人教版九年級數(shù)學上冊《22.3實際問題與一元二次方程》同步測試含答案解析

第 1頁（共 25頁） 際問題與一元二次方程 一、解答題 1某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設計了點做圓周運動的一個雛形，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點 A、 時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程 l（ 時間 t（ s）滿足關系： l= t（ t 0），乙以 4cm/圓的長度為 21 （ 1）甲運動 4 （ 2）甲、乙從開始 運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？ （ 3）甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多少時間？ 2某商場以每件 280元的價格購進一批商品，當每件商品售價為 360元時，每月可售出 60件，為了擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價 1元，那么商場每月就可以多售出 5件 （ 1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？ （ 2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多少元？ 3 某商店購進 600個旅游紀念品，進價為每個 6元，第一周以每個 10元的價格售出 200個，第二周若按每個 10元的價格銷售仍可售出 200個，但商店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低 1元，可多售出 50 個，但售價不得低于進價），單價降低 售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個 4元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利 1250元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？ 4小林準備進行如下操作實驗；把一根長為 40把每一段各圍成一個正方形 （ 1）要使這兩 個正方形的面積之和等于 58林該怎么剪？ （ 2）小峰對小林說： “ 這兩個正方形的面積之和不可能等于 48” 他的說法對嗎？請說明理由 第 2頁（共 25頁） 5要在一塊長 52m，寬 48m 的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路下面分別是小亮和小穎的設計方案 （ 1）求小亮設計方案中甬路的寬度 x； （ 2）求小穎設計方案中四塊綠地的總面積（友情提示：小穎設計方案中的 6如圖所示，在長和寬分別是 a、 邊長為 （ 1）用 a， b， （ 2）當 a=6， b=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長 7 “ 低碳生活，綠色出行 ” ，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具某運動商城的自行車銷售量自 2013年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，該商城 1月份銷售自行車 64輛， 3月份銷售了 100輛 （ 1）若該商城前 4個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該商城 4月份賣出多少輛自行車？ （ 2）考慮到自行車需求不斷增加，該商城準備投入 3 萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車，已知 00元 /輛，售價為 700元 /輛， 000元 /輛，售價為 1300元 /輛根據(jù)銷售經(jīng)驗， 型車的 2倍，但不超過 設所進車輛全部售完，為使利潤最大，該商城應如何進貨？ 8 2010年底某市汽車擁有量為 100萬輛，而截止到 2012 年底，該市的汽車擁有量已達到 144萬輛 第 3頁（共 25頁） （ 1）求 2010年底至 2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率； （ 2）該市交通部門為控制汽車擁有量的增長速度，要求到 2013年底全市汽車擁有量不超過 計 2013年報廢的汽車數(shù)量是 2012年底汽車擁有量的 10%，求 2012年底至 2013年底該市汽車擁有量的年增長率要控制在什么范圍才能達到要求 9為響應區(qū) “ 美麗廣西 清潔鄉(xiāng)村 ” 的號召，某校開展 “ 美麗廣西 清潔校園 ” 的活動，該校經(jīng)過精心設計，計算出需要綠化的面積為 498化 150了更快的完成該項綠化工作，將每天的工作量提高為原來的 果一共用 20天完成了該項綠化工作 （ 1）該項綠化工作原計劃每天完成多少 （ 2）在綠化工作中有一塊面積為 170矩形的長比寬的 2倍少 3m，請問這塊矩形場地的長和寬各是多少米？ 