數(shù)學(xué)中考總復(fù)習(xí)：全等三角形--知識(shí)講解

選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 中考總復(fù)習(xí)：全等三角形中考總復(fù)習(xí)：全等三角形知識(shí)講解知識(shí)講解 【考綱要求】【考綱要求】 1. 掌握全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素； 2探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式； 3. 善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對(duì)頂角等，靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€(gè)三 角形全等. 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 【考點(diǎn)梳理】【考點(diǎn)梳理】 考點(diǎn)一、基本概念考點(diǎn)一、基本概念 1.1.全等三角形的定義：全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形. 2.2.全等三角形的性質(zhì)全等三角形的性質(zhì) （1）全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等； （2）全等三角形對(duì)應(yīng)角相等. 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋： 全等三角形的周長(zhǎng)、面積相等；對(duì)應(yīng)的高線，中線，角平分線相等. 3.3.全等三角形的判定方法全等三角形的判定方法 （1）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SSS)； （2）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA） ； （3）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(AAS)； （4）兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)； （5）斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL). 考點(diǎn)二、靈活運(yùn)用定理考點(diǎn)二、靈活運(yùn)用定理 三角形全等是證明線段相等，角相等的最基本、最常用的方法，這不僅因?yàn)槿热切斡泻芏嘀?要的角相等、線段相等的特征，還在于全等三角形能把已知的線段相等、角相等與未知的結(jié)論聯(lián)系起 來(lái) 應(yīng)用三角形全等的判別方法注意以下幾點(diǎn)： 1.1. 條件充足時(shí)直接應(yīng)用判定定理?xiàng)l件充足時(shí)直接應(yīng)用判定定理 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：在證明與線段或角相等的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要先證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等.這 種情況證明兩個(gè)三角形全等的條件比較充分，只要認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知條件分析尋找兩個(gè)三角形 全等的條件即可證明兩個(gè)三角形全等 2.2. 條件不足，會(huì)增加條件用判定定理?xiàng)l件不足，會(huì)增加條件用判定定理 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：此類問(wèn)題實(shí)際是指條件開放題，即指題中沒(méi)有確定的已知條件或已知條件不充分，需要補(bǔ) 充三角形全等的條件解這類問(wèn)題的基本思路是：執(zhí)果索因，逆向思維，即從求證入手，逐步分析， 探索結(jié)論成立的條件，從而得出答案 3.3. 條件比較隱蔽時(shí)，可通過(guò)添加輔助線用判定定理?xiàng)l件比較隱蔽時(shí)，可通過(guò)添加輔助線用判定定理 要點(diǎn)詮釋：要點(diǎn)詮釋：在證明兩個(gè)三角形全等時(shí)，當(dāng)邊或角的關(guān)系不明顯時(shí)，可通過(guò)添加輔助線作為橋梁，溝通 邊或角的關(guān)系，使條件由隱變顯，從而順利運(yùn)用全等三角形的判別方法證明兩個(gè)三角形全等 常見(jiàn)的幾種輔助線添加：常見(jiàn)的幾種輔助線添加： 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì) 折” ； 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形利用的思維模式是全 等變換中的“旋轉(zhuǎn)” ； 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換 中的“對(duì)折” ，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理； 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或 “翻轉(zhuǎn)折疊” ； 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)， 使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、 差、倍、分之類的題目 【典型例題】【典型例題】 