)的采購量與加工量組合，可以使下半年的利潤最大化1、存儲模型的確定每月的成本包括采購原料的費用和存儲原料的成本兩部分。因原料價格已知，采購原料費用為采購量的線性函數(shù)。但存儲原料的費用較為復(fù)雜，我們建立存儲模型來求解每月的存儲成本。根據(jù)存儲論的無約束型存貨基本模型（如下圖所示），以及我們所做的假設(shè)，我們可以得到以下的結(jié)論：圖1 存儲模型1、因每個月的生產(chǎn)是均勻生產(chǎn)，每天輸出量保持不變。所以原料存儲量是呈直線下降的。2、假設(shè)每個月之后月初的時候進購原料，生產(chǎn)期間原料均勻消耗。第二個月月初補充短缺的原料。輸出時間僅為每個周期初。3、每個月可以缺貨（即存貨為0），但是存貨只可以用來生產(chǎn)，不可以用來出售（即采購量不為負）。圖2 生產(chǎn)周期中存貨量可知，每月的存貨成本=5每月的平均存貨量，即由物流守恒，得出，如圖2所示可以得出，每月第j種原料的存儲成本為： 2、生產(chǎn)過程中盈利模型根據(jù)會計學(xué)的原理，企業(yè)的凈利潤=銷售額-原料成本-所得稅-經(jīng)營成本本題中將模型簡化，不考慮所得稅，經(jīng)營成本中只考慮存貨的成本。則模型簡化為：每個月的盈利半年的總盈利三、求解模型盈利與兩個變量有關(guān)，分別是進貨量X和加工量Y。將X,Y設(shè)成決策量，總利潤D為X與Y的線性函數(shù)。顯然，我們應(yīng)該建立線性規(guī)劃模型來求解。上述問題的數(shù)學(xué)模型中，該廠每月進購原料的量為Xij和加工量為Yij時，總利潤可以達到最大。根據(jù)以上分析，我們根據(jù)對偶理論建立了如下線性規(guī)劃模型：目標(biāo)函數(shù)：由可得：目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為約束條件 根據(jù)建立的線性規(guī)劃模型，我們用lingo軟件進行編程求解，程序如下model:sets:m/1.6/:;!定義月份下標(biāo)集;n/1.5/:;!定義原料油種類下標(biāo)集;ajz(m,n):c,x,y;!定義價格矩陣C,購買方案矩陣X和生產(chǎn)方案矩陣Y;endsetsdata:c=165 180 195 165 175 195 195 165 135 175 165 210 195 150 145 180 165 180 180 185 150 180 225 165 160 135 150 210 120 220;enddatamax=sum(m(i):sum(n(j):(257.5-5*i)*y(i,j)-5*(7-i)*x(i,j)-c(i,j)*x(i,j)-7500;!目標(biāo)函數(shù);for(m(i):y(i,1)+y(i,2)+y(i,3)=25);for(m(i):y(i,4)+y(i,5)=0);for(m(i):-2.0*y(i,1)-0.0*y(i,2)+4.0*y(i,3)+2.0*y(i,4)+1.0*y(i,5)=0);for(n(j):sum(m(i):x(i,j)-y(i,j)=0);for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)=0);for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)=0);for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)=0);for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)=0);for(n(j):50+x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)=0);for(n(j):x(1,j)=50);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)=50);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)=50);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)=50);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)=50);for(n(j):x(1,j)-y(1,j)+x(2,j)-y(2,j)+x(3,j)-y(3,j)+x(4,j)-y(4,j)+x(5,j)-y(5,j)+x(6,j)=23時，最大利潤達到了最小值，此后最大利潤不在變動，為一個定值D=1250。這個圖整體反映了x值與最大利潤的關(guān)系。我們對比每個x值下各原料的價格，發(fā)現(xiàn)如果x值過大，后幾個月的原料價格甚至可以達到第一個月的250%，此時原料的價錢還會超過成品化妝品的價錢。我們知道，這時候廠商是肯定不會進購原料的，否則，廠商只會虧損。這種情況下，廠家就會改變進貨方式，采用早進貨或者少進貨。由第一問可以知道，最大利潤與生產(chǎn)過程中加工和采購方案有直接的聯(lián)系。下面我們將對這一結(jié)果聯(lián)系采購量和生產(chǎn)量進行分析。我們將用lingo求得對應(yīng)不同x時采購量和生產(chǎn)量的具體數(shù)據(jù)，整理得出如下表格：各種原料的基礎(chǔ)價格是：A1=165；A2=180；A3=195；A4=165；A5=175。依題意，未來市場價格的變動是以這組數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的。下圖，我們給出在不同x值下，第i月第j種原料的采購量Xij與加工量Yij的數(shù)值表。