橢圓綜合測(cè)試題

1、橢圓綜合測(cè)試題橢圓綜合測(cè)試題 1離心率為 3 2 ，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6 的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） （A） （B）或 22 1 95 xy 22 1 95 xy 22 1 59 xy （C） （D）或 22 1 3620 xy 22 1 3620 xy 22 1 2036 xy 2.動(dòng)點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn)（- 4，0）.（4，0）的距離之和為 8，則 P 點(diǎn)的軌跡為（ ） 1 F 2 F A.橢圓 B.線段 C.直線 D.不能確定 12 FF 12 FF 3.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ） 2 2 1 10 y x A. B. C. D.(10,0)(0,10)(0, 3)( 3,0) 4

2、.已知橢圓上一點(diǎn) P 到橢圓的一焦點(diǎn)的距離為 3，則 P 到另一焦點(diǎn)的距離是（ ） 22 1 59 xy A. B.2 C.3 D.62 53 5.如果表示焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ） 22 2 1 2 xy aa A. B. C. D.任意實(shí)數(shù) R( 2,) 2, 12,(, 1)(2,) 6. 若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓 22 1 43 xy 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OP FP 的最大 值為（ ） A.2 B.3 C.6 D.8 7.方程 （ab0,k0 且 k1)與方程（ab0)表示的橢圓（ ）. 22 22 1 xy kakb 22 22 1

3、 xy ab A.有相同的離心率；B.有共同的焦點(diǎn)；C.有等長(zhǎng)的短軸.長(zhǎng)軸； D.有相同的頂點(diǎn). 8 8 （12）已知橢圓 22 22 :1(0) xy Cab ab 的離心率為 3 2 ，過右焦點(diǎn)F且斜率為(0)k k的直線與 C相交于AB、兩點(diǎn)若3AFFB ，則k ( ) （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 9 9 若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是( ) A. 5 4 B. 5 3 C. 5 2 D. 5 1 1010 若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓 22 1 43 xy 的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn) P 為橢圓上的任意一點(diǎn)，則OP FP A的最 大值為( ) A2

4、B3 C6 D8 11 橢圓 22 22 10 xy a ab b的右焦點(diǎn)為 F，其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A在橢圓上存在點(diǎn) P 滿足 線段 AP 的垂直平分線過點(diǎn) F，則橢圓離心率的取值范圍是( ) （A） （0， 2 2 （B） （0， 1 2 （C）21，1） （D） 1 2 ，1） 12 若直線yxb與曲線 2 34yxx有公共點(diǎn)，則 b 的取值范圍是( ) A.1 2 2,12 2B.12,3 C.-1,12 2D.1 2 2,3 二、填空題：（本大題共二、填空題：（本大題共 4 小題，共小題，共 16 分分.） 13 若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度.短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是

5、 14 橢圓上一點(diǎn) P 與橢圓兩焦點(diǎn) F1, F2的連線的夾角為直角，則 RtPF1F2的面積為 . 22 1 4924 xy 1515 已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交C于點(diǎn)D， 且 ，則C的離心率為 .DFFB2 16 已知橢圓 2 2 :1 2 x cy的兩焦點(diǎn)為 12 ,F F,點(diǎn) 00 (,)P xy滿足 2 2 0 0 01 2 x y,則| 1 PF|+ 2 PF|的取值范 圍為_ _。 三、解答題：三、解答題：(本大題共本大題共 6 小題，共小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17.

6、（12 分）已知點(diǎn) M 在橢圓上，M垂直于橢圓焦點(diǎn)所在的直線，垂直為，并且 M 為 22 1 259 xy P P 線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程P PP 18.(12 分)橢圓的焦點(diǎn)分別是和，已知橢圓的離心率過中心作直 22 1(045) 45 xy m m 1 F 2 F 5 3 e O 線與橢圓交于 A，B 兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，若的面積是 20，求：（1）的值（2）直線 AB 的方程O 2 ABFAm 1919（12 分）設(shè) 1 F， 2 F分別為橢圓 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦點(diǎn)，過 2 F的直線l與橢圓C 相 交于A,B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60， 1 F到直線l的

