人教版高中數(shù)學(xué)必修2《點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1》師用

1、.必修2 第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1.1 平面【知識要點(diǎn)】1平面：是一個(gè)只給出描述而未下定義的最基本的原始概念，對平面這一概念應(yīng)從以下三個(gè)方面注意理解：“平面”是平的；“平面”無厚度；“平面”無邊界，可以向四面八方無限延展.2符號語言的記法（1）關(guān)于平面的記法平面的記法用一個(gè)希臘字母表示一個(gè)平面，如平面、平面用平面上的三個(gè)點(diǎn)來表示，如平面ABC，平面BCD用平面上的四個(gè)點(diǎn)來表示，如平面ABCD（2）點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的符號記法l 點(diǎn)和直線、平面的位置關(guān)系位置關(guān)系符號表示點(diǎn)P在直線a上點(diǎn)P不在直線a上點(diǎn)M在平面內(nèi)點(diǎn)M不在平面內(nèi)直線a與直線b交于點(diǎn)Al 直線和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系公

2、共點(diǎn)個(gè)數(shù)符號表示圖形表示直線a 在平面內(nèi)無數(shù)個(gè)直線a 與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)直線a 與平面平行0l 平面和平面的位置關(guān)系位置關(guān)系公共點(diǎn)個(gè)數(shù)符號表示圖形表示兩平面平行0兩平面相交斜交有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上垂直有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)在一條直線上3平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表如下：公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.符號語言【補(bǔ)充】公理2的三條推論：【推論1】 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)

3、，有且只有一個(gè)平面； 【推論2】 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；【推論3】 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面.【例題精講】【例題1】下列推理錯(cuò)誤的是（ ）A，；，.B，；，.C，.D，且A、B、C不共線與重合【變式1】下列說法不正確的是（ ）A. 空間中，一組對邊平行且相等的四邊形是一定是平行四邊形.B. 同一平面的兩條垂線一定共面.C. 過直線上一點(diǎn)可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線都在同一個(gè)平面內(nèi).D. 過一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直.【例題2】如圖正方體中，判下列命題是否正確，并說明理由.(1) 直線在平面內(nèi)；(2) 設(shè)正方形與的中心分別為、，則平面與平面的交線

4、為；(3) 由點(diǎn)、O、可以確定一個(gè)平面；(4) 由、確定的平面是；(5) 若直線是平面內(nèi)的直線，直線是平面上的直線，若與相交，則交點(diǎn)一定在直線上；(6) 由、確定的平面與由、確定的平面是同一平面.【變式1】如果，=A，=B那么下列關(guān)系成立的是（ ）A. B.不在內(nèi) C.=A D.=B【變式2】平面、的公共點(diǎn)多于兩個(gè)，則正確的命題是（ ）A.、重合 B.、至少有3個(gè)公共點(diǎn) C.、至少有一條公共直線 D.、至多有一條公共直線【變式3】已知的兩邊AC、BC分別交平面于點(diǎn)E、F，又設(shè)直線AB交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M與直線EF的位置關(guān)系為 .【變式4】如下圖所示，、三點(diǎn)確定的平面與、三點(diǎn)確定的平面相于直線，且A

5、B與相交，EF與也相交作出平面ABD與平面CEF的交線作法：（1）連結(jié)AB交于G，連結(jié)EF交于H；（2）連結(jié)DG交 于 ；（3）連結(jié)CH交 于 ；（4）連結(jié) 此于即為所作的交線.【變式5】在正方體中，（1）與是否在同一平面內(nèi)? （2）點(diǎn)是否在同一平面內(nèi)? （3）畫出平面與平面的交線，平面與平面的交線解：（1）在正方體中， 由公理2的推論可知，與可確定平面，與在同一平面內(nèi)（2）點(diǎn)不共線，由公理3可知，點(diǎn)可確定平面， 點(diǎn)在同一平面內(nèi)（3）， 點(diǎn)平面，平面，又平面，平面， 平面平面，同理平面平面【點(diǎn)評】確定平面的依據(jù)有公理2（不在同一條直線上的三點(diǎn)）和一些推論（兩條平行直線、兩條相交直線、直線和直線