（此處因為數(shù)據(jù)較多，我們采用電腦截圖的方法表示這個表格）表4-1 不同x值下各原料的采購量表表4-2 不同x值下各原料的采購量表表4-3 不同x值下各原料的采購量表表4-4 不同x值下各原料的采購量表表5-1 不同x值下各原料的加工量表表5-2 不同x值下各原料的加工量表表5-3 不同x值下各原料的加工量表表5-4 不同x值下各原料的加工量表整體來看，廠商為了使利潤最大，一般在商品價格比較低的時候都會選擇晚購買原料，以減少存貨的成本。這就解釋了為什么在x很小的時候，剛開始幾個月的進貨量基本為0。當(dāng)價格增幅比較小，如x=1時，我們可以查表看出，廠商每個月的進貨量與第一問時的情況基本相同。因為價格增長較小時，提前購買貨物所增加的存儲費用要比節(jié)省下來的原料購買費用高。所以，廠商的購貨成本幾乎以速率x線性增加，但是存儲成本幾乎未變則根據(jù)：盈利=銷售額-購貨成本-存儲成本 ，可知，剛開始x值較小時，廠家的利潤是線性減小的。當(dāng)價格增幅較大時，各種原料在后幾個月價格較高，價格上升的成本超過了儲存成本。此時再選擇晚進購原料對于廠商來說是極不劃算的。而且，一方面為了使存貨成本不至于太高，另一方面?zhèn)}庫的存儲空間有限，廠商的采購量也并未過多。所以為降低成本，獲得最大利潤各原料選擇在前幾個月進貨。特別當(dāng)X=10時，A1，A2，A3只在第一個月進貨。因此當(dāng)x值比較大時，原料的購買費用、原料的存儲費用都變化不大，從表中就可以看出，當(dāng)5x20時，廠商最大利潤曲線是相對平穩(wěn)的。直到x的值足夠大時，原料價格的增加過快，所以廠商就只在原料價格便宜的第一月進貨。查上表可以得到，當(dāng)x24時，廠商只在第一個月進購每種原料各50千克，即Xij均為已知量。我們在上一問已經(jīng)知道，最大利潤是原料進購量Xij與原料加工量Yij的線性函數(shù)，所以獲得最大利潤時Yij也是固定的。此時，我們可以知道廠商的最大利潤固定為D=1250，加工量如上圖所示。五、模型評價： 我們根據(jù)題目所給條件，利用適當(dāng)?shù)募僭O(shè)簡化了題目，分析了最大利潤與原料價格、儲存量，加工量之間變動關(guān)系。通過存儲模型的建立來確定存貯成本。由題目確定了線性優(yōu)化模型，根據(jù)列出的約束條件得出了在價格不同增幅下時最優(yōu)加工和采購方案。 我們的模型有以下優(yōu)點：1、改變價格矩陣可以確定在任意價格下的最優(yōu)采購量和生產(chǎn)量；以下 存儲進行了討論，運用了2、利用lingo軟件求解線性規(guī)劃問題方便簡潔，避免了大量復(fù)雜的計算過程； 3、此模型適用于求解類似的生產(chǎn)銷售問題； 4、用matlab做出了不同價格增幅與最大利潤之間的關(guān)系，并列出了不同增幅下的最優(yōu)采購和加工方案數(shù)據(jù)，直觀清晰，利于分析其中的各種因素間的關(guān)系。 我們的模型有以下需要改進的地方： 1、在實際生活中，當(dāng)原料的價格上升時，成品的銷售單價也會隨之上升，此模型討論的是在銷售單價不變情況下的方案，缺乏推廣性； 2、實際中，產(chǎn)品中各種元素的比例是確定的，在本題中，為降低成本，各原料之間的比例有一定的波動；六、模型的改進與應(yīng)用由于題中信息有限，所以本文模型在實際應(yīng)用時仍存在改進空間，若信息充足，則為使模型更具實用性，可在如下兩方面進行改進： 1、為確定推廣性，在原料價格上升時，成品售價應(yīng)隨之上升，以保證廠家的利潤；2、在各原料之間應(yīng)該給出一定比例，來確定最優(yōu)方案；可以通過更多的優(yōu)化模型來進一步驗證此模型的正確性，由于篇幅有限我們沒做探討。七、引用文獻1 姜啟源，謝金星，葉俊 數(shù)學(xué)模型 北京：高等教育出版社 20032 蕭樹鐵 數(shù)學(xué)實驗 北京：高等教育出版社 20064豆丁網(wǎng) 四種常用的存貯論的基本模型/p-20175660.html 2010-6-165袁新生 Lingo與Excel在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 北京：科學(xué)出版社 20036束金龍、聞人凱 線性規(guī)劃理論與模型運用 北京：科學(xué)出版社 2003八、附錄附錄一 問題一lingo程序運行結(jié)果Global optimal solution found. Objective value: 18175.00 Total solver iterations: 34 Variable Value Reduced Cost C( 1, 1) 165.0000 0.000000 C( 1, 2) 180.0000 0.000000 C( 1, 3) 195.0000 0.000000 C( 1, 4) 165.0000 0.000000 C( 1, 5) 175.0000 0.000000 C( 2, 1) 195.0000 0.000000 C( 2, 2) 195.0000 0.000000 C( 2, 3) 165.0000 0.000000 C( 2, 4) 135.0000 0.000000 C( 2, 5) 175.0000 0.000000 C( 3, 1) 165.0000 0.000000 C( 3, 2) 210.0000 0.000000 C( 3, 3) 195.0000 0.000000 C( 3, 4) 150.0000 0.000000 C( 3, 5) 145.0000 0.000000 C( 4, 1) 180.0000 0.000000 C( 4, 2) 165.0000 0.000000 C( 4, 3) 180.0000 0.000000 C( 4, 4) 180.0000 0.000000 C( 4, 5) 185.0000 0.000000 C( 5, 1) 150.0000 0.000000 C( 5, 2) 180.0000 0.000000 C( 5, 3) 225.0000 0.000000 C( 5, 4) 165.0000 0.000000 C( 5, 5) 160.0000 