概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用第二版課后答案

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答1第1章隨機(jī)變量及其概率1，寫出下列試驗(yàn)的樣本空間（1）連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結(jié)果中有一個結(jié)果出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（2）連續(xù)投擲一顆骰子直至6個結(jié)果中有一個結(jié)果接連出現(xiàn)兩次，記錄投擲的次數(shù)。（3）連續(xù)投擲一枚硬幣直至正面出現(xiàn)，觀察正反面出現(xiàn)的情況。（4）拋一枚硬幣，若出現(xiàn)H則再拋一次；若出現(xiàn)T，則再拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的各種結(jié)果。解（1）；（2）；（3）7,6543,S,42S；（4）。,TH6,54,1TTH2，設(shè)是兩個事件，已知，求BA,120,0,25ABPAP。,_BPP解，60，375APASB，87501_P506250_ABPABPBSB3，在100，101，999這900個3位數(shù)中，任取一個3位數(shù)，求不包含數(shù)字1個概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答2解在100，101，999這900個3位數(shù)中不包含數(shù)字1的3位數(shù)的個數(shù)為，所以所求得概率為648972094，在僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)中，任取一個三位數(shù)。（1）求該數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）求該數(shù)大于330的概率。解僅由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成且每個數(shù)字之多出現(xiàn)一次的全體三位數(shù)的個數(shù)有個。（1）該數(shù)是奇數(shù)的可能個數(shù)為0個，所以出現(xiàn)奇數(shù)的概率為8344810（2）該數(shù)大于330的可能個數(shù)為，所以該數(shù)大4852于330的概率為48015，袋中有5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。（1）4只中恰有2只白球，1只紅球，1只黑球。（2）4只中至少有2只紅球。（3）4只中沒有白球。解（1）所求概率為；384125C概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答3（2）所求概率為；1657492041283824C（3）所求概率為。657941276，一公司向個銷售點(diǎn)分發(fā)張?zhí)嶝泦?，設(shè)每張?zhí)嶝泦畏职l(fā)MMN給每一銷售點(diǎn)是等可能的，每一銷售點(diǎn)得到的提貨單不限，求其中某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕?。K解根據(jù)題意，張?zhí)嶝泦畏职l(fā)給個銷售點(diǎn)的總的可能分法N有種，某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚目赡芊址ㄓ蠳MNK種，所以某一特定的銷售點(diǎn)得到張?zhí)嶝泦蔚母怕蔏KNC1為。NKKMC17，將3只球（13號）隨機(jī)地放入3只盒子（13號）中，一只盒子裝一只球。若一只球裝入與球同號的盒子，稱為一個配對。（1）求3只球至少有1只配對的概率。（2）求沒有配對的概率。解根據(jù)題意，將3只球隨機(jī)地放入3只盒子的總的放法有36種123，132，213，231，312，321；沒有1只配對的放法有2種312，231。至少有1只配對的放法當(dāng)然就有624種。所以（2）沒有配對的概率為；362（1）至少有1只配對的概率為。21概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答48，（1）設(shè)，求,10,3,50ABPAP,|,|B|（2）袋中有6只白球，5只紅球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到紅球不放回也不放入另外的球。連續(xù)取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球的概率。解（1）由題意可得，所以70ABPBAP，310|BAP51|，75|BAP，1|BABP。|AP（2）設(shè)表示“第次取到白球”這一事件，而取到紅球4,321IAI可以用它的補(bǔ)來表示。那么第一、二次取到白球且第三、四次取到紅球可以表示為，它的概率為（根據(jù)乘法公式）4321A|321421314321APPAP。085982769，一只盒子裝有2只白球，2只紅球，在盒中取球兩次，每次任取一只，做不放回抽樣，已知得到的兩只球中至少有一只是紅球，求概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答5另一只也是紅球的概率。解設(shè)“得到的兩只球中至少有一只是紅球”記為事件，“另一只A也是紅球”記為事件。則事件的概率為BA（先紅后白，先白后紅，先紅后紅）653142AP所求概率為516|APB10，一醫(yī)生根據(jù)以往的資料得到下面的訊息，他的病人中有5的人以為自己患癌癥，且確實(shí)患癌癥；有45的人以為自己患癌癥，但實(shí)際上未患癌癥；有10的人以為自己未患癌癥，但確實(shí)患了癌癥；最后40的人以為自己未患癌癥，且確實(shí)未患癌癥。以表示事件A“一病人以為自己患癌癥”，以表示事件“病人確實(shí)患了癌癥”，B求下列概率。（1）；（2）；（3）；（4）；,BPA|A|AP|BP（5）。