10在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖 1和圖 2 發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式 這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關系因幾何直觀而形象化 【研究速算】 提出問題： 47 43， 56 54， 79 71， 是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是 10 的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？ 幾何建模： 用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以 47 43為例： （ 1）畫長為 47，寬為 43 的矩形，如圖 3，將這個 47 43的矩形從右邊切下長 40，寬 3的一條，拼接到原矩形上面 （ 2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式： 47 43的矩形面積或（ 40+7+3） 40的矩形與右上角 3 7的矩形面積之和，即 47 43=（ 40+10） 40+3 7=5 4 100+3 7=2021 用文字表述 47 43的速算方法是：十位數(shù)字 4加 1的和與 4相乘，再乘以 100，加上個位數(shù)字 3與7 的積，構成運算結果 第 4頁（共 25頁） 歸納提煉： 兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是 10的兩位數(shù)相乘 的速算方法是（用文字表述） 【研究方程】 提出問題：怎樣圖解一元二次方程 x 35=0（ x 0）？ 幾何建模： （ 1）變形： x（ x+2） =35 （ 2）畫四個長為 x+2，寬為 造圖 4 （ 3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（ x+x+2） 2或四個長 x+2，寬 上中間邊長為 2的小正方形面積 即（ x+x+2） 2=4x（ x+2） +22 x（ x+2） =35 （ x+x+2） 2=4 35+22 （ 2x+2） 2=144 x 0 x=5 歸納提煉：求關于 x（ x+b） =c（ x 0， b 0， c 0）的解 要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長） 【研究不等關系】 提出問題：怎樣運用矩形面積表示（ y+3）（ y+2）與 2y+5的大小關系（其中 y 0）？ 幾何建模： （ 1）畫長 y+3，寬 y+2的矩形，按圖 5方式分割 （ 2）變形： 2y+5=（ y+3） +（ y+2） （ 3）分析：圖 5中大矩形的面積可以表示為（ y+3）（ y+2）；陰影部分面積可以表示為（ y+3） 1，畫點部分的面積可表示為 y+2，由圖形的 部分與整體的關系可知（ y+3）（ y+2） （ y+3） +（ y+2），即（ y+3）（ y+2） 2y+5 歸納提煉： 當 a 2， b 2時，表示 a+ 根據(jù)題意，設 a=2+m， b=2+n（ m 0， n 0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長） 第 5頁（共 25頁） 11 “4 20” 雅安地震后，某商家為支援災區(qū)人民，計劃捐贈帳篷 16800頂，該商家備有 2輛大貨車、 8輛小貨車運送帳篷計劃大貨車比小貨車每輛每 次多運帳篷 200頂，大、小貨車每天均運送一次，兩天恰好運完 （ 1）求大、小貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂？ （ 2）因地震導致路基受損，實際運送過程中，每輛大貨車每次比原計劃少運 200輛小貨車每次比原計劃少運 300頂，為了盡快將帳篷運送到災區(qū)，大貨車每天比原計劃多跑 次，小貨車每天比原計劃多跑 天恰好運送了帳篷 14400頂，求 12雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了 “ 一方有難，八方支援 ” 賑災捐款活動第一天收到捐款 10 000元，第三天收到捐款 12 100元 （ 1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率； （ 2）按照（ 1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？ 