2016年衡水金高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）含答案解析

第 1 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 2016 年全國(guó)普通高等學(xué)校高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（衡水金卷） 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求） 1已知集合 A=x N|x（ 2 x） 0， B=x| 1 x 1，則 AB=（ ） A x|0 x 2 B x|0 x 2 C 0， 1， 2 D 0， 1 2已知復(fù)數(shù) z= （ a R， i 為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則 a 的值為（ ） A 1 B 2 C 1 D 0 3已 知 =2，則 ） A B C D 5 4 A， B， C 三位抗戰(zhàn)老兵應(yīng)邀參加了在北京舉行的 “紀(jì)念抗戰(zhàn)勝利 70 周年 ”大閱兵的老兵方隊(duì)，現(xiàn)安排這三位老兵分別坐在某輛檢閱車(chē)的前三排（每?jī)扇司蛔慌牛瑒t事件 “ 坐第一排 ”的概率為（ ） A B C D 5已知圓 O 的方程為 x2+，直線 l 的方程為 y=k（ x 1） +3，則 “k= “是 ”直線 l 與圓O 相切 ”的 A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 6橢圓 C： + =1（ a b 0）的兩焦點(diǎn)為 P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，且 x 軸，若 內(nèi)切圓半徑 r= ，則橢圓 C 的離心率為（ ） A B C D 7已知某幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體的體積為（ ） 第 2 頁(yè)（共 21 頁(yè)） A + B + C + D + 8張丘建算經(jīng)卷上第 22 題為 “今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈 ”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第 2 天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，第 1 天織了 5 尺布，現(xiàn)在一月（按 30 天計(jì)算）共織 390 尺布，記該女子一月中的第 n 天所織布的尺數(shù)為 值為（ ） A 55 B 52 C 39 D 26 9將函數(shù) f（ x） =22x+ ）的圖象向左平移 個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y=g（ x）的圖象，則下面對(duì)函數(shù) y=g（ x）的敘述正確的是（ ） A函數(shù) g（ x） =2x+ ） B函數(shù) g（ x）的周期為 C函數(shù) g（ x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)（ ， 0） D函數(shù) g（ x）在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞增 10執(zhí)行如圖所示的程序框圖，其中輸入的 i=1， 2， 10）依次是： 3， 4， 5， 3， 4， 5， 6， 8， 0， 2，則輸出的 V 值為（ ） A 16 B C D 11設(shè)關(guān)于 x， y 的不等式組 ，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn) M（ 滿足，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是（ ） 第 3 頁(yè)（共 21 頁(yè)） A（ ， 1 B 1， +） C（ ， 1 D以上都不正確 12定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足： f（ x） = f（ x）； f（ x+2） =f（ x）； x 0，1時(shí)， f（ x） = x+1），則函數(shù) y=f（ x） x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 二 大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13已知正項(xiàng)數(shù)列 足 =4 ，且 4，則數(shù)列 前 6 項(xiàng)和 _ 14已知向量 =（ m， n 1）， =（ 1， 1），且 ，則 最大值為 _ 15已知 F 是拋物線 x 的焦點(diǎn)， A， B 是拋物線上的兩點(diǎn)， |3，若直線 ，則線段 中點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 _ 16若函數(shù) f（ x） = （ a 0 且 a 1）在區(qū)間 ， +）內(nèi)單調(diào)遞減，則 a 的取值范圍是 _ 三 大 題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 17在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，且 b=c， 1） （ 1）求 B 的大?。?