類型一、全等三角形類型一、全等三角形 1如圖，BD、CE 分別是ABC 的邊 AC 和 AB 上的高，點(diǎn) P 在 BD 的延長(zhǎng)線上，BP=AC，點(diǎn) Q 在 CE 上，CQ=AB求證：（1）AP=AQ；（2）APAQ 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)問(wèn)題 【答案與解析】 證明： （1）BD、CE 分別是ABC 的邊 AC 和 AB 上的高， 1+CAE=90，2+CAE=90 1=2, 在AQC 和PAB 中， 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 AQCPAB AP=AQ. (2) AP=AQ，QAC=P， PAD+P=90， PAD+QAC=90，即PAQ=90 APAQ 【總結(jié)升華】在確定全等條件時(shí)，注意隱含條件的尋找. 舉一反三：舉一反三：【高清課堂：全等三角形【高清課堂：全等三角形 例例 8 8】 【變式變式】 （2015永州）如圖，在四邊形 ABCD 中，A=BCD=90，BC=DC延長(zhǎng) AD 到 E 點(diǎn)，使 DE=AB （1）求證：ABC=EDC； （2）求證：ABCEDC 【答案與解析】 （1）證明：在四邊形 ABCD 中，BAD=BCD=90， 90+B+90+ADC=360， B+ADC=180， 又CDE+ADC=180， ABC=CDE， （2）連接 AC，由（1）證得ABC=CDE， 在ABC 和EDC 中， ， ABCEDC（SAS） 類型二、靈活運(yùn)用定理類型二、靈活運(yùn)用定理 2如圖，已知 AD 為ABC 的中線，且12,34,求證：BECFEF. 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 【思路點(diǎn)撥】將所求的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)或相關(guān)聯(lián)的三角形中進(jìn)行求解 【答案與解析】證明：延長(zhǎng) ED 至 M，使 DM=DE，連接 CM，MF, 在BDE 和CDM 中， BDECDM（SAS） BE=CM. 又12，34 ， 1234180， 32=90，即EDF90， FDMEDF 90 在EDF 和MDF 中 EDFMDF（SAS）, EFMF （全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）, 在CMF 中，CFCMMF（三角形兩邊之和大于第三邊）, BECFEF. 【總結(jié)升華】當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使 題中分散的條件集中. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】如圖所示，AD 是ABC 的中線，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF. 求證：AC=BF. 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 【答案】 證明：延長(zhǎng) AD 到 H，使得 DH=AD，連結(jié) BH， D 為 BC 中點(diǎn)， BD=DC， 在ADC 和HDB 中 ， ADCHDB(SAS)， AC=BH, H=HAC， EA=EF， HAE=AFE， 又 BFH=AFE， BH=BF， BF=AC 3如圖，在四邊形 ABCD 中，對(duì)角線 AC 平分BAD，ABAD，試判斷 AB-AD 與 CD-CB 的大小關(guān) 系，并證明你的結(jié)論 【思路點(diǎn)撥】解答本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形中大邊對(duì)應(yīng)大角的關(guān)系 【答案與解析】AB-ADCD-CB； 證明：在 AB 上取一點(diǎn) E，使得 AE=AD，連結(jié) CE AC 平分BAD， 1=2 在ACE 和ACD 中， ACEACD CD=CE 在BCE 中，BECE-CB， 即 AB-AECE-CB， AB-ADCD-CB 【總結(jié)升華】本題也可以延長(zhǎng) AD 到 E，使得 AE=AB，連結(jié) CE涉及幾條線段的大小關(guān)系時(shí)，用“截長(zhǎng) 補(bǔ)短”法構(gòu)造全等三角形是常用的方法 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】如圖所示，已知ABC 中 ABAC，AD 是BAC 的平分線，M 是 AD 上任意一點(diǎn)， 求證：MBMCABAC 【答案】 證明：ABAC，在 AB 上截取 AEAC，連接 ME 在MBE 中，MBMEBE（三角形兩邊之差小于第三邊） 在AMC 和AME 中， AMCAME（SAS） MCME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等） 又BEABAE， BEABAC， MBMCABAC 4如圖，在ABC 中，ABC=60，AD、CE 分別平分BAC、ACB，求證：AC=AE+CD 【思路點(diǎn)撥】在 AC 上取 AF=AE，連接 OF，即可證得AEOAFO，得AOE=AOF；再證得COF= COD，則根據(jù)全等三角形的判定方法 AAS 即可證FOCDOC，可得 DC=FC，即可得結(jié)論 【答案與解析】在 AC 上取 AF=AE，連接 OF， AD 平分BAC、 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 EAO=FAO， 在AEO 與AFO 中， AEAF EAOFAO AOAO AEOAFO（SAS） ， AOE=AOF； AD、CE 分別平分BAC、ACB， ECA+DAC=（180-B）=60 1 2 