7、距離為2 3. （）求橢圓C的焦距； （）如果 22 2AFF B ,求橢圓C的方程. 20（12 分）設(shè)橢圓 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 的直線與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)， 直線 l 的傾斜角為 60o,2AFFB . (I)求橢圓 C 的離心率； (II)如果|AB|= 15 4 ，求橢圓 C 的方程. 2121（12 分）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) B 與點(diǎn) A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱，P 是動(dòng)點(diǎn)，且直線 AP 與 BP 的斜率之積等于 1 3 . ()求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程； ()設(shè)直線 AP 和 BP 分別與直線 x=3

8、交于點(diǎn) M,N，問：是否存在點(diǎn) P 使得PAB 與PMN 的面積相等？若 存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 2222 （14 分）已知橢圓 22 22 1 xy ab （ab0）的離心率 e= 3 2 ，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積 為 4. （）求橢圓的方程； （）設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A、B，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-a，0）. （i）若 4 2 AB 5 | =，求直線 l 的傾斜角； （ii）若點(diǎn) Qy0（0，）在線段 AB 的垂直平分線上，且.求y0的值.4QBQA 橢圓綜合測(cè)試題參考答案橢圓綜合測(cè)試題參考答案 1.選擇題：選擇題： 題號(hào)題號(hào)12345

9、6789101112 答案答案BBCCBCABBCDD 6、選 C，設(shè) 00 P x ,y，則 222 2 000 0 xy3x 1y3 434 即，又因?yàn)镕1,0 2 000 OP FPxx1y 2 00 1 xx3 4 2 0 1 x22 4 ，又 0 x2,2 ， OP FP2,6 ，所以 max 6OP FP . 8 8【命題意圖】本試題主要考察橢圓的性質(zhì)與第二定義. 【解析】設(shè)直線 l 為橢圓的有準(zhǔn)線，e 為離心率，過 A，B 分別作 AA1，BB1垂直于 l，A1，B 為垂足，過 B 作 BE 垂直于 AA1與 E，由第二定義得，由，得 ， 即 k=，故選 B. 9 9 1010【

10、解析】由題意，F(xiàn)（-1，0） ，設(shè)點(diǎn) P 00 (,)xy，則有 22 00 1 43 xy ,解得 2 2 0 0 3(1) 4 x y， 因?yàn)?00 (1,)FPxy ， 00 (,)OPxy ，所以 2 000 (1)OP FPx xy = 00 (1)OP FPx x 2 0 3(1) 4 x = 2 0 0 3 4 x x，此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸為 0 2x ，因?yàn)?0 22x ，所以當(dāng) 0 2x 時(shí)，OP FP 取得最大值 2 2 236 4 ，選 C。 【命題意圖】本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最 值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)

11、的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力。 11 解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn) P，使得線段 AP 的垂直平分線過點(diǎn)F， 即 F 點(diǎn)到 P 點(diǎn)與 A 點(diǎn)的距離相等 而|FA| 22 ab c cc |PF|ac,ac 于是 2 b c ac,ac 即 acc2b2acc2 222 222 accac acacc 1 1 1 2 c a cc aa 或 又 e(0,1) 故 e 1,1 2 答案：D 12（2010 湖北文數(shù)）湖北文數(shù)）9.若直線yxb與曲線 2 34yxx有公共點(diǎn)，則 b 的取值范圍是 A.1 2 2,12 2B.12,3 C.-1,12 2D.1 2 2,3 二、填空題：（本

12、大題共二、填空題：（本大題共 4 小題，共小題，共 16 分分.） 13 若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度.短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 14 橢圓上一點(diǎn) P 與橢圓兩焦點(diǎn) F1, F2的連線的夾角為直角，則 RtPF1F2的面積為 . 22 1 4924 xy 1515 （20102010 全國(guó)卷全國(guó)卷 1 1 文數(shù)）文數(shù)）(16)已知F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長(zhǎng)線交 C于點(diǎn)D， 且BF2FD uu ruur ，則C的離心率為 . 3 3 【命題意圖】本小題主要考查橢圓的方程 與幾何性質(zhì)、第二定義、平面向量知識(shí)，考查了數(shù) 形結(jié)合思想、方程思想,本題凸顯解析幾