（ 2）若 面積為 4 ，求 a， b， c 的值 18到 2016 年，北京市高考英語(yǔ)總分將由 150 分降低到 100 分，語(yǔ)文分值將相應(yīng)增加某校高三學(xué)生率先嘗試 100 分制英語(yǔ)考試，從中隨機(jī)抽出 50 人的英語(yǔ)成績(jī) 作為樣本并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組 50， 60，第二組 60， 70， 第五組 90，100，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖 （ 1）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)這次參加英語(yǔ)考試的高三學(xué)生的英語(yǔ)平均成績(jī)； （ 2）從這五組中抽取 14 人進(jìn)行座談，若抽取的這 14 人中，恰好有 2 人成績(jī)?yōu)?50 分， 7 人成績(jī)?yōu)?70 分， 2 人成績(jī)?yōu)?75 分， 3 人成績(jī)?yōu)?80 分，求這 14 人英語(yǔ)成績(jī)的方差； （ 3）從 50 人的樣本中，隨機(jī)抽取測(cè)試成績(jī)?cè)?50， 60 90， 100內(nèi) 的兩名學(xué)生，設(shè)其測(cè)試成績(jī)分別為 m， n （ i）求事件 “|m n| 30”的概率； （ 事件 “3600”的概率 第 4 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 19如圖， 等腰直角三角形， 邊形 直角梯形， C ，平面 平面 （ 1）求證： （ 2）若點(diǎn) E 是線段 的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn) E 在何位置時(shí)，三棱錐 M 體積為 ？ 20已知圓 C 的圓心與雙曲線 M： 的上焦點(diǎn)重合，直線 3x+4y+1=0 與圓 C 相交于A， B 兩點(diǎn)，且 |4 （ 1）求圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2） O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， D（ 2， 0）， E（ 2， 0）為 x 軸上的兩點(diǎn)，若圓 C 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P 使得 | |等比數(shù)列，求 的取值范圍 21已知 函數(shù) f（ x） =（ a 1） （ 1）若函數(shù) f（ x）的圖象在 x=1 處的切線斜率為 1，求該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積； （ 2）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， e上的最小值是 2，求 a 的值 請(qǐng)考生在 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分） 選修 4何證明選講 22如圖，直線 O 交于 A， B 兩點(diǎn)， 點(diǎn) D， O 的切線，切點(diǎn)為 C （ 1）求證： 2）若 O 的直徑 ， ，試求線段 長(zhǎng) 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23設(shè)點(diǎn) A 是曲線 C： ，（ 為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) B 是直線 l： ，（ t 為參數(shù)）上的動(dòng)點(diǎn) （ 1）求曲線 C 與直線 l 的普通方程； （ 2）求 A， B 兩點(diǎn)的最小距離 選修 4等式選講 第 5 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 24已知函數(shù) f（ x） =|x 2| |x 4| （ 1）求不等式 f（ x） 0 的解 集； （ 2）若函數(shù) g（ x） = 的定義域?yàn)?R，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 第 6 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 2016 年全國(guó)普通高等學(xué)校高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（衡水金卷） 參考答案與試題解析 一 大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求） 1已知集合 A=x N|x（ 2 x） 0， B=x| 1 x 1，則 AB=（ ） A x|0 x 2 B x|0 x 2 C 0， 1， 2 D 0， 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn) 算 【分析】 求出兩個(gè)集合，然后求解交集即可 【解答】 解：集合 A=x N|x（ 2 x） 0 x N|0 x 2=0， 1， 2， B=x| 1 x 1， 則集合 AB=0， 1 故選： D 2已知復(fù)數(shù) z= （ a R， i 為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則 a 的值為（ ） A 1 B 2 C 1 D 0 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化復(fù)數(shù)為 a+a， b R）的形式，由實(shí)部等于 0 且虛部不等于0 列方程求出實(shí)數(shù) a 的 值 【解答】 解：根據(jù)復(fù)數(shù) z= = = + i 是純虛數(shù)， 得 ， 解得 a=2； 所以使復(fù)數(shù) 是純虛數(shù)的實(shí)數(shù) a 的值為 2 故選： B 3已知 =2，則 ） A B C D 5 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值 【分析】 利用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式即可得解 【解答】 解： = = =2， 解得： 5 第 7 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 故選： D 4 A， B， C 三位抗戰(zhàn)老兵應(yīng)邀參加了在北京舉行的 “紀(jì)念抗戰(zhàn)勝利 70 周年 ”大閱兵的老兵方隊(duì)，現(xiàn)安排這三位老兵分別坐在某輛檢閱車(chē)的前三排（每?jī)扇司蛔慌牛瑒t事件 “ 坐第一排 ”的概率為（ ） A B C D 【考點(diǎn) 】 古典概型及其概率計(jì)算公式 【分析】 安排這 3 位老兵分別坐在某輛檢閱車(chē)的前 3 排（每?jī)扇司蛔慌牛?