|解（1）根據(jù)題意可得；504BAPAP；15B（2）根據(jù)條件概率公式；105|AP（3）；2051|APB概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答6（4）；17954|BPA（5）。3|11，在11張卡片上分別寫上ENGINEERING這11個字母，從中任意連抽6張，求依次排列結(jié)果為GINGER的概率。解根據(jù)題意，這11個字母中共有2個G，2個I，3個N，3個E，1個R。從中任意連抽6張，由獨(dú)立性，第一次必須從這11張中抽出2個G中的任意一張來，概率為2/11；第二次必須從剩余的10張中抽出2個I中的任意一張來，概率為2/10；類似地，可以得到6次抽取的概率。最后要求的概率為；或者。92401361789310924016132AC12，據(jù)統(tǒng)計(jì)，對于某一種疾病的兩種癥狀癥狀A(yù)、癥狀B，有20的人只有癥狀A(yù)，有30的人只有癥狀B，有10的人兩種癥狀都有，其他的人兩種癥狀都沒有。在患這種病的人群中隨機(jī)地選一人，求（1）該人兩種癥狀都沒有的概率；（2）該人至少有一種癥狀的概率；（3）已知該人有癥狀B，求該人有兩種癥狀的概率。解（1）根據(jù)題意，有40的人兩種癥狀都沒有，所以該人兩種癥狀都沒有的概率為；4013021（2）至少有一種癥狀的概率為；6（3）已知該人有癥狀B，表明該人屬于由只有癥狀B的30人群概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答7或者兩種癥狀都有的10的人群，總的概率為301040，所以在已知該人有癥狀B的條件下該人有兩種癥狀的概率為。410313，一在線計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，有4條輸入通訊線，其性質(zhì)如下表，求一隨機(jī)選擇的進(jìn)入訊號無誤差地被接受的概率。通訊線通訊量的份額無誤差的訊息的份額10409998203099993010999740209996解設(shè)“訊號通過通訊線進(jìn)入計(jì)算機(jī)系統(tǒng)”記為事件，I4,321IA“進(jìn)入訊號被無誤差地接受”記為事件。則根據(jù)全概率公式有B960297019039804|41IIIABPBP09997814，一種用來檢驗(yàn)50歲以上的人是否患有關(guān)節(jié)炎的檢驗(yàn)法，對于確實(shí)患關(guān)節(jié)炎的病人有85的給出了正確的結(jié)果；而對于已知未患關(guān)節(jié)炎的人有4會認(rèn)為他患關(guān)節(jié)炎。已知人群中有10的人患有關(guān)節(jié)炎，問一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)，認(rèn)為他沒有關(guān)節(jié)炎，而他卻有關(guān)節(jié)炎的概率。解設(shè)“一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為患有關(guān)節(jié)炎”記為事件，“一名A被檢驗(yàn)者確實(shí)患有關(guān)節(jié)炎”記為事件。根據(jù)全概率公式有B，124908510|APBPA概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答8所以，根據(jù)條件概率得到所要求的概率為0617218501|APBBAP即一名被檢驗(yàn)者經(jīng)檢驗(yàn)認(rèn)為沒有關(guān)節(jié)炎而實(shí)際卻有關(guān)節(jié)炎的概率為170615，計(jì)算機(jī)中心有三臺打字機(jī)A,B,C，程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為06,03,01，打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為001,005,004。已知一程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞了，求該程序是在A,B,C上打字的概率分別為多少解設(shè)“程序因打字機(jī)發(fā)生故障而被破壞”記為事件，“程序在MA,B,C三臺打字機(jī)上打字”分別記為事件。則根據(jù)全概率公321,N式有，02541053016|31IIINMPP根據(jù)BAYES公式，該程序是在A,B,C上打字的概率分別為，240516|111PN，3|222MNP。16054|333PN16，在通訊網(wǎng)絡(luò)中裝有密碼鑰匙，設(shè)全部收到的訊息中有95是可信的。又設(shè)全部不可信的訊息中只有01是使用密碼鑰匙傳送的，而全部可信訊息是使用密碼鑰匙傳送的。求由密碼鑰匙傳送的一訊概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答9息是可信訊息的概率。解設(shè)“一訊息是由密碼鑰匙傳送的”記為事件，“一訊息是可信A的”記為事件。根據(jù)BAYES公式，所要求的概率為B9471059|BAPPAP17，將一枚硬幣拋兩次，以A,B,C分別記事件“第一次得H”，“第二次得H”，“兩次得同一面”。試驗(yàn)證A和B，B和C，C和A分別相互獨(dú)立（兩兩獨(dú)立），但A,B,C不是相互獨(dú)立。解根據(jù)題意，求出以下概率為，；21BPA2121CP，4，。C4AB所以有，。PABCPCPB即表明A和B，B和C，C和A兩兩獨(dú)立。但是B所以A,B,C不是相互獨(dú)立。18，設(shè)A,B,C三個運(yùn)動員自離球門25碼處踢進(jìn)球的概率依次為05,07,06，設(shè)A,B,C各在離球門25碼處踢一球，設(shè)各人進(jìn)球與否相互獨(dú)立，求（1）恰有一人進(jìn)球的概率；（2）恰有二人進(jìn)球的概率；（3）至少有一人進(jìn)球的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答10解設(shè)“A,B,C進(jìn)球”分別記為事件。