6、外一點(diǎn)）【例題3】求證：兩兩相交且不過同一個(gè)點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi).已知：直線兩兩相交，交點(diǎn)分別為，求證：直線共面證明：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不在一條直線上，所以過A，B，C三點(diǎn)可以確定平面 因?yàn)锳，B，所以AB 同理BC ，AC .所以AB，BC，CA三直線共面【解析】先依據(jù)公理2，由不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，再依據(jù)公理1，證三條直線在平面內(nèi)注意文字語言給出的證明題，先根據(jù)題意畫出圖形，然后給出符號語言表述的已知與求證常根據(jù)三條公理，進(jìn)行“共面”問題的證明.【變式1】已知直線，且直線與都相交，求證：直線共面.【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1兩個(gè)平面若有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面（ ）A相交 B重合 C相交或重合

7、 D以上都不對【C】2E、F、G、H是三棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點(diǎn)，延長EF、HG交于P，則點(diǎn)P（ ）A一定在直線AC上 B一定在直線BD上C只在平面BCD內(nèi) D只在平面ABD內(nèi)【B】3用一個(gè)平面截一個(gè)正方體，其截面是一個(gè)多邊形，則這個(gè)多邊形邊數(shù)最多是（ ）A三 B四 C六 D八 【C】4下列說法中正確的是（ ）A空間不同的三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面C空間有三個(gè)角為直角的四邊形一定是平面圖形D和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)【D】5給出下列說法：梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；三條平行直線共面；有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；每兩條都相交并且交點(diǎn)全部

8、不同的四條直線共面其中說法正確的序號依次是 6已知空間四點(diǎn)中無任何三點(diǎn)共線，那么這四點(diǎn)可以確定平面的個(gè)數(shù)是 4【能力提高】7正方體中，E、F、G、H、K、L分別是 的中點(diǎn)求證：這六點(diǎn)共面證明：連結(jié)和，因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以 又 矩形中，所以 ，所以 可確定平面，所以 共面，同理 ，故 共面又 平面與平面都經(jīng)過不共線的三點(diǎn)，故 平面與平面重合，所以E、F、G、H、K、L共面于平面同理可證，所以，E、F、G、H、K、L六點(diǎn)共面（證明共面問題常有如下兩個(gè)方法：直接法：先確定一個(gè)平面，再證明其余元素均在這個(gè)平面上；間接法：先證明這些元素分別在幾個(gè)平面上，再證明這些平面重合）8（1）在平面外，求證：P，Q

9、，R三點(diǎn)共線證明：（1）根據(jù)公理2易知確定平面，且與有交線l，根據(jù)公理3易知，P，Q，R三點(diǎn)都在直線l上，即三點(diǎn)共線.（2）已知四邊形ABCD中，ABCD，四條邊AB，BC，DC，AD（或其延長線）分別與平面相交于E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，求證：四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線（2）ABCD，AB，CD確定一個(gè)平面，易知AB，BC，DC，AD都在內(nèi)，由平面的性質(zhì)可知四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都在上，因而，E，G，G，H必都在平面與的交線上，所以四點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H共線.2.1.2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系【知識要點(diǎn)】1空間兩條直線的位置關(guān)系：2【公理4（平行公理）】平行于同一條直線的兩條直線互相平行.【定理】空間

10、中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).3異面直線所成的角定義：已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）注意：所成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為，如果兩條異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點(diǎn)平移定角計(jì)算.【例題精講】【例題1】已知異面直線a和b所成的角為50，P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a、b所成角都是30的直線有且僅有（ ） A1條 B2條 C3條 D4條解：過P作a，b，若Pa，則取a為，若Pb，則取b為這時(shí)

11、，相交于P點(diǎn)，它們的兩組對頂角分別為50和130記，所確定的平面為，那么在平面內(nèi)，不存在與，都成30的直線 過點(diǎn)P與，都成30角的直線必在平面外，這直線在平面的射影是，所成對頂角的平分線其中射影是50對頂角平分線的直線有兩條l和，射影是130對頂角平分線的直線不存在故答案選B.【例題2】如圖正方體中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點(diǎn)，P、Q分別為AC與BD、A1C1與EF的交點(diǎn)（1）求證：D、B、F、E四點(diǎn)共面；（2）若A1C與面DBFE交于點(diǎn)R，求證：P、Q、R三點(diǎn)共線.證明：（1） 正方體中，.又 中，E、F為中點(diǎn)， ， 即D、B、F、E四點(diǎn)共面.（2） ， .又 ， ， 即P、Q、R