，先求出基本事件總?shù)，再求出 A 或 B 坐第一排的種數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算即可 【解答】 解：安排這 3 位老兵分別坐在某輛檢閱車(chē)的前 3 排（每?jī)扇司蛔慌牛?，基本事件總?shù) ， A 或 B 坐第一排有 種， 故 “A 或 B 坐第一排 ”的概率為 = ， 故選： A 5已知圓 O 的方程為 x2+， 直線 l 的方程為 y=k（ x 1） +3，則 “k= “是 ”直線 l 與圓O 相切 ”的 A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離，求出 k 的值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷即可 【解答】 解： O 的方程為 x2+，表示以（ 0， 0）為圓心、半徑 r=1 的圓 求出圓心到直線 l 的方程為 y=k（ x 1） +3 的距離為 d= =1， 解得 k= ， 故 “k= “是 ”直線 l 與圓 O 相切 ”充要條件， 故選： C 6橢圓 C： + =1（ a b 0）的兩焦點(diǎn)為 P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，且 x 軸，若 內(nèi)切圓半徑 r= ，則橢圓 C 的離心率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 第 8 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【分析】 設(shè)出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，令 x=c，求得 | ，由橢圓的定義可得， |2a ，在直角 ，運(yùn)用面積相等，可得內(nèi)切圓的半徑 r，由條件化簡(jiǎn)整理，結(jié)合離心率公式，計(jì)算即可得到所求值 【解答】 解：由橢圓 C： + =1（ a b 0）的兩焦點(diǎn)為 c， 0）， c， 0）， P 為橢圓 C 上一點(diǎn)，且 x 軸， 可得 |2c，由 x=c，可得 y= b = ， 即有 | ， 由橢圓的定義可得， |2a ， 在直角 ， | r（ |， 可得 內(nèi)切圓半徑 r= = c， 即有 2（ =a（ a+c）， 整理，得 a=2c， 橢圓 C 的離心率為 e= = 故選： B 7已知某幾何體的三視圖如圖所示，則幾何體的體積為（ ） A + B + C + D + 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個(gè)組合體：上面是三棱錐、下面是半球，由三視圖求出幾何元素的長(zhǎng)度，由球體、錐體的體積公式求出該幾何體的體積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個(gè)組合體：上面是三棱錐、下面是半球， 且三棱錐的底面是等腰直角三角形、直角邊為 1，高為 1， 第 9 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 由圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角得球的半徑是 ， 幾何體的體積 V= = ， 故選 D 8張丘建算經(jīng)卷上第 22 題為 “今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈 ”其意思為：現(xiàn)有一善于織布的女子，從第 2 天開(kāi)始，每天比前一天多織相同量的布，第 1 天織了 5 尺布，現(xiàn)在一月（按 30 天計(jì)算）共織 390 尺布，記該女子一月中的第 n 天所織布的尺數(shù)為 值為（ ） A 55 B 52 C 39 D 26 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 【分析】 設(shè)從第 2 天開(kāi)始，每天比前一天多織 d 尺布，由等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式求出 d= ，由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出 【解答】 解：設(shè)從第 2 天開(kāi)始，每天比前一天多織 d 尺布， 則 =390， 解得 d= ， 3d+4d+5d+6d =48d =4 5+58 =52 故選： B 9將函數(shù) f（ x） =22x+ ）的圖象向左平移 個(gè)單位 ，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y=g（ x）的圖象，則下面對(duì)函數(shù) y=g（ x）的敘述正確的是（ ） A函數(shù) g（ x） =2x+ ） B函數(shù) g（ x）的周期為 C函數(shù) g（ x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)（ ， 0） D函數(shù) g（ x）在區(qū)間 ， 上單調(diào)遞增 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換 第 10 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【分析】 