13、何的特點(diǎn)： “數(shù)研究形，形助數(shù)” ，利用幾何性質(zhì)可尋求到簡(jiǎn)化 問題的捷徑. 【解析 1】如圖， 22 |BFbca, 作 1 DDy軸于點(diǎn) D1,則由BF2FD uu ruur ，得 1 |2 |3 OFBF DDBD ,所以 1 33 | 22 DDOFc, 即 3 2 D c x ,由橢圓的第二定義得 22 33 |() 22 acc FDea ca 又由| 2|BFFD,得 2 3 2, c aa a 3 3 e 【解析 2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式 22 22 1 xy ab ，設(shè) 22 ,D xy，F(xiàn) 分 BD 所成的比為 2， 22 22 3022333 0 ; 122212222

14、 c ccc ybxbybb xxxc yy ，代入 22 22 91 1 44 cb ab ， 3 3 e 16（2010 湖北文數(shù)）湖北文數(shù)）15.已知橢圓 2 2 :1 2 x cy的兩焦點(diǎn)為 12 ,F F,點(diǎn) 00 (,)P xy滿足 2 2 0 0 01 2 x y,則| 1 PF|+ 2 PF|的取值范圍為_。 【答案】 2,2 2 ,0 【解析】依題意知，點(diǎn) P 在橢圓內(nèi)部.畫出圖形，由數(shù)形結(jié)合可得，當(dāng) P 在原點(diǎn)處時(shí) 12max (|)2 PFPF ， xO y B F 1 D D 當(dāng) P 在橢圓頂點(diǎn)處時(shí)，取到 12max (|)PFPF 為 ( 21)( 21) =2 2

15、，故范圍為 2,2 2 .因?yàn)?00 (,)xy 在橢圓 2 2 1 2 x y 的內(nèi)部，則直線 0 0 1 2 x x y y 上的點(diǎn)（x, y）均在橢圓外，故此直線與橢圓不可能有交點(diǎn)，故交點(diǎn)數(shù)為 0 個(gè). 二二.填空題：填空題： 13 1414 2424 1515 3 3 1616 2,2 2 ,03 5 三三. .解答題：解答題： 17.解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意可知p( , )p x ym 00 (,)xy 因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以有 0 0 0 0 2 2 y y xx xx yy m 22 1 259 xy ， 把代入得，所以 P 點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 00

16、 1 259 xy 22 1 2536 xy y 的橢圓. 22 1 2536 xy 18.解：（1）由已知，得， 5 3 c e a 453 5a 5c 所以 222 452520mbac （2）根據(jù)題意，設(shè)，則，所 21 2 20 ABFF F B SS AA ( , )B x y 1 2 12 1 2 F F B SFFy A A 12 210FFc 以，把代入橢圓的方程，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直4y 4y 22 1 4520 xy 3x B34或或或 線 AB 的方程為 44 33 yxyx 或 1919（20102010 遼寧文數(shù)）遼寧文數(shù)） （20） （本小題滿分 12 分） 設(shè)

17、 1 F， 2 F分別為橢圓 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦點(diǎn)，過 2 F的直線l與橢圓C 相交于A, B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60， 1 F到直線l的距離為2 3. （）求橢圓C的焦距； （）如果 22 2AFF B ,求橢圓C的方程. 解：（）設(shè)焦距為2c，由已知可得 1 F到直線 l 的距離32 3,2.cc故 所以橢圓C的焦距為 4. （）設(shè) 112212 ( ,), (,),0,0,A x yB xyyy由題意知直線l的方程為3(2).yx 聯(lián)立 22224 22 22 3(2), (3)4 330. 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12

18、 2222 3(22 )3(22 ) ,. 33 baba yy abab 因?yàn)?2212 2,2.AFF Byy 所以 即 22 2222 3(22 )3(22 ) 2. 33 baba abab 得 22 3.4,5.aabb而所以 故橢圓C的方程為 22 1. 95 xy 20（2010 遼寧理數(shù)）遼寧理數(shù)）(20)（本小題滿分 12 分） 設(shè)橢圓 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦點(diǎn)為 F，過點(diǎn) F 的直線與橢圓 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)，直線 l 的傾斜角為 60o,2AFFB . (III)求橢圓 C 的離心率； (IV)如果|AB|= 15 4 ，求橢圓 C 的