3,21IN（1）設(shè)恰有一人進(jìn)球的概率為，則1P32321321PNNPP（由獨(dú)立性）321NP60354075403529（2）設(shè)恰有二人進(jìn)球的概率為，則2P31321321NPNPP（由獨(dú)立性）3212NP603560754075（3）設(shè)至少有一人進(jìn)球的概率為，則3P。1321NPP21NP40351919，有一危重病人，僅當(dāng)在10分鐘之內(nèi)能有一供血者供給足量的ARH血才能得救。設(shè)化驗(yàn)一位供血者的血型需要2分鐘，將所需的血全部輸入病人體內(nèi)需要2分鐘，醫(yī)院只有一套驗(yàn)血型的設(shè)備，且供血者僅有40的人具有該型血，各人具有什么血型相互獨(dú)立。求病人能得救的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答111第20題5432解根據(jù)題意，醫(yī)院最多可以驗(yàn)血型4次，也就是說最遲可以第4個人才驗(yàn)出是ARH型血。問題轉(zhuǎn)化為最遲第4個人才驗(yàn)出是ARH型血的概率是多少因?yàn)榈谝淮尉蜋z驗(yàn)出該型血的概率為04；第二次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0604024；第三次才檢驗(yàn)出該型血的概率為062040144；第四次才檢驗(yàn)出該型血的概率為0630400864；所以病人得救的概率為040240144008640870420，一元件（或系統(tǒng)）能正常工作的概率稱為元件（或系統(tǒng)）的可靠性。如圖設(shè)有5個獨(dú)立工作的元件1，2，3，4，5按先串聯(lián)再并聯(lián)的方式連接，設(shè)元件的可靠性均為，試求系統(tǒng)的可靠性。P解設(shè)“元件能夠正常工作”記為事件。I,IA那么系統(tǒng)的可靠性為5432154321PAPAP3215421A54214321AP54321543PAPAP53322PPP54概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答1221，用一種檢驗(yàn)法檢測產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下。若真含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為含有的概率為08；若真不含有雜質(zhì)檢驗(yàn)結(jié)果為不含有的概率為09，據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為04，06。今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)行了3次檢驗(yàn)，結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而一次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率。（注本題較難，靈活應(yīng)用全概率公式和BAYES公式）解設(shè)“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”記為事件，“對一產(chǎn)品進(jìn)行3次檢驗(yàn)，A結(jié)果是2次檢驗(yàn)認(rèn)為含有雜質(zhì)，而1次檢驗(yàn)認(rèn)為不含有雜質(zhì)”記為事件。則要求的概率為，根據(jù)BAYES公式可得B|BP|AAP又設(shè)“產(chǎn)品被檢出含有雜質(zhì)”記為事件，根據(jù)題意有，C40AP而且，所以80|C90|；3841|23ABP27901|223ABP故，9046185302763840|ABPAP（第1章習(xí)題解答完畢）第2章隨機(jī)變量及其分布1，設(shè)在某一人群中有40的人血型是A型，現(xiàn)在在人群中隨機(jī)地選人來驗(yàn)血，直至發(fā)現(xiàn)血型是A型的人為止，以Y記進(jìn)行驗(yàn)血的次數(shù)，求Y的分布律。解顯然，Y是一個離散型的隨機(jī)變量，Y取表明第個人是A型血而前個人都不是A型血，K1K因此有，（）1160404KKKP,32上式就是隨機(jī)變量Y的分布律（這是一個幾何分布）。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答132，水自A處流至B處有3個閥門1，2，3，閥門聯(lián)接方式如圖所示。當(dāng)信號發(fā)出時各閥門以08的概率打開，以X表示當(dāng)信號發(fā)出時水自A流至B的通路條數(shù)，求X的分布律。設(shè)各閥門的工作相互獨(dú)立。解X只能取值0，1，2。設(shè)以記第個閥門沒有打開這一事件。則,II31213APP32131221121APPAA，0780832類似有，508321321PXP,綜上所述，可得分布律為461XX012KP0072051204163,據(jù)信有20的美國人沒有任何健康保險，現(xiàn)任意抽查15個美國人，以X表示15個人中無任何健康保險的人數(shù)（設(shè)各人是否有健康保險相互獨(dú)立）。問X服從什么分布寫出分布律。并求下列情況下無任何健康保險的概率（1）恰有3人；（2）至少有2人；（3）不少于1人且不多于3人；（4）多于5人。解根據(jù)題意，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B15,02，分布律為。5,10,801515KCKPKK（1）2203315（2）；39XPX（3）；61290P（4）4515XP061XP4，設(shè)有一由個元件組成的系統(tǒng)，記為，這一系統(tǒng)的運(yùn)行方式是當(dāng)且僅當(dāng)個元件中至少有N/GNKN個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作?，F(xiàn)有一系統(tǒng)，它由相互獨(dú)立的元件組成，K05/3設(shè)每個元件的可靠性均為09，求這一系統(tǒng)的可靠性。