12、三點(diǎn)共線【例題3】已知直線a/b/c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面.證明：因?yàn)閍/b，由公理2的推論，存在平面，使得.又因?yàn)橹本€d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，.假設(shè)，則，在平面內(nèi)過點(diǎn)C作，因?yàn)閎/c，則，此與矛盾故直線.綜上述，a、b、c、d四線共面.點(diǎn)評：證明一個(gè)圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件此例拓展的證明先構(gòu)建出一個(gè)平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就是證明問題的一種反證法的思路.【例題4】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是AD、AA1的中點(diǎn).（1）

13、求直線AB1和CC1所成的角的大??；（2）求直線AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如圖，連結(jié)DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的銳角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45， AB1 和CC1所成的角是45.（2）如圖，連結(jié)DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直線AB1和EF所成的角A1DC1是等邊三角形， A1DC1=60，即直線AB1和EF所成的角是60.點(diǎn)評：求解異面直線所成角時(shí)，需緊扣概念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩異面直線成角問題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題，運(yùn)用化歸思想將難化易解題中常借助正方體

14、等幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點(diǎn)、平移、定角、計(jì)算的步驟，逐步尋找出解答思路.【例題5】已知空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且. 求證：（1）E、F、G、H四點(diǎn)共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn)證明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分別是AB和CD的中點(diǎn)， EHBD. 又 ， FGBD EHFG 所以，E、F、G、H四點(diǎn)共面.（2）由（1）可知，EHFG ，且EHFG，即直線EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長線必相交于一點(diǎn)P AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點(diǎn)P是上述兩平面的公共點(diǎn)， 由公理3知PAC 所

15、以，三條直線EF、GH、AC交于一點(diǎn).點(diǎn)評：一般地，證明三線共點(diǎn)，可證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（ ）A異面 B 平行 C 相交 D 以上都有可能【D】2教室內(nèi)有一把尺子，無論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該直尺所在直線（ ）A平行 B垂直 C相交但不垂直 D異面【B】3兩條直線a，b分別和異面直線c，d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（ ）A一定是異面直線 B一定是相交直線C可能是平行直線 D可能是異面直線，也可能是相交直線【D】4把兩條異面直線稱作“一對”，在正方體的十二條棱中，異面直線的對數(shù)為

16、（ ）A 12 B24 C36 D48【B】5正方體中，AB的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)為N，異面直線 與CN所成的角是（ ）A30 B90 C45 D60【B】EFBCMND6如圖，正方體中，直線與所成角為_度 607右圖是正方體平面展開圖，在這個(gè)正方體中： BM與ED平行； CN與BE是異面直線； CN與BM成60角； DM與BN垂直.以上四個(gè)說法中，正確說法的序號依次是 【能力提高】8已知空間四邊形ABCD各邊長與對角線都相等，求AB和CD所成的角的大小解：分別取AC、AD、BC的中點(diǎn)P 、M 、N 連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PNAB，PMCD，于是MPN就是異面直線AB和CD成的角，

17、如右圖所示. 連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2， PM=PN=1而AN=DN=，則MNAD，AM=1，得MN=， MN2=MP2+NP2，MPN=90，即異面直線AB、CD成90角._P_G_H_F_E_D_C_B_A9空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，已知EF和GH交于P點(diǎn)，求證：EF、GH、AC三線共點(diǎn)證明：PEF，EF面ABC，P面ABC，同理P面ADC，P在面ABC與面ADC的交線上，又面ABC面ADC=AC，PAC，即EF、HG、AC三線共點(diǎn).FEDCBAG10A是BCD平面外的一點(diǎn)，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，（1）求證：直線EF與BD是異面直線；

18、（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角.解：（1）證明：用反證法.設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A、B、C、D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD平面外的一點(diǎn)相矛盾故直線EF與BD是異面直線.（2）取CD的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、FG，則EGBD，所以相交直線EF與EG所成的銳角或直角即為異面直線EF與BD所成的角.在RtEGF中，求得FEG=45，即異面直線EF與BD所成的角為45.2.1.3 直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系【知識要點(diǎn)】1直線與平面的位置關(guān)系：l 直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)），記作：；l 直線與平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)），記作：；l 直線與平面平行（沒有公共點(diǎn)），記作：.2兩平面的位置關(guān)系：l 平行（沒有公共點(diǎn)），記作：；l 相交（有一條公共直線），記作：.【基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)】1直線與平面不平行，則（ ）A與相交 B C與相交或 D以上結(jié)論都不對【C】2正方體各面所在平面將空間分成（ ）個(gè)部分.A7 B15 C21 D27【D】3若兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，則這兩個(gè)平