13某商場今年 2月份的營業(yè)額為 400萬元， 3月份的營業(yè)額比 2月份增加 10%， 5月份的營業(yè)額達到 3月份到 5月份營業(yè)額的月平均增長率 14某漁船出海捕魚， 2010 年平均每次捕魚量為 10噸， 2012年平均每次捕魚量為 2010年 2012年每年平均每次捕魚量的年平均下降率 15如圖，要建造一個直角梯形的花 圃要求 ： 4，另外三邊的和為20米設 長為 5 （ 1）請求出 含字母 （ 2）若該花圃的面積為 50 米 2，且周長不大于 30米，求 第 6頁（共 25頁） 16銅仁市某電解金屬錳廠從今年 1月起安裝使用回收凈化設備（安裝時間不計），這樣既改善了環(huán)境，又降低了原料成本，根據(jù)統(tǒng)計，在使用回收凈化設備后的 1至 w（萬元）滿足 w=10x+90 （ 1）設使用回收凈化設備后的 1至 為 y，請寫出 y與 （ 2）請問前多少個月的利潤和等于 1620萬元？ 第 7頁（共 25頁） 際問題與一元二次方程 參考答案與試題解析 一、解答題 1某校為培育青少年科技創(chuàng)新能力，舉辦了動漫制作活動，小明設計了點做圓周運動的一個雛形，如圖所示，甲、乙兩點分別從直徑的兩端點 A、 時針的方向同時沿圓周運動，甲運動的路程 l（ 時間 t（ s）滿足關系： l= t（ t 0），乙以 4cm/圓的長度為 21 （ 1）甲運動 4 （ 2）甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了多少時間？ （ 3）甲、乙從開始運動到第二次相遇時，它們運動了多少時間？ 【考點】一元二次方程的應用 【分析】（ 1）根據(jù)題目所給的函數(shù)解析式把 t=4 （ 2）根據(jù)圖可知，二者第一次相遇走過的總路程為半圓，分別求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可； （ 3）根據(jù)圖可知，二者第二次相遇走過的總路程 為一圈半，也就是三個半圓，分別求出甲、乙走的路程，列出方程求解即可 【解答】解：（ 1）當 t=4s 時， l= t=8+6=14（ 答：甲運動 44 （ 2）由圖可知，甲乙第一次相遇時走過的路程為半圓 21 甲走過的路程為 t，乙走過的路程為 4t， 第 8頁（共 25頁） 則 t+4t=21， 解得： t=3或 t= 14（不合題意，舍去）， 答：甲、乙從開始運動到第一次相遇時，它們運動了 3s； （ 3）由圖可知，甲乙第二次相遇時走過的路程為三個半圓： 3 21=63 則 t+4t=63， 解得： t=7或 t= 18（不合題意，舍去）， 答：甲、乙從開 始運動到第二次相遇時，它們運動了 7s 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，試題比較新穎解題關鍵是根據(jù)圖形分析相遇問題，第一次相遇時二者走的總路程為半圓，第二次相遇時二者走的總路程為三個半圓，本題難度一般 2某商場以每件 280元的價格購進一批商品，當每件商品售價為 360元時，每月可售出 60件，為了擴大銷售，商場決定采取適當降價的方式促銷，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件商品降價 1元，那么商場每月就可以多售出 5件 （ 1）降價前商場每月銷售該商品的利潤是多少元？ （ 2）要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價多少元？ 【考點】一元二次方程的應用 【專題】銷售問題 【分析】（ 1）先求出每件的利潤再乘以每月銷售的數(shù)量就可以得出每月的總利潤；（ 2）設要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價 銷售問題的數(shù)量關系建立方程求出其解即可 【解答】解：（ 1）由題意，得 60（ 360 280） =4800 元答：降價前商場每月銷售該商品的利潤是4800元； （ 2）設要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200元，且更有利于減少庫存，則每件 商品應降價x 元，由題意，得（ 360 x 280）（ 5x+60） =7200，解得： ， 0 有利于減少庫存， x=60 答：要使商場每月銷售這種商品的利潤達到 7200元，且更有利于減少庫存，則每件商品應降價 60元 第 9頁（共 25頁） 【點評】本題考查了銷售問題的數(shù)量關系利潤 =售價進價的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，解答時根據(jù)銷售問題的數(shù)量關系建立方程是關鍵 3某商店購進 600個旅游紀念品，進價為每個 6元，第一周以每個 10元的價格售出 200個，第二周若按每個 10元的價格銷售仍可售出 200個，但商 店為了適當增加銷量，決定降價銷售（根據(jù)市場調(diào)查，單價每降低 1元，可多售出 50 個，但售價不得低于進價），單價降低 售一周后，商店對剩余旅游紀念品清倉處理，以每個 4元的價格全部售出，如果這批旅游紀念品共獲利 1250元，問第二周每個旅游紀念品的銷售價格為多少元？ 