0.000000 C( 6, 1) 135.0000 0.000000 C( 6, 2) 150.0000 0.000000 C( 6, 3) 210.0000 0.000000 C( 6, 4) 120.0000 0.000000 C( 6, 5) 220.0000 0.000000 X( 1, 1) 0.000000 25.00000 X( 1, 2) 0.000000 40.00000 X( 1, 3) 0.000000 35.00000 X( 1, 4) 0.000000 35.00000 X( 1, 5) 0.000000 40.00000 X( 2, 1) 0.000000 50.00000 X( 2, 2) 0.000000 50.00000 X( 2, 3) 1.666667 0.000000 X( 2, 4) 50.00000 0.000000 X( 2, 5) 0.000000 35.00000 X( 3, 1) 0.000000 15.00000 X( 3, 2) 0.000000 60.00000 X( 3, 3) 0.000000 25.00000 X( 3, 4) 0.000000 10.00000 X( 3, 5) 0.000000 0.000000 X( 4, 1) 0.000000 25.00000 X( 4, 2) 0.000000 10.00000 X( 4, 3) 0.000000 5.000000 X( 4, 4) 0.000000 35.00000 X( 4, 5) 0.000000 35.00000 X( 5, 1) 23.33333 0.000000 X( 5, 2) 0.000000 20.00000 X( 5, 3) 0.000000 45.00000 X( 5, 4) 0.000000 15.00000 X( 5, 5) 0.000000 5.000000 X( 6, 1) 70.00000 0.000000 X( 6, 2) 55.00000 0.000000 X( 6, 3) 0.000000 25.00000 X( 6, 4) 70.00000 0.000000 X( 6, 5) 0.000000 60.00000 Y( 1, 1) 10.00000 0.000000 Y( 1, 2) 15.00000 0.000000 Y( 1, 3) 0.000000 20.00000 Y( 1, 4) 20.00000 0.000000 Y( 1, 5) 0.000000 5.000000 Y( 2, 1) 20.00000 0.000000 Y( 2, 2) 5.000000 0.000000 Y( 2, 3) 0.000000 20.00000 Y( 2, 4) 20.00000 0.000000 Y( 2, 5) 0.000000 5.000000 Y( 3, 1) 0.000000 0.000000 Y( 3, 2) 25.00000 0.000000 Y( 3, 3) 0.000000 20.00000 Y( 3, 4) 20.00000 0.000000 Y( 3, 5) 0.000000 5.000000 Y( 4, 1) 20.00000 0.000000 Y( 4, 2) 5.000000 0.000000 Y( 4, 3) 0.000000 20.00000 Y( 4, 4) 20.00000 0.000000 Y( 4, 5) 0.000000 5.000000 Y( 5, 1) 23.33333 0.000000 Y( 5, 2) 0.000000 0.000000 Y( 5, 3) 1.666667 0.000000 Y( 5, 4) 20.00000 0.000000 Y( 5, 5) 0.000000 10.00000 Y( 6, 1) 20.00000 0.000000 Y( 6, 2) 5.000000 0.000000 Y( 6, 3) 0.000000 5.000000 Y( 6, 4) 20.00000 0.000000 Y( 6, 5) 0.000000 47.50000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 18175.00 1.000000 2 0.000000 82.50000 3 0.000000 77.50000 4 0.000000 72.50000 5 0.000000 67.50000 6 0.000000 62.50000 7 0.000000 72.50000 8 0.000000 92.50000 9 0.000000 87.50000 10 0.000000 82.50000 11 0.000000 77.50000 12 0.000000 82.50000 13 0.000000 117.5000 14 115.0000 0.000000 15 135.0000 0.000000 16 95.00000 0.000000 17 135.0000 0.000000 18 135.0000 0.000000 19 135.0000 0.000000 20 20.00000 0.000000 21 0.000000 0.000000 22 40.00000 0.000000 23 0.000000 0.000000 24 0.000000 -5.000000 25 0.000000 -7.500000 26 0.000000 -140.0000 27 0.000000 -155.0000 28 0.000000 -190.0000 29 0.000000 -125.0000 30 0.000000 -165.0000 31 50.00000 0.000000 32 50.00000 0.000000 33 50.00000 0.000000 34 50.00000 0.000000 35 50.00000 0.000000 36 60.00000 0.000000 37 65.00000 0.000000 38 48.33333 0.000000 39 20.00000 0.00000