綜合實(shí)驗(yàn)一定積分的近似計(jì)算.ppt

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),綜合實(shí)驗(yàn)一 定積分的近似計(jì)算,問題背景和實(shí)驗(yàn)?zāi)康?實(shí)驗(yàn)二、定積分的近似計(jì)算,定積分計(jì)算的基本公式是牛頓萊布尼茲公式。但當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)不知道時(shí)，如何計(jì)算？這時(shí)就需要利用近似計(jì)算。特別是在許多實(shí)際應(yīng)用中，被積函數(shù)甚至沒有解析表達(dá)式，而是一條實(shí)驗(yàn)記錄曲線，或一組離散的采樣值，此時(shí)只能用近似方法計(jì)算定積分。,本實(shí)驗(yàn)主要研究定積分的三種近似計(jì)算算法：矩形法、梯形法和拋物線法。同時(shí)介紹 Matlab 計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù)。,矩形法,定積分的定義：,實(shí)驗(yàn)二、定積分的近似計(jì)算,矩形法,n 充分大，x 充分小,定積分的近似：,左點(diǎn)法,右點(diǎn)法,中點(diǎn)法,點(diǎn) 可以任意選取，常見的取法有： 左端點(diǎn) ，右端

2、點(diǎn) 和中點(diǎn) 。,步長,節(jié)點(diǎn),右點(diǎn)法：,中點(diǎn)法：,左點(diǎn)法：,左點(diǎn)法、右點(diǎn)法和中點(diǎn)法,解：,矩形法舉例,a=0, b=1, n=100,例：用不同的矩形法計(jì)算下面的定積分 ( 取 n=100 )， 并比較這三種方法的相對誤差。,左點(diǎn)法：,右點(diǎn)法：,中點(diǎn)法：,(i = 0,1,2,.,100),理論值：,左點(diǎn)法相對誤差：,誤差分析,矩形法舉例,右點(diǎn)法相對誤差：,中點(diǎn)法相對誤差：,不同的方法有不同的計(jì)算精度,有沒有更好的近似計(jì)算定積分的方法 ?,定積分幾何意義,曲邊小梯形的面積可以由直邊小梯形的面積來近似,整個(gè)曲邊梯形的面積：,梯形法,如果我們 n 等分區(qū)間 a,b，即令：,則,=,梯形公式,梯形法,

3、梯形公式與中點(diǎn)公式有什么區(qū)別 ?,解：,=,例：用梯形法計(jì)算下面定積分 ( 取 n=100 )， 并計(jì)算相對誤差,梯形法舉例,a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ),相對誤差：,2n 等分區(qū)間 a,b ，得,該直線用拋物線代替，計(jì)算精度是否會更好？,計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值：,拋物線法,在區(qū)間 x0, x2 上，用過以下三點(diǎn),的拋物線來近似原函數(shù) f (x) 。,設(shè)過以上三點(diǎn)的拋物線方程為：,則在區(qū)間 x0, x2 上，有,y = x2 + x + = p1(x),拋物線法,同理可得：,相加即得：,拋物線法,整理后可得：,或,辛普森 (Simpson) 公式,拋物

4、線法公式,拋物線法,=,例：用拋物線法計(jì)算下面定積分 ( 取 n=100 )， 并計(jì)算相對誤差,解：,a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ),相對誤差：,拋物線法,梯形法：trapz,trapz(x,y)x 為分割點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）組成的向量，y 為被積函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值組成的向量。,Matlab 近似計(jì)算定積分的相關(guān)函數(shù),Matlab 計(jì)算定積分函數(shù)介紹,前面的做法,例：用梯形法計(jì)算下面定積分 ( 取 n=100),解：,a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ), x=0:1/100:1; y=1./(1+x

5、.2); trapz(x, y),trapz函數(shù),trapz(x,1./(1+x.2),trapz 舉例,quad(f,a,b,tol) f = f(x) 為被積函數(shù)，a,b 為積分區(qū)間，tol 為計(jì)算精度,將自變量看成是向量,拋物線法：quad,拋物線法,解：, quad(1./(1+x.2),0,1), quad(1./(1+x.2),0,1,10e-10), quad(1./(1+x.2),0,1,10e-16),函數(shù)表達(dá)式一定要用 單引號 括起來！ 涉及的運(yùn)算一定要用 數(shù)組運(yùn)算！,例：用 quad 計(jì)算定積分：,quad 舉例,拋物線法計(jì)算二重積分： dblquad,dblquad(f

6、,a,b,c,d,tol),tol 為計(jì)算精度，若不指定，則缺省精度為 10-6,f(x,y) 可以由 inline 定義，或通過一個(gè)函數(shù)句柄傳遞,a,b 是第一積分變量的積分區(qū)間，c,d 是第二積分變量 的積分區(qū)間,按字母順序，大寫字母排在小寫字母的前面,二重積分的計(jì)算, f=inline(4*x*y+3*y2); I=dblquad(f, -1,1,0,2),f(x,y) 中關(guān)于第一自變量的運(yùn)算是數(shù)組運(yùn)算， 即把 x 看成是向量，y 看成是標(biāo)量。 也可以全部采用數(shù)組運(yùn)算,例2：計(jì)算二重積分, dblquad(inline(4*x*y+3*x2),-1,1,0,2), dblquad(inl

7、ine(4*x*y+3*x.2),-1,1,0,2),X,例1：計(jì)算二重積分,dblquad 舉例,例：計(jì)算二重積分, dblquad(x,y)4*x*y+3*x.2 , -1,1, 0, 2),指定 x、y 分別是第一和第二積分變量, dblquad(inline(4*x*y+3*x.2), -1,1, 0, 2),被積函數(shù) f (x,y) 的另一種定義方法：匿名函數(shù),dblquad 舉例,int(f,a,b) 計(jì)算 f 關(guān)于默認(rèn)自變量 的定積分，積分區(qū)間為a,b。,int(f) 計(jì)算 f 關(guān)于默認(rèn)自變量 的不定積分。,int(f,v,a,b) 計(jì)算函數(shù) f 關(guān)于自變量 v 的定積分，積分區(qū)

8、間為 a, b,int(f,v) 計(jì)算函數(shù) f 關(guān)于自變量 v 的不定積分,findsym(f,1),符號積分： int,int 符號積分, syms x y; f=y*sin(x); int(f,x) int(f,y) int(f) int(a+b),ans=-y*cos(x),ans=1/2*y2*sin(x),ans=-y*cos(x),ans=a*b+1/2*b2,例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果,int 舉例,例：用 int 函數(shù)計(jì)算定積分：,解：, syms x; f=1/(1+x2); int(f,x,0,1), f=sym(1/(1+x2); int(f,x,0,1), int(1/(1+x2),x,0,1),或, int(1/(1+x2),0,1),或,或,int 舉例,double(a) 將 a 轉(zhuǎn)化為雙精度型，若 a 是字符，則取對應(yīng)的 ASCII 碼, a=3; double(a) double(a),例：,ans = 3,ans = 97,其它相關(guān)函數(shù), x=1:0.001:2; y=exp(x.(-2); trapz(x,y),梯形法：,拋物線法：, quad(exp(x.(-2),1,2,10e-10),符號積分法：, syms x int(exp(x(-2),x,1,2),例 1：用 Matlab 函數(shù)近