【考點】一元二次方程的應用 【專題】銷售問題 【分析】根據(jù)紀念品的進價和售價以及銷量分別表示出兩周的總利潤，進而得出等式求出即可 【解答】解： 由題意得出： 200（ 10 6） +（ 10 x 6）（ 200+50x） +（ 4 6） （ 600 200）（ 200+50x） =1250， 即 800+（ 4 x）（ 200+50x） 2（ 200 50x） =1250， 整理得： 2x+1=0， 解得： x1=， 10 1=9 答：第二周的銷售價格為 9 元 【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用，根據(jù)已知表示出兩周的利潤是解題關鍵 4小林準備進行如下操作實驗；把一根長為 40把每一段各圍成一個正方形 （ 1）要使這兩個正方形的面積之和等于 58林該怎么剪？ （ 2）小峰對小林說： “ 這兩個正方形的面積之和不可能等于 48” 他的說法對嗎？請說明理由 【考點】一元二次方程的應用 【專題】幾何圖形問題 【分析】（ 1）設剪成的較短的這段為 長的這段就為（ 40 x） 可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于 58 （ 2）設剪成的較短的這段為 長的這段就為（ 40 m） 可以表示出這兩個正方形的面積，根據(jù)兩個正方形的面積之和等于 48果方程有解就說明小峰的說法錯誤，否則正確 第 10頁（共 25頁） 【解答】解：（ 1）設剪成的較短的這段為 長的這段 就為（ 40 x） 題意，得 （ ） 2+（ ） 2=58， 解得： 2， 8， 當 x=12時，較長的為 40 12=28 當 x=28時，較長的為 40 28=12 28（舍去） 較短的這段為 12長的這段就為 28 （ 2）設剪成的較短的這段為 長的這段就為（ 40 m） 題意，得 （ ） 2+（ ） 2=48， 變形為： 40m+416=0， =（ 40） 2 4 416= 64 0， 原方程無實數(shù)根， 小峰的說法正確，這兩個正方形的面積之和不可能等于 48 【點評】本題考查了列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，根的判別式的運用，解答本題時找到等量關系建立方程和運用根的判別式是關鍵 5要在一塊長 52m，寬 48m 的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路下面分別是小亮和小穎的設計方案 （ 1）求小亮設計方案中甬路 的寬度 x； （ 2）求小穎設計方案中四塊綠地的總面積（友情提示：小穎設計方案中的 第 11頁（共 25頁） 【考點】一元二次方程的應用；解直角三角形的應用 【專題】幾何圖形問題 【分析】（ 1）根據(jù)小亮的方案表示出矩形的長和寬，利用矩形的面積公式列出方程求解即可； （ 2）求得甬道的寬后利用平行四邊形的面積計算方法求得兩個陰影部分面積的和即可； 【解答】解：（ 1）根據(jù)小亮的設計方案列方程得：（ 52 x）（ 48 x） =2300 解得： x=2或 x=98（舍去） 小亮設計方案中甬道的寬度為 2m； （ 2）作 足為 I， 1=60 ， 0 ， 四邊形 D 由（ 1）得 x=2， E=2= 小穎設計方案中四塊綠地的總面積為 52 48 52 2 48 2+（ ） 2=2299平方米 第 12頁（共 25頁） 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，特別是圖形的面積問題更是近幾年中考中考查一元二次方程的應用的主要題型 6如圖所示，在長和寬分別是 a、 （ 1）用 a， b， （ 2）當 a=6， b=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時，求正方形的邊長 【考點】一元二次方程的應用 【專題】幾何圖形問題 【分析】（ 1）邊長為 形面 積減去 4個小正方形的面積即可 （ 2）依據(jù)剪去部分的面積等于剩余部分的面積，列方程求出 【解答】解：（ 1） 4 （ 2）依題意有： 4 將 a=6， b=4，代入上式，得 ， 解得 ， （舍去） 即正方形的邊長為 第 13頁（共 25頁） 【點評】本題是利用方程解答幾何問題，充分體現(xiàn)了方程的應用性 依據(jù)等量關系 “ 剪去部分的面積等于剩余部分的面積 ” ，建立方程求解 7 “ 低碳生活，綠色出行 ” ，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具某運動商城的自行車銷售量自 2013年起逐月增加，據(jù)統(tǒng)計，該商城 1月份銷售自行車 64輛， 3月份銷售了 100輛 （ 1）若該商城前 4個月的自行車銷量的月平均增長率相同，問該商城 4月份賣出多少輛自行車？ （ 2）考慮到自行車需求不斷增加，該商城準備投入 3 萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車，已知 00元 /輛，售價為 700元 /輛， 000元 /輛，售價為 1300元 /輛 根據(jù)銷售經(jīng)驗， 型車的 2倍，但不超過 設所進車輛全部售完，為使利潤最大，該商城應如何進貨？ 【考點】一元二次方程的應用；一次函數(shù)的應用 【分析】（ 1）首先根據(jù) 1月份和 3月份的銷售量求得月平均增長率，然后求得 4 月份的銷量即可； （ 2）設 據(jù) “A 型車不少于 倍，但不超過 列出不等式組，求出 后求出利潤 據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可 【解答】解：（ 1）設平均增長率為 a，根據(jù)題意得： 64（ 1+a） 2=100 解得： a=5%或 a= 月份的銷量為： 100（ 1+25%） =125（輛） 答：四月份的銷量為 125輛 （ 2）設購進 購進 ， 根據(jù)題意得： 2 x 解得： 30 x 35 利潤 W=（ 700 500） x+ （ 1300 1000） =9000+50x 50 0， 當 x=35時， 不是整數(shù)，故不符合題意， x=34，此時 =13（輛） 答：為使利潤最大，該商城應購進 34 輛 3 輛 第 14頁（共 25頁） 【點評】本題考查了一元二次方程、一元一次不等式組和一次函數(shù)的應用，解題關鍵是根據(jù)題意列出方程或不等式，這也是本題的難點 8 2010年底某市汽車擁有量為 100萬輛，而截止到 2012 年底，該市的汽車擁有量已達到 144萬輛 （ 1）求 2010年底至 2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率； （ 2）該市交通部門為控制汽車擁有量的增長速度，要求到 2013年底全市汽車擁有量不超過 計 2013年報廢的汽車數(shù)量是 2012年底汽車擁有量的 10%，求 2012年底至 2013年底該市汽車擁有量的年增長率要控制在什么范圍才能達到要求 【考點】一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用 【分析】（ 1）設 2010年底至 2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率是 x，根據(jù) 2010年底該市汽車擁有量為 100萬輛，而截止到 2012年底，該市 的汽車擁有量已達 144萬輛可列方程求解 （ 2）設 2012年底到 2013年底該市汽車擁有量的年平均增長率為 y，則 2013年底全市的汽車擁有量為 144（ 1+y） 90%萬輛，根據(jù)要求到 2013年底全市汽車擁有量不超過 【解答】解：（ 1）設 2010 年底至 2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率是 x， 根據(jù)題意， 100（ 1+x） 2=144 1+x= 0% 合題意，舍去） 答： 2010年底至 2012年底該市汽車擁有量的年平均增長率是 20% （ 2）設 2012年底到 2013年底該市汽車擁有量的年平均增長率為 y， 根據(jù)題意得： 144（ 1+y） 144 10% 得： y ： 2012年底至 2013年底該市汽車擁有量的年增長率要控制在不超過 18%能達到要求 【點評】本題考查了一元二次方程的應用及不等式的應用，重點考查理解題意的能力，根據(jù)增長的結果做為等量關系列出方程求解，根據(jù) 2013車的總量這個不等量關系列出不等式求解 9為響應區(qū) “ 美麗廣西 清潔鄉(xiāng)村 ” 的號召，某校開展 “ 美麗廣西 清潔校園 ” 的活動，該校經(jīng)過精心設計 ，計算出需要綠化的面積為 498化 150了更快的完成該項綠化工作，將每天的工作量提高為原來的 果一共用 20天完成了該項綠化工作 第 15頁（共 25頁） （ 1）該項綠化工作原計劃每天完成多少 （ 2）在綠化工作中有一塊面積為 170形的長比寬的 2倍少 3m，請問這塊矩形場地的長和寬各是多少米？ 