利用函數(shù) y=x+）的圖象變換規(guī)律，求得 g（ x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性以及它的圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論 【解答】 解：將函數(shù) f（ x） =22x+ ）的圖象向左平移 個(gè)單位，可得函數(shù) y=2（ x+ ） + =22x+ ）的圖象； 再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) y=g（ x） =24x+ ）的圖象， 故 g（ x）的周期為 = ，排除 A、 B 令 x= ，求得 f（ x） =0，可得 g（ x）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)（ ， 0），故 C 滿足條件 在區(qū)間 ， 上， 4x+ ， ，函數(shù) g（ x）沒(méi)有單調(diào)性，故排除 D， 故選： C 10執(zhí)行如圖所示的程序 框圖，其中輸入的 i=1， 2， 10）依次是： 3， 4， 5， 3， 4， 5， 6， 8， 0， 2，則輸出的 V 值為（ ） A 16 B C D 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 模擬程序的運(yùn)行，可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出 V= 的值 ，由題意計(jì)算 S，T 的值即可得解 【解答】 解：根據(jù)題意，本程序框圖中循環(huán)體為 “直到型 ”循環(huán)結(jié)構(gòu)， 模擬程序的運(yùn)行，可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出 V= 的值 第 11 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 由題意可得： S=3+4+5+6+8+2， T=（ 3） +（ 4） +（ 5） +0， 所以： V= = = 故選： B 11設(shè)關(guān)于 x， y 的不等式組 ，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn) M（ 滿足，則實(shí)數(shù) t 的取值范圍是（ ） A（ ， 1 B 1， +） C（ ， 1 D以上都不正確 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【分析】 作出可行域，根據(jù)可行域滿足的條件判斷可行域邊界 x 2y=t 的位置，列出不等式解出 【解答】 解：作出可行域如圖： 平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn) M（ 滿足 ， 直線 x+2y=5 與可行域有交點(diǎn)， 解方程組 得 A（ 2， ） 點(diǎn) A 在直線 x 2y=t 上或在直線 x 2y=t 下方 由 x 2y=t 得 y= ，解得 t 1 故選： A 12定義在 R 上的函數(shù) f（ x）滿足： f（ x） = f（ x）； f（ x+2） =f（ x）； x 0，1時(shí)， f（ x） = x+1），則函數(shù) y=f（ x） x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 第 12 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【分析】 由已知畫(huà)出兩個(gè)函數(shù) f（ x） = x+1）與 y=x|的簡(jiǎn)圖，數(shù)形結(jié)合得答案 【解答】 解：由 可知， f（ x）是周期為 2 的奇函數(shù)，又 x 0， 1時(shí)， f（ x） = x+1） ， 可得函數(shù) f（ x）在 R 上的圖象如圖， 由圖可知，函數(shù) y=f（ x） x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 6 個(gè)， 故選： B 二 大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分） 13已知正項(xiàng)數(shù)列 足 =4 ，且 4，則數(shù)列 前 6 項(xiàng)和 63 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和 【分析】 由正項(xiàng)數(shù)列 足 =4 ，兩邊開(kāi)方可得： =2得公比 q=2又 4，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 利用等比數(shù)列的求和公式即可得出 【解答】 解： 正項(xiàng)數(shù)列 足 =4 ， =2 公比 q=2 4， =64，解得 則數(shù)列 前 6 項(xiàng)和 =63 故答案為： 63 14已知向量 =（ m， n 1）， =（ 1， 1），且 ，則 最大值為 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【 分析】 首先由向量的垂直得到關(guān)于 m， n 的等式，然后利用基本不等式求 最值 【解答】 解：因?yàn)橄蛄?