AB213概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答14解對于系統(tǒng)，當(dāng)至少有3個元件正常工作時，系統(tǒng)正常工作。而系統(tǒng)中正常工作的元件個數(shù)5/3G服從二項(xiàng)分布B5,09，所以系統(tǒng)正常工作的概率為X91409053553KKKKCXP5，某生產(chǎn)線生產(chǎn)玻璃制品，生產(chǎn)過程中玻璃制品常出現(xiàn)氣泡，以至產(chǎn)品成為次品，設(shè)次品率為0001，現(xiàn)取8000件產(chǎn)品，用泊松近似，求其中次品數(shù)小于7的概率。（設(shè)各產(chǎn)品是否為次品相互獨(dú)立）解根據(jù)題意，次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布B8000,0001，所以60808917KKKCP（查表得）。3148608600KKEE6，（1）設(shè)一天內(nèi)到達(dá)某港口城市的油船的只數(shù)X，求5XP（2）已知隨機(jī)變量X，且有，求。50XP2解（1）；487913115XP（2）根據(jù)，得到。所以0ELN。153402/50XP7，一電話公司有5名訊息員，各人在T分鐘內(nèi)收到訊息的次數(shù)（設(shè)各人收到訊息與否相互TX獨(dú)立）。（1）求在一給定的一分鐘內(nèi)第一個訊息員未收到訊息的概率。（2）求在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員恰有4人未收到訊息的概率。（3）寫出在一給定的一分鐘內(nèi)，所有5個訊息員收到相同次數(shù)的訊息的概率。解在給定的一分鐘內(nèi)，任意一個訊息員收到訊息的次數(shù)。（1）；13502EXP（2）設(shè)在給定的一分鐘內(nèi)5個訊息員中沒有收到訊息的訊息員人數(shù)用Y表示，則YB5,01353，所以。01451350444CY（3）每個人收到的訊息次數(shù)相同的概率為0510052KKEE概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答158，一教授當(dāng)下課鈴打響時，他還不結(jié)束講解。他常結(jié)束他的講解在鈴響后的一分鐘以內(nèi)，以X表示鈴響至結(jié)束講解的時間。設(shè)X的概率密度為，（1）確定；（2）求他其02XKXFK；（3）求；（4）求。1P1P3XP解（1）根據(jù)，得到；02KDXXF（2）；7133/102XP（3）；64432/14/DX（4）。2719313/2XP9，設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，求T的方程他其002XXF有實(shí)根的概率。0452TT解方程有實(shí)根表明，即，T04542X0452X從而要求或者。因?yàn)閄1，01302DXP9361042DXP所以方程有實(shí)根的概率為00010936093710，設(shè)產(chǎn)品的壽命X（以周計(jì)）服從瑞利分布，其概率密度為他其0012/XEXF（1）求壽命不到一周的概率；（2）求壽命超過一年的概率；（3）已知它的壽命超過20周，求壽命超過26周的條件概率。解（1）；04981102/20/EDXEXP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答16（2）；0110522/70420/EDXEXP（3）。2518010266/27620/2EDXEXPX11，設(shè)實(shí)驗(yàn)室的溫度X（以計(jì)）為隨機(jī)變量，其概率密度為C他其2104912XXXF（1）某種化學(xué)反應(yīng)在溫度X1時才能發(fā)生，求在實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)發(fā)生的概率。（2）在10個不同的實(shí)驗(yàn)室中，各實(shí)驗(yàn)室中這種化學(xué)反應(yīng)是否會發(fā)生時相互獨(dú)立的，以Y表示10個實(shí)驗(yàn)室中有這種化學(xué)反應(yīng)的實(shí)驗(yàn)室的個數(shù)，求Y的分布律。（3）求，。2YP解（1）；127549DXX（2）根據(jù)題意，所以其分布律為75,0BY10,2,271010KCKPKK（3），98275810Y。5701YPP12，（1）設(shè)隨機(jī)變量Y的概率密度為他其102YCYF試確定常數(shù)C，求分布函數(shù)，并求，。F5YP0|5YP（2）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答17他其4208/1XXF求分布函數(shù)，并求，。XF31P3|1X解（1）根據(jù)，得到。2402001CDYDYYF211012102011YYDDYYYFF1012602YY；250405550FYPYP71611101|（2）42081820420XXDXDDXFFXX42016/8X；6/7/931FXP。9/311|FXPX13，在集合A1,2,3,N中取數(shù)兩次，每次任取一數(shù)，作不放回抽樣，以X表示第一次取到的數(shù)，以Y表示第二次取到的數(shù)，求X和Y的聯(lián)合分布律。并用表格形式寫出當(dāng)N3時X和Y的聯(lián)合分布律。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答18YY解根據(jù)題意，取兩次且不放回抽樣的總可能數(shù)為NN1，因此，（，且）1,NJYIXPJINJI,1當(dāng)N取3時，,（，且）,表格形式為6,JIJI3JIX123101/61/621/601/631/61/6014,設(shè)一加油站有兩套用來加油的設(shè)備，設(shè)備A是加油站的工作人員操作的，設(shè)備B是有顧客自己操作的。A，B均有兩個加油管。隨機(jī)取一時刻，A，B正在使用的軟管根數(shù)分別記為X，Y，它們的聯(lián)合分布律為X012001000800610040200142002006030（1）求，；,YXP1,YXP（2）求至少有一根軟管在使用的概率；（3）求，。