19、方程. 解： 設(shè) 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由題意知 1 y0， 2 y0. （）直線 l 的方程為 3()yxc，其中 22 cab. 聯(lián)立 22 22 3(), 1 yxc xy ab 得 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因?yàn)?AFFB ，所以 12 2yy. 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得離心率 2 3 c e a . 6 分 （）因?yàn)?21 1 1 3 AByy，所以 2 22 24 315 343 ab

20、ab . 由 2 3 c a 得 5 3 ba.所以 515 44 a ，得 a=3，5b . 橢圓 C 的方程為 22 1 95 xy . 12 分 2121（20102010 北京理數(shù)北京理數(shù)） （19） （本小題共 14 分） 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，點(diǎn) B 與點(diǎn) A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn) O 對(duì)稱，P 是動(dòng)點(diǎn)，且直線 AP 與 BP 的斜率之積 等于 1 3 . ()求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程； ()設(shè)直線 AP 和 BP 分別與直線 x=3 交于點(diǎn) M,N，問：是否存在點(diǎn) P 使得PAB 與PMN 的面積相等？若 存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 （I）解：因?yàn)辄c(diǎn) B

21、與 A( 1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)B得坐標(biāo)為(1, 1). 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為( , )x y 由題意得 111 113 yy xx A 化簡(jiǎn)得 22 34(1)xyx . 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 22 34(1)xyx （II）解法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 00 (,)xy，點(diǎn)M，N得坐標(biāo)分別為(3,) M y,(3,) N y. 則直線AP的方程為 0 0 1 1(1) 1 y yx x ，直線BP的方程為 0 0 1 1(1) 1 y yx x 令3x 得 00 0 43 1 M yx y x ， 00 0 23 1 N yx y x . 于是PMNA得面積 2 000 0 2 0 |(3)1

22、 |(3) 2|1| PMNMN xyx Syyx x A 又直線AB的方程為0 xy，| 2 2AB ， 點(diǎn)P到直線AB的距離 00 | 2 xy d . 于是PABA的面積 00 1 | 2 PAB SAB dxy A A 當(dāng) PABPMN SS AA 時(shí)，得 2 000 00 2 0 |(3) | |1| xyx xy x 又 00 | 0 xy， 所以 2 0 (3)x= 2 0 |1|x，解得 0 5 | 3 x 。 因?yàn)?22 00 34xy，所以 0 33 9 y 故存在點(diǎn)P使得PABA與PMNA的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 533 ( ,) 39 . 解法二：若存在點(diǎn)P使得PA

23、BA與PMNA的面積相等，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 00 (,)xy 則 11 | |sin| |sin 22 PAPBAPBPMPNMPNAA. 因?yàn)閟insinAPBMPN, 所以 | | PAPN PMPB 所以 00 0 |1|3| |3|1| xx xx 即 22 00 (3)|1|xx，解得 0 x 5 3 因?yàn)?22 00 34xy，所以 0 33 9 y 故存在點(diǎn)PS 使得PABA與PMNA的面積相等，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 533 ( ,) 39 . 2222（20102010 天津文數(shù)）天津文數(shù)） （21） （本小題滿分 14 分） 已知橢圓 22 22 1 xy ab （ab0）的離心率

24、 e= 3 2 ，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為 4. （）求橢圓的方程； （）設(shè)直線 l 與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A、B，已知點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（-a，0）. （i）若 4 2 AB 5 | =，求直線 l 的傾斜角； （ii）若點(diǎn) Qy0（0，）在線段 AB 的垂直平分線上，且QA QB=4 A.求y0的值. 【解析】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾 斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分 析與運(yùn)算能力.滿分 14 分. （）解：由 e= 3 2 c a ，得 22 34ac.再由 222 cab，解得 a=2b. 由題意可知 1 224 2 ab，即 ab=2. 解方程組 2