=（ m， n 1）， =（ 1， 1），且 ，所以 =m+n 1=0，即m+n=1，所以 當(dāng)且僅當(dāng) m=n 時(shí)取等號(hào)，所以 最大值為 第 13 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 故答案為： 15已知 F 是拋物線 x 的焦點(diǎn)， A， B 是拋物線上的兩點(diǎn)， |3，若直線 ，則線段 中點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 （ 1， ） 【考點(diǎn)】 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 設(shè) A（ B（ 代入拋物線的方程，求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，運(yùn)用 拋物線的定義，以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求中點(diǎn) P 的坐標(biāo) 【解答】 解：設(shè) A（ B（ 可得 拋物線 x 的焦點(diǎn)為 F（ ， 0），準(zhǔn)線為 x= ， 由拋物線的定義，可得 |， |， 由 |3，可得 x1+=3， 即 x1+，即 =1， 中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1， 又 = = =3， 即為 y1+，則 = 則 中點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， ） 故答案為：（ 1， ） 16若函數(shù) f（ x） = （ a 0 且 a 1）在區(qū)間 ， +）內(nèi)單調(diào)遞減，則 a 的取值范圍是 （ 0， 【考點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì) 第 14 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【分析】 由題意 利用 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得 ，由此求得 a 的范圍 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） = （ a 0 且 a 1）在區(qū)間 ， +）內(nèi)單調(diào)遞減， 當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） = 3x2+a 0，且 1+a+ 2a 1， ，求得 0 a ， 故答案為：（ 0， 三 大題共 5 小題，共 70 分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 17在 ，角 A， B， C 所對(duì)的邊分別為 a， b， c，且 b=c， 1） （ 1）求 B 的大小； （ 2）若 面積為 4 ，求 a， b， c 的值 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）利用正弦定理化簡(jiǎn)已知可得 a b=（ ） c，結(jié)合 b=c，可得 a= ，由余弦定理可求 合范圍 B （ 0， ），即可得解 B 的值 （ 2）利用已知及三角形面積公式可求 c 的值，結(jié)合（ 1）即可求得 b， a 的值 【解答】 解：（ 1） 1） 由正弦定理可得： a b=（ ） c， 又 b=c，可得 a= = = ， 又 B （ 0， ）， B= （ 2） 面積為 4 ， =4 ，解得： c=4， 由（ 1）可得： b=4， a=4 第 15 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 18到 2016 年，北京市高考英語(yǔ)總分將由 150 分降低到 100 分，語(yǔ)文分值將相應(yīng)增加某校高三學(xué)生率先嘗試 100 分制英語(yǔ)考試，從中隨機(jī)抽出 50 人的英語(yǔ)成績(jī)作為樣本并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：第一組 50， 60，第二組 60， 70， 第五組 90，100，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖 （ 1）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)這次參加英語(yǔ)考試的高三學(xué)生的英語(yǔ)平均成績(jī)； （ 2）從這五組中抽取 14 人進(jìn)行座談，若抽取的這 14 人中，恰好有 2 人成績(jī)?yōu)?50 分， 7 人成績(jī)?yōu)?70 分， 2 人成績(jī)?yōu)?75 分， 3 人成績(jī)?yōu)?80 分，求這 14 人英語(yǔ)成績(jī)的方差； （ 3）從 50 人的樣本中，隨機(jī)抽取測(cè)試成績(jī)?cè)?50， 60 90， 100內(nèi)的兩名學(xué)生，設(shè)其測(cè)試成績(jī)分別為 m， n （ i）求事件 “|m n| 30”的概率； （ 事件 “3600”的概率 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ 1）由頻率分布直方圖能估計(jì)高三學(xué)生的英語(yǔ)平均成績(jī) （ 2）先求出這 14 人英語(yǔ)成績(jī)的平均分，由此能求出這 14 人英語(yǔ)成績(jī)的方差 （ 3）（ i）由直方圖知成績(jī)?cè)?50， 60內(nèi)的人數(shù)為 2，設(shè)其成績(jī)分別為 a， b， c，利用列舉法能求出事件 “|m n| 30”的概率 （ 事件 3600 的基本事件只有（ x， y）這一種，能求出事件 “3600”的概率 【解 答】 解：（ 1）估計(jì)高三學(xué)生的英語(yǔ)平均成績(jī)?yōu)椋?55 10+65 10+75 10+85 10+95 10= （ 2）這 14 人英語(yǔ)成績(jī)的平均分為： = =70， 這 14 人英語(yǔ)成績(jī)的方差： 2（ 50 70） 2+7（ 70 70） 2+2（ 75 70） 2+3（ 80 70） 2= （ 3）（ i）由直方圖知成績(jī)?cè)?50， 60內(nèi)的人數(shù)為： 50 10 ， 設(shè)其成績(jī)分別為 a， b， c， 若 m， n 50， 60）時(shí)，只有（ x， y）一種情況， 若 m， n 90， 100時(shí)，有（ a， b），（ b， c），（ a， c）三種情況， 若 m， n 分別在 50， 60）和 90， 100內(nèi)時(shí)，有： a b c x （ x， a） （ x， b） （ x， c） y （ y， a） （ y， b） （ y， c） 共 6 種情況， 基本事件總 數(shù)為 10 種， 第 16 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 事件 “|m n| 30”所包含的基本事件有 6 種， P（ |m n| 30） = （ 件 3600 的基本事件只有（ x， y）這一種， P（ 3600） = 19如圖， 等腰直角三角形， 邊形 直角梯形， C ，平面 平面 （ 1）求證： （ 2）若點(diǎn) E 是線段 的一動(dòng)點(diǎn) ，問(wèn)點(diǎn) E 在何位置時(shí)，三棱錐 M 體積為 ？ 