2解（1）由表直接可得02，1,Y0100800402042,1XP（2）至少有一根軟管在使用的概率為9010,YXPY（3）010203062YXP80,2,02XP15,設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為他其，0,0,42YXCEYXFYX試確定常數(shù)，并求，。XPY1XP解根據(jù)，可得1,0,YXDXYF概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答19，8,104020420,CDYEXCDYEDXYXFXY所以。8C；4042042228,EYXEYEXYXFXPX3212,04040042DXDDDFYXYXYXYX2104102104218,EEEXYFXPXYXYYX。16，設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。1,2/,2XYXG（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求邊緣概率密度。,FYX解（1）根據(jù)題意，（X，Y）的概率密度必定是一常數(shù)，故由,YX，得到。,61,22/10FDFXDYXFG他其，0,6,GYXYXF（2）；他其，,03,22/XYFFXX他其，他其，0151602056,1YYYDXYXFFYYY18，設(shè)是兩個隨機(jī)變量，它們的聯(lián)合概率密度為YX,，他其，0,02,13YXEXYFY概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答20（1）求關(guān)于的邊緣概率密度；,YXXFX（2）求條件概率密度，寫出當(dāng)時的條件概率密度；|YFXY50（3）求條件概率。|1P解（1）。其他,00,22,13XEDYEXDYXFFX（2）當(dāng)時，0X。其他,0,|YXEFYXYFXXY特別地，當(dāng)時5。其他,05|YEXYFXY（3）。501501|0|1EDYDXFPXY19，（1）在第14題中求在的條件下的條件分布律；在的條件下的條件分布律。YX（2）在16題中求條件概率密度，。|XYFXY|YFYX50|XFX解（1）根據(jù)公式，得到在的條件下的條件分布0,0|PIIPY律為Y012|X5/121/31/4類似地，在的條件下的條件分布律為1Y0121|YP4/1710/173/17（2）因?yàn)椤Ｋ洌?,6,GYXYXF；。他其，,01322/2DFXX他其，0151602YYYFY概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答21所以，當(dāng)時，；10X其他,02/,|22|XYXXFYYFXXY當(dāng)時，；5Y其他,021,|YXYYFXFYYX當(dāng)時，；10Y其他,11,|XYFXFYYX當(dāng)時，。5Y其他,051|XYXFYX20，設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）在由曲線所圍成的區(qū)域均勻分布。XY,2G（1）寫出（X，Y）的概率密度；（2）求邊緣概率密度；,FXYX（3）求條件概率密度，并寫出當(dāng)時的條件概率密度。|Y50X解（1）根據(jù)題意，（X，Y）的概率密度必定是一常數(shù)，故由,YF，得到。,31,210XFDXFDXYFG他其，0,3,GYXYXF（2）；他其，,10,22YFFXX。他其，他其，0103013,22YYYDXYXFFYY（3）當(dāng)時，。10X其他,01,|2|XYXXFYYFXXY概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答22特別地，當(dāng)時的條件概率密度為50X。其他,02/4/12|YYFXY21，設(shè)是二維隨機(jī)變量，的概率密度為,他其，,0262XXFX且當(dāng)時的條件概率密度為20XXY，其他,012/1|YXYFXY（1）求聯(lián)合概率密度；,X（2）求關(guān)于的邊緣概率密度；Y（3）求在的條件下的條件概率密度。Y|YXFYX解（1）；他其10,2031|,|XYFXFXY（2）；其他01,2YDDXYFFY（3）當(dāng)時，。10Y其他,0212,|XYYFXFYYX22，（1）設(shè)一離散型隨機(jī)變量的分布律為101KP212又設(shè)是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都與有相同的分布律。求的聯(lián)合分布律。并21,Y,Y21,Y求。P概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答23Y（2）問在14題中是否相互獨(dú)立YX,解（1）由相互獨(dú)立性，可得的聯(lián)合分布律為21,，21JYPIJIP1,0,I結(jié)果寫成表格為。2/10121212121YPYPPY（2）14題中，求出邊緣分布律為X012IX001000800602410040200140382002006030038JYP0160340501很顯然，所以不是相互獨(dú)立。00,YPXXYX,23，設(shè)是兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，的概率密度為Y,1,U其他02/8YYFY試寫出的聯(lián)合概率密度，并求。YX,XP解根據(jù)題意，的概率密度為其他01XXFX所以根據(jù)獨(dú)立定，的聯(lián)合概率密度為YX,。其他2/10,08,YXYFXYFYXY1Y210114/2/4/201211/2/2概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答24328,12/0YYXDXDFYXP24，設(shè)隨機(jī)變量具有分布律21013KP1/51/61/51/1511/30求的分布律。12XY解根據(jù)定義立刻得到分布律為Y12510KP1/57/301/511/3025，設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。