【考點】一元二次方程的應用；分式方程的應用 【分析】（ 1）根據(jù)一共用 20天列出分式方程求解即可； （ 2）根據(jù)矩形的面積為 170 【解答】解：（ 1）設該項綠化工作原 計劃每天完成 提高工作量后每天完成 根據(jù)題意，得 ，解得 x=22 經(jīng)檢驗， x=22是原方程的根 答：該項綠化工作原計劃每天完成 22 （ 2）設矩形寬為 y m，則長為（ 2y 3） m， 根據(jù)題意，得 y（ 2y 3） =170，解得 y=10或 y= 不合題意，舍去） 2y 3=17 答：這塊矩形場地的長為 17m，寬為 10m 【點評】本題考查了分式方程及一元二次方程的應用，解題的關鍵是從題目中找到相關的等量關系并列出方程 求解 10在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，根據(jù)圖 1和圖 2 發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式 這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關系因幾何直觀而形象化 【研究速算】 第 16頁（共 25頁） 提出問題： 47 43， 56 54， 79 71， 是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是 10 的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？ 幾何建模： 用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以 47 43 為例： （ 1）畫長為 47，寬為 43 的矩形，如圖 3， 將這個 47 43的矩形從右邊切下長 40，寬 3的一條，拼接到原矩形上面 （ 2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達方式： 47 43的矩形面積或（ 40+7+3） 40的矩形與右上角 3 7的矩形面積之和，即 47 43=（ 40+10） 40+3 7=5 4 100+3 7=2021 用文字表述 47 43的速算方法是：十位數(shù)字 4加 1的和與 4相乘，再乘以 100，加上個位數(shù)字 3與7 的積，構成運算結果 歸納提煉： 兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是 10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述） 十位數(shù)字加 1的和與十位數(shù) 字相乘，再乘以 100，加上個位數(shù)字的積，構成運算結果 【研究方程】 提出問題：怎樣圖解一元二次方程 x 35=0（ x 0）？ 幾何建模： （ 1）變形： x（ x+2） =35 （ 2）畫四個長為 x+2，寬為 造圖 4 （ 3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（ x+x+2） 2或四個長 x+2，寬 上中間邊長為 2的小正方形面積 即（ x+x+2） 2=4x（ x+2） +22 x（ x+2） =35 （ x+x+2） 2=4 35+22 （ 2x+2） 2=144 x 0 x=5 歸納提煉：求關于 x（ x+b） =c（ x 0， b 0， c 0）的解 要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并注明相關線段的長） 【研究不等關系】 第 17頁（共 25頁） 提出問題：怎樣運用矩形面積表示（ y+3）（ y+2）與 2y+5的大小關系（其中 y 0）？ 幾何建模： （ 1）畫長 y+3，寬 y+2的矩形，按圖 5方式分割 （ 2）變形： 2y+5=（ y+3） +（ y+2） （ 3）分析：圖 5中大矩形的面積可以表示為（ y+3）（ y+2）；陰影部分面積可以表示為（ y+3） 1，畫點部分的面積 可表示為 y+2，由圖形的部分與整體的關系可知（ y+3）（ y+2） （ y+3） +（ y+2），即（ y+3）（ y+2） 2y+5 歸納提煉： 當 a 2， b 2時，表示 a+ 根據(jù)題意，設 a=2+m， b=2+n（ m 0， n 0），要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖并注明相關線段的長） 【考點】一元二次方程的應用 【分析】【研究速算】：可根據(jù)已知示例歸納總結； 【研究方程】：畫四個長為 x+b，寬為 ，構造圖 ，按照示例步驟分割即可得； 【研究不等關系】：畫長 m+2，寬 n+2的矩形，按圖 方式分割，根據(jù)圖形的部分與整體的關系即可得 【解答】解：【研究速算】 歸納提煉： 兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是 10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）為：十位數(shù)字加 1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以 100，加上個位數(shù)字的積，構成運算結果； 故答案為：十位數(shù)字加 1的和與十位數(shù)字相乘，再乘以 