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）根據(jù)平面幾何知識(shí)可證明 而 平面 是 合 得 平面 是 （ 2）令 ，則 E 到平面 距離 d=，代入棱錐的體積公式即可得出，從而確定 E 的位置 【解答】 證明：（ 1） 四邊形 直角梯形， ， M= ， 平面 平面 面 面 M， 面 平面 面 面 面 M=M， 平面 面 （ 2）由（ 1）可知 平面 ， 設(shè) ，則 E 到平面 距離 d= 等腰直角三角形， ， M=1， E = 即 = E 為 中點(diǎn) 第 17 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 20已知圓 C 的圓心與雙曲線 M： 的上焦點(diǎn)重合，直線 3x+4y+1=0 與圓 C 相交于A， B 兩點(diǎn)，且 |4 （ 1）求圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2） O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， D（ 2， 0）， E（ 2， 0）為 x 軸上的 兩點(diǎn)，若圓 C 內(nèi)的動(dòng)點(diǎn) P 使得 | |等比數(shù)列，求 的取值范圍 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ 1）求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可 （ 2）根據(jù) | | |等比數(shù)列，建立方程關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可 【解答】 解：（ 1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1，則 c= =1， 即雙曲線的焦點(diǎn) C（ 0， 1）， 圓心 C 到直線 3x+4y+1=0 的距離 d= ， 則半徑 r= 故圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y 1） 2=5 （ 2）設(shè) P（ x， y）， | | |等比數(shù)列， =x2+ 整理得 ， 故 =（ 2 x， y） （ 2 x， y） =4+（ 1）， 由于 P 在圓 C 內(nèi)，則 ， 得 y 1 0，得 y ， 則 0 （ ） 2= ， 2（ 1） 2， 1+ ）， 則 的取值范圍是 2， 1+ ） 21已知函數(shù) f（ x） =（ a 1） （ 1）若函數(shù) f（ x）的圖象在 x=1 處的切線斜率為 1，求該切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積； （ 2）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， e上的最小值是 2，求 a 的值 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ 1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù) f（ 1） = 1，求出 a 的值，從而求出切線方程即可； （ 2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 a 的范圍，單調(diào)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而求出 a 的值即可 第 18 頁(yè)（共 21 頁(yè)） 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =， 得： f（ x） = ，則 f（ 1） =1 a， 由切線斜率為 1，得 1 a= 1， 解得： a=2，則 f（ 1） =2， 函數(shù) f（ x）在 x=1 處的切線方程是 y 2=（ x 1）， 即 x+y 3=0， 故與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為： 3 3= ； （ 2）由（ 1）知， f（ x） = ， x 1， e， 1 a e 時(shí)，在區(qū)間 1， a上有 f（ x） 0， 函數(shù) f（ x）在區(qū)間 1， a上單調(diào)遞減， 在區(qū)間（ a， e上有 f（ x） 0，函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ a， e上單調(diào)遞增， f（ x）的最小值是 f（ a） =， 由 =2 得： a=e 與 1 a e 矛盾， a=e 時(shí)， f（ x） 0， f（ x）在 1， e上遞減， f（ x）的最小值是 f（ e） =2，符合題意； a e 時(shí)，顯然 f（ x）在區(qū)間 1， e上遞減， 最小值是 f（ e） =1+ 2，與最小值是 2 矛盾； 綜上， a=e 請(qǐng)考生在 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分） 選修 4何證明選講 22如圖，直線 O