1,0NXXU解設(shè)的概率密度分別為，的分布函數(shù)為。則U,UFXUFU當(dāng)時，；0U0PUFF當(dāng)時，12XXU。2/2UEFUF所以，。02/EFUU26，（1）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為X其他0XEF求的概率密度。Y（2）設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。1,UX2/1XY（3）設(shè)隨機(jī)變量，求的概率密度。,0N解設(shè)的概率密度分別為，分布函數(shù)分別為。則Y,YFXYX,YFXYX（1）當(dāng)時，；Y0PYFYF概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答25當(dāng)時，0Y22YFXPYYYPFXY。22XEFF所以，。02YEYFY（2）此時。其他1/1XXFX因?yàn)椋?2122/YFYXPYXPYYFXY故，,1FFFY所以，。其他10YYFY（3）當(dāng)時，2YXPYXYPY，1Y故，。2/12YXYYEFYFF所以，。其他0212/EYFY27，設(shè)一圓的半徑X是隨機(jī)變量，其概率密度為其他028/13XXF求圓面積A的概率密度。解圓面積，設(shè)其概率密度和分布函數(shù)分別為。則2X,YGG，故/FYPYYGX2/0,1638321/21YYYFG概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答26所以，。其他04163YYG28，設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布，驗(yàn)證的概率密度為,02N2YXZ。其他0/22ZEZFZ解因?yàn)殡S機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，所以它們的聯(lián)合概率密度為。221,YXEYXF先求分布函數(shù)，當(dāng)時，0Z2ZYXPZZZFZ，22220211,ZZRZYXEDEDXYF故，。其他2/ZEFZFZZZ29，設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量Y具有概率密度，1,UX12YFYY設(shè)X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。Z解因?yàn)椋缘母怕拭芏葹槠渌?2/XXFXXZ。1ARCTN1ARCTN2121ZZDYDYZFYZFZXYZ30隨機(jī)變量X和Y的概率密度分別為，其他0XEXF其他02YEYFY，X,Y相互獨(dú)立。求的概率密度。0XZ解根據(jù)卷積公式，得概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答27，。ZZZXYZEDYEDYZFYZF23030所以的概率密度為。其他023ZEYFY31，設(shè)隨機(jī)變量X,Y都在0,1上服從均勻分布，且X,Y相互獨(dú)立，求的概率密度。YXZ解因?yàn)閄,Y都在0,1上服從均勻分布，所以，其他01XXFX其他01XYFY根據(jù)卷積公式，得。DYZFYZFXYZ其他其他,012,2,011,1ZZZ32，設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，它們的聯(lián)合概率密度為他其，20,23,YXEYXF（1）求邊緣概率密度。,FYX（2）求的分布函數(shù)。MAXZ（3）求概率。12/P解（1）；他其，,0032/,23XEDYEDYXFFXX。他其，他其，02/10/3,YYXEDXYFFY概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答28（2）的分布函數(shù)為,MAXYXZ,AXZFZYPXZYXPZPZZFYX因?yàn)?；?,13EXXX201/YYFY所以，。2,102,3ZEZZFZYXZ（3）。/341/2/1EPZ33，（1）一條繩子長為，將它隨機(jī)地分為兩段，以表示短的一段的長度，寫出的概率密度。LXX（2）兩條繩子長度均為，將它們獨(dú)立地各自分成兩段，以表示四段繩子中最短的一段的長度，驗(yàn)Y證的概率密度為Y。他其，0/22LYLYFY解（1）根據(jù)題意，隨機(jī)變量，所以概率密度為,LUX。其他01LXLXFX（2）設(shè)這兩條繩子被分成兩段以后較短的那一段分別記為，則它們都在上服從均勻分布。21,X,0L，其分布函數(shù)為,MIN21XY，LYLYFYFXXY,122所以密度函數(shù)為。他其，0/2LYFYY34，設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布律為（1）求的分布律。,MAXU概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答29Y（2）求的分布律。,MINXV（3）求的分布律。WX01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解（1）的分布律為,MAXYXU3,210,KXKYPKXPKPK如，22,2Y，10/94/10/81其余類似。結(jié)果寫成表格形式為U0123KP1/122/329/1201/120（2）的分布律為,MINYXV2,10,KXKYPKXPKPK如，22,Y0其余類似。結(jié)果寫成表格形式為U01KP27/4013/40（3）的分布律為YXW5,4321,0,0KIYIXPPKI如，/84/12,20IY其余類似。結(jié)果寫成表格形式為W0123KP1/125/125/121/12（第2章習(xí)題解答完畢）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答30第3章隨機(jī)變量的數(shù)字特征1，解根據(jù)題意，有1/5的可能性取到5個單詞中的任意一個。它們的字母數(shù)分別為4，5，6，7，7。