100，加上個位數(shù)字的積，構成運算結果 第 18頁（共 25頁） 【研究方程】 歸納提煉：求關于 x（ x+b） =c（ x 0， b 0， c 0）的解 幾何建模： （ 1）畫四個長為 x+b，寬為 造圖 ， （ 2）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達方式，（ x+x+b） 2或四個長 x+b，寬 上中間邊長為 即（ x+x+b） 2=4x（ x+b） + x（ x+b） =c （ x+x+b） 2=4c+ （ 2x+b） 2=4c+ x 0 2x+b= ， x= 【研究不等關系】 提出問題：怎樣運用矩形面積表示（ y+3）（ y+2）與 2y+5的大小關系（其中 y 0）？ 幾何建模： （ 1）畫長 m+2，寬 n+2的矩形，按圖 方式分割， （ 2）分析：圖 中大矩形的面積可以表示為（ m+2）（ n+2）；陰影部分面積可以表示為（ m+2） 1，畫點部分的面積可表示為 n+2，由圖形的部分與整體的關系可知（ m+2）（ n+2） （ m+2） +（ n+2），即 a+b 第 19頁（共 25頁） 【點評】本題主要考查一元 一次方程、一元一次不等式的建模，根據(jù)示例和方程、不等式的特點構建幾何圖形并完成分割是解題的關鍵 11 “4 20” 雅安地震后，某商家為支援災區(qū)人民，計劃捐贈帳篷 16800頂，該商家備有 2輛大貨車、 8輛小貨車運送帳篷計劃大貨車比小貨車每輛每次多運帳篷 200頂，大、小貨車每天均運送一次，兩天恰好運完 （ 1）求大、小貨車原計劃每輛每次各運送帳篷多少頂？ （ 2）因地震導致路基受損，實際運送過程中，每輛大貨車每次比原計劃少運 200輛小貨車每次比原計劃少運 300頂，為了盡快將帳篷運送到災區(qū)，大貨車每 天比原計劃多跑 次，小貨車每天比原計劃多跑 天恰好運送了帳篷 14400頂，求 【考點】一元二次方程的應用；一元一次方程的應用 【分析】（ 1）設小貨車每次運送 大貨車每次運送（ x+200）頂，根據(jù)兩種類型的車輛共運送 16800頂帳篷為等量關系建立方程求出其解即可； （ 2）根據(jù)（ 1）的結論表示出大小貨車每次運輸?shù)臄?shù)量，根據(jù)條件可以表示出大貨車現(xiàn)在每天運輸次數(shù)為（ 1+ m）次，小貨車現(xiàn) 在每天的運輸次數(shù)為（ 1+m）次，根據(jù)一天恰好運送了帳篷 14400頂建立方程求出其解就可以了 【解答】解：（ 1）設小貨車每次運送 大貨車每次運送（ x+200）頂， 根據(jù)題意得： 22（ x+200） +8x=16800， 解得： x=800 大貨車原計劃每次運： 800+200=1000頂 答：小貨車每次運送 800頂，大貨車每次運送 1000頂； 第 20頁（共 25頁） （ 2）由題意，得 2 （ 1000 200m）（ 1+ m） +8（ 800 300）（ 1+m） =14400， 解得 ： ， 1（舍去） 答： 【點評】本題考查了列一元一次方程解實際問題的運用，一元一次方程的解法的運用，解答時根據(jù)各部分工作量之和 =工作總量建立方程是關鍵 12雅安地震牽動著全國人民的心，某單位開展了 “ 一方有難，八方支援 ” 賑災捐款活動第一天收到捐款 10 000元，第三天收到捐款 12 100元 （ 1）如果第二天、第三天收到捐款的增長率相同，求捐款增長率； （ 2）按照（ 1）中收到捐款的增長率速度，第四天該單位能收到多少捐款？ 【考點】一元二次方程的應用 【專題】增長率問題 【分析】（ 1）解答此題利用的數(shù)量關系是：第一天收到捐款錢數(shù) （ 1+每次增長的百分率） 2=第三天收到捐款錢數(shù)，設出未知數(shù)，列方程解答即可； （ 2）第三天收到捐款錢數(shù) （ 1+每次增長的百分率） =第四天收到捐款錢數(shù)，依此列式子解答即可 【解答】解：（ 1）設捐款增長率為 x，根據(jù)題意列方程得， 10000 （ 1+x） 2=12100， 解得 合題意，舍去）； 答：捐款增長率為 10% （ 2） 12100 （ 1+10%） =13310元 答：第四天該單位能收到 13310元捐款 【點評】 本題考查了一元二次方程的應用，列方程的依據(jù)是：第一天收到捐款錢數(shù) （ 1+每次降價的百分率） 2=第三天收到捐款錢數(shù) 13某商場今年 2月份的營業(yè)額為 400萬元， 3月份的營業(yè)額比 2月份增加 10%， 5月份的營業(yè)額達到 3月份到 5月份營業(yè)額的月平均增長率 【考點】一元二次方程的應用 第 21頁（共 25頁） 【專題】增長率問題；壓軸題 【分析】本題是平均增長率問題，一般形式為 a（ 1+x） 2=b， 果設平均增長率為 x，那么結合到本題中 00 （ 1+10%），即 3月份的營業(yè)額， b 就是 月份的營業(yè)額由此可求出 【解答】解：設 3月份到 5 月份營業(yè)額的月平均增長率為 x， 根據(jù)題意