則AOC=180-ECA-DAC=120； AOC=DOE=120，AOE=COD=AOF=60， （對(duì)頂角相等） 則COF=60， COD=COF， 又FCO=DCO，CO=CO， FOCDOC（ASA） ， DC=FC， AC=AF+FC， AC=AE+CD 【總結(jié)升華】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，涉及到三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形 的判定方法是解題的關(guān)鍵 類型三、綜合運(yùn)用類型三、綜合運(yùn)用 5 （2015泰安）如圖，ABC 是直角三角形，且ABC=90，四邊形 BCDE 是平行四邊形，E 為 AC 中點(diǎn)，BD 平分ABC，點(diǎn) F 在 AB 上，且 BF=BC 求證：（1）DF=AE；（2）DFAC 【思路點(diǎn)撥】 （1）由等邊三角形的性質(zhì)可寫出結(jié)論 （2）要證明以上結(jié)論，需創(chuàng)造一些條件，首先可從ABC 中分出一部分使得與ACF 的面積相等，則 過(guò) A 作 AMFC 交 BC 于 M，連接 DM、EM，就可創(chuàng)造出這樣的條件，然后再證其它的面積也相等即可 【答案與解析】 證明：（1）延長(zhǎng) DE 交 AB 于點(diǎn) G，連接 AD 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 四邊形 BCDE 是平行四邊形， EDBC，ED=BC 點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn)，ABC=90， AG=BG，DGAB AD=BD， BAD=ABD BD 平分ABC， ABD=BAD=45，即BDE=ADE=45 又 BF=BC， BF=DE 在AED 與DFB 中， AEDDFB（SAS） ， AE=DF，即 DF=AE； （2）設(shè) AC 與 FD 交于點(diǎn) O 由（1）知，AEDDFB， AED=DFB， DEO=DFG DFG+FDG=90， DEO+EDO=90， EOD=90，即 DFAC 【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)全等三角形的判定是結(jié)合全 等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件 舉一反三：舉一反三：【高清課堂：全等三角形【高清課堂：全等三角形 例例 9 9】 【變式變式】如圖，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90,四邊形 ACDE 是平行四邊形， 連結(jié) CE 交 AD 于點(diǎn) F，連結(jié) BD 交 CE 于點(diǎn) G，連結(jié) BE. 下列結(jié)論中： CE=BD； ADC 是等腰直 角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正確的結(jié)論有( ) A1 個(gè) B2 個(gè) C3 個(gè) D4 個(gè) A B C D E F G 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 【答案】D. 6如圖，已知ABC. （1）請(qǐng)你在 BC 邊上分別取兩點(diǎn) D、E(BC 的中點(diǎn)除外)，連結(jié) AD、AE，寫出使此圖中只存在兩對(duì)面積相 等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形； （2）請(qǐng)你根據(jù)使(1)成立的相應(yīng)條件，證明 AB+ACAD+AE 【思路點(diǎn)撥】考查了三角形面積的求法，全等三角形的判定以及三角形三邊的關(guān)系本題（2）中通過(guò) 構(gòu)建全等三角形將已知和所求條件轉(zhuǎn)化到相關(guān)的三角形中是解題的關(guān)鍵 【答案與解析】 （1）令 BD=CEDE,有ABD 和ACE，ABE 和ACD 面積相等. （2）取 DE 的中點(diǎn) O，連結(jié) AO 并延長(zhǎng)到 F 點(diǎn)，使得 FO=AO，連結(jié) EF，CF 在AD0 和FEO 中，又AOD=FOE，DO=EO, 可證ADOFEO 所以 AD=FE 因?yàn)?BD=CE，DO=EO， 所以 BO=CO. 同理可證ABDFCO， 所以 AB=FC. 延長(zhǎng) AE 交 CF 于 G 點(diǎn), 在ACG 中，AC+CGAE+EG， 在EFG 中，EG+FGEF, 可推得 AC+CG+EG+FGAE+EG+EF, 選師無(wú)憂/達(dá)分課 15 年教育品牌 專業(yè)選師平臺(tái) 免費(fèi)咨詢熱線：400-612-5351 即 AC+CFAE+EF, 所以 AB+ACAD+AE. 【總結(jié)升華】正確構(gòu)造全等和利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊的結(jié)論是關(guān)鍵. 舉一反三：舉一反三： 【變式變式】在ABC 中，,ACB=90，AC=BC，直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C，且 ADMN 于 D，BEMN 于 E. (1)當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，求證：DE=AD+BE； (2)當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE； (3)當(dāng)直線 MN 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)，試問(wèn)：DE、A