所以分布律為X4567KP1/51/51/52/5/2976541XE2，解個單詞字母數(shù)還是，。這時，字母數(shù)更多的單詞更有可能被取到。分布律為Y4567KP4/295/296/2914/2929/17654291YE3，解根據(jù)古典概率公式，取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)分別為0，1，2臺的概率分別為，。16320CP29310CP21302CP所以取到的電視機(jī)中包含的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望為。2129016臺E概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答314，解根據(jù)題意，有1/6的概率得分超過6，而且得分為7的概率為兩個1/6的乘積（第一次6點(diǎn)，第2次1點(diǎn)），其余類似；有5/6的概率得分小于6。分布律為Y12345789101112KP661361361361得分的數(shù)學(xué)期望為。12491098754321點(diǎn)E5，解（1）根據(jù)，可得，X665XPEXP因此計(jì)算得到，即。所以6。66E（2）根據(jù)題意，按照數(shù)學(xué)期望的公式可得，212121LN66KKKKKKXPXE因此期望存在。（利用了）（不符書上答案）,LN0XNXXN6，解（1）一天的平均耗水量為03/03/03/203/2229XXXXEDEEDEDXFXE（百萬升）。603/X（2）這種動物的平均壽命為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答32（年）。1052125DXXDXFXE7，解1062105274XDXDXF1077107106622DXX1/4。8，解。2LN3LN2/1212XDXXDXFXE9，解10201233DXDXDXF。2102012（對第一個積分進(jìn)行變量代換）YX10，解404412SIN2SINKKKPCXE。（不符書上答案）21134314PCPC11，解R的概率密度函數(shù)為，所以其他,0/1AXXF。2416303ADRVEA概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答33Y12，解4304030216DXEDXEXDFXGXE（不符書上答案）58209121E13，解因?yàn)榈姆植己瘮?shù)為，所以可,21NIX1,0,XXF以求出的分布函數(shù)為NY,1，。1,0,MINYYFN1,0,MAXYYFN的密度函數(shù)為NY,1，。其他,0,1MINYYYFN其他,01MAXYNYF所以的數(shù)學(xué)期望為NY,1，1111000MINDYNDYNDYNDYFEN。0AXFYNN14，解求出邊緣分布律如下X012KXP03/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/28KYP10/2815/283/281概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答34，2/120KXPE4/320KYPE，1/320JIJYIY，4/28/720JIJPIXJXE。3/3320JIJYIJY15，解，14/3/,MIN,IN20JIJYPIXJYXE。/928/111/20JIJIP16，解，5/24,10YRDXDXYFXE，/2,10YRXYFY。15/24,102YRDXDFXE17，解根據(jù)題意，可得利潤的分布律為Y20001000010002000KP0203030101因此，（元）401201302YE160222概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答35。14022YEYD18解，202/2/02/DXEXEDEXDXFXX02/2/02/322DXEEXDEXDFXEX，22/XE，。2/XEXD2/XD（本題積分利用了，這個結(jié)果可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)中得到）202/DXE19，解，PPKXKPEK1121111112122KKKKKKPPX，P23所以，。221PXEXD本題利用了冪級數(shù)求和中先積分再求導(dǎo)的方法。設(shè)，11KKPPS則，所以。類似的，設(shè)PDPSKK11121DSP，則經(jīng)過兩次積分以后可得到，在經(jīng)11KKSP1概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答36過兩次求導(dǎo)得到。32PS20，解（1）當(dāng)時，1K。1KDXDXXFXEKK（2）當(dāng)時，即不存在。1KXE1XE（3），當(dāng)時，22122KDXXFK所以，。12222KXEXD（4）當(dāng)時，所以不存在。KDXXF22XD21，解（1）根據(jù)14題中結(jié)果，得到；56/94/321/,YEXYXCOV因?yàn)椋?/420KKPE28/702KKYP所以，28/92XEXD，1/452YY。,COVX（2）根據(jù)16題結(jié)果可得；75/2/15/2,YEXYOV概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答37Y因?yàn)椋?/124,10322YRDXDXYFXE，/,10322YRFY所以，25/2XEXD25/12YEYD，75/,COVYY。3,COVX（3）在第2章14題中，由以下結(jié)果X012KXP001000800602410040200140382002006030038KYP0160340501得到，14XE34181XYE92，32Y所以，；2740,YCOV，,622XEXD54022YEYD475051,YVY22，解根據(jù)題意有,2YXCOVX。2DDXY16/493,343VYD。69XCO5/6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答3823，解（1）因?yàn)橄嗷オ?dú)立，所以321,X1684423223232XXEEXE68232E。170（2）根據(jù)題意，可得，3/1,/22IIIIXDXE。3,1I42442311232123XEXE2321XEXEXE。3424，解因?yàn)椋?/2,10XRDYDYXFXE，,10XRYFY，0,10XRYDDXFXE所以，,YEXYCOV即，驗(yàn)證了X,Y不相關(guān)。又因?yàn)?，；他其?0121,XDYYXFFXX，他其，他其，0151001,1YYDXYXFFYYY概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答39顯然，所以驗(yàn)證了X,Y不是相互獨(dú)立的。,YFXYFYX25，解引入隨機(jī)變量定義如下個盒子個球未落入第第個盒子個球落入第第III01則總的配對數(shù)，而且因?yàn)?，所以，。NIIX1NXPI11,NNX故所以，。E第4章正態(tài)分布1，（1）設(shè)，求，1,0NZ21ZP3724Z；24372P（2）設(shè)，且，求。,970A056BPBA,解（1），82541Z098625912433723724ZPP037141（2），所以；37190AZ37A，所以，即526BZPBP621940BZP。12，設(shè)，求，。6,3NX84XP50XP解因?yàn)?，所以?1,3N概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答402957089402514384384XPX。6736950503，（1）設(shè)，試確定，使得。36,25NXC95402CXP（2）設(shè)，試確定，使得。4解（1）因?yàn)?626255CXPCXP所以得到,即，01。9706（2）因?yàn)?，所以，?23N95023CP，從而，。950,5CC或者6424，已知美國新生兒的體重（以G計(jì)）。57,312NX（1）求；2543907528XP（2）在新生兒中獨(dú)立地選25個，以Y表示25個新生兒的體重小于2719的個數(shù)，求。4P解根據(jù)題意可得。1,0573NX（1）573128573292492587P（或601608108673）（2），492573297XP根據(jù)題意，所以140,BY。64089225025KKKC概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答415，設(shè)洗衣機(jī)的壽命（以年計(jì)），一洗衣機(jī)已使用了32,46NX5年，求其壽命至少為8年的條件概率。解所要求的概率為176082541901632465185|8XPXP6，一電路要求裝兩只設(shè)計(jì)值為12歐的電阻器，而實(shí)際上裝的電阻器的電阻值（以歐計(jì)）服從均值為119歐，標(biāo)準(zhǔn)差為02歐的正態(tài)分布。求（1）兩只電阻器的電阻值都在117歐和123歐之間的概率；（2）至少有一只電阻器大于124歐的概率（設(shè)兩電阻器的電阻值相互獨(dú)立）解設(shè)兩個電阻器的電阻值分別記為隨機(jī)變量則,YX，04,91NX04,91NY（1）31273127327,327PPXP；20912091369081522（2）至少有一只電阻器大于124歐的概率為209141421412,1YPXYXP。093827，一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命（以小時計(jì)）服從均值，X160概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答42均方差為的正態(tài)分布，若要求，允許最大80210XP為多少解根據(jù)題意，。所以有,160NX，801421602120P即，從而。819453,84故允許最大不超過3125。8，將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在，液體的溫度（以計(jì)）是一個隨機(jī)變量，且CDXC，50,2NX（1）若，求小于89的概率；9（2）若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于099，問至少為多少D解因?yàn)椋浴?0,2NX1,05NDX（1）；28298P（2）若要求，那么就有，905DP即或者，從而，0158D36905D326最后得到，即至少應(yīng)為81163。639，設(shè)相互獨(dú)立，且服從數(shù)學(xué)期望為150，方差為9的正態(tài)YX,X分布，服從數(shù)學(xué)期望為100，方差為16的正態(tài)分布。（1）求，的分布；W1Y22/3YXW概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答43（2）求，。624YXP512/YXP解根據(jù)題意。6,0,9150N（1）根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布（本書101頁定理2）的性質(zhì)，立刻得到，25,01NW52,02N425,13NW（2）因?yàn)椋?13，。,5YX,02/5YX因此，694810624P5/1/P25204610，（1）某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑（以MM計(jì)），墊圈直徑（以MM計(jì)），相互20,NX20,51NYYX,獨(dú)立。隨機(jī)地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。（2）在（1）中若，問控制至多為20,1NX,5102NY多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于090。解（1）根據(jù)題意可得。螺栓能裝入墊圈的概8,率為。96107050YXP概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其應(yīng)用習(xí)題解答44（2），所以若要控制04,52NYX，281900452P