◇23講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)√

1、.第二十三講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)【基礎(chǔ)知識回顧】一、 圓的定義及性質(zhì)：1、 圓的定義： 形成性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)形成的圖形叫做圓，固定的端點叫 線段OA叫做 描述性定義：圓是到定點的距離等于 的點的集合【名師提醒：1、在一個圓中，圓決定圓的 半徑?jīng)Q定圓的 2、直徑是圓中 的弦，弦不一定是錐】2、弦與?。?弦：連接圓上任意兩點的 叫做弦 ?。簣A上任意兩點間的 叫做弧，弧可分為 、 、 三類3、圓的對稱性： 軸對稱性：圓是軸對稱圖形，有 條對稱軸 的直線都是它的對稱軸 中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心是 【名師提醒：圓不僅是中心對稱

2、圖形，而且具有旋轉(zhuǎn) 性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都被與原來的圖形重合】二、 垂徑定理及推論： 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分弦所對的 2、推論：平分弦（ ）的直徑 ，并且平分弦所對的 【名師提醒：1、垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：過圓心垂直于弦平分弦平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，注意解題過程中的靈活運用2、圓中常作的輔助線是過圓心作弦的 線3、垂徑定理常用作計算，在半徑r弦a弦心d和弦h中已知兩個可求另外兩個】三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系： 1、圓心角定義：頂點在 的角叫做圓心角 2、定理：在 中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量 它們

3、所對應(yīng)的其余各組量也分別 【名師提醒：注意：該定理的前提條件是“在同圓或等圓中”】四、 圓周角定理及其推論： 1、圓周角定義：頂點在 并且兩邊都和圓 的角叫圓周角 2、圓周角定理：在同圓或等圓中，圓弧或等弧所對的圓周角 都等于這條弧所對的圓心角的 推論1、在同圓或等圓中，如果兩個圓周角 那么它們所對的弧 推論2、半圓（或直弦）所對的圓周角是 900的圓周角所對的弦是 【名師提醒：1、在圓中，一條弦所對的圓心角只有一個，而 它所對的圓周角有 個，它們的關(guān)系是 2、 作直弦所對的圓周角是圓中常作的輔助線】五、 圓內(nèi)接四邊形： 定義：如果一個多邊形的所有頂點都在圓上，這個多邊形叫做 這個圓叫做 性質(zhì)

4、：圓內(nèi)接四邊形的對角 【名師提醒：圓內(nèi)接平行四邊形是 圓內(nèi)接梯形是 】考點一：垂徑定理例1如圖，AD為O的直徑，作O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是：甲：1、作OD的中垂線，交O于B，C兩點，2、連接AB，AC，ABC即為所求的三角形乙：1、以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交O于B，C兩點2、連接AB，BC，CAABC即為所求的三角形對于甲、乙兩人的作法，可判斷（A）A甲、乙均正確B甲、乙均錯誤C甲正確、乙錯誤D甲錯誤，乙正確對應(yīng)訓(xùn)練1如圖，O是ABC的外接圓，B=60，OPAC于點P，OP=2，則O的半徑為（）A4 B6 C8 D12考點二：圓周角定理例2如圖，AB是O的直徑，弦

5、CDAB于點N，點M在O上，1=C（1）求證：CBMD；（2）若BC=4，sinM= ，求O的直徑對應(yīng)訓(xùn)練37如圖，O是ABC的外接圓，AB是O的直徑，D為O上一點，ODAC，垂足為E，連接BD（1）求證：BD平分ABC；（2）當ODB=30時，求證：BC=OD考點三：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)例3 如圖，C過原點，且與兩坐標軸分別交于點A、點B，點A的坐標為（0，3），M是第三象限內(nèi) 上一點，BMO=120，則C的半徑長為（）A6 B5 C3 D3 對應(yīng)訓(xùn)練3、如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點，若BAD=105，則DCE的大小是（）A115 Bl05 C100 D95【聚焦中

6、考】1如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是（）ACM=DM B CACD=ADC DOM=MD2某施工工地安放了一個圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1），若不計木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是 cm3如圖，在半徑為5的O中，弦AB=6，點C是優(yōu)弧上一點（不與A，B重合），則cosC的值為 4如圖，點A、B、C在O上，AOC=60，則ABC的度數(shù)是 【備考真題過關(guān)】一、選擇題1如圖，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，P是M上異于A、B的一動點，直線PA、PB分別交y軸于C、

7、D，以CD為直徑的N與x軸交于E、F，則EF的長（）A等于4 B等于4 C等于6 D隨P點位置的變化而變化2如圖，在半徑為5的O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為（）3如圖，AB為O的直徑，弦CDAB于E，已知CD=12，BE=2，則O的直徑為（）A8B10C16D204如圖，CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），ABCD于點E，則下列結(jié)論正確的是（）AAEBEB CD=AECDADECBE5已知：如圖，OA，OB是O的兩條半徑，且OAOB，點C在O上，則ACB的度數(shù)為（）A45 B35 C25 D206如圖，AB、CD是O的兩條弦，連接AD、BC若BA

8、D=60，則BCD的度數(shù)為（）A40 B50 C60 D707ABC為O的內(nèi)接三角形，若AOC=160，則ABC的度數(shù)是（）A80 B160 C100 D80或1008如圖，在ABC中，AB為O的直徑，B=60，BOD=100，則C的度數(shù)為（）A50 B60 C70 D80二、填空題9如圖，AB為O的直徑，CD為O的一條弦，CDAB，垂足為E，已知CD=6，AE=1，則0的半徑為 510如圖，AB是O的弦，OCAB于C若AB=2，0C=1，則半徑OB的長為 211如圖，在O中，直徑AB丄弦CD于點M，AM=18，BM=8，則CD的長為 2412已知：如圖，在O中，C在圓周上，ACB=45，則A

9、OB= 13如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當CN=CO時，NMB的度數(shù)是 14如圖，已知點A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連接AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊APQ，連接PB、BA若四邊形ABPQ為梯形，則：（1）當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是 ；（2）當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是 15如圖，ABC內(nèi)接于O，AB、CD為O直徑，DEAB于點E，sinA=，則D的度數(shù)是 三、解答題16如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖已知圖中ABCD為等腰梯形（ABDC），支點A與B相距8m，罐底最低點到地面CD距離為1m

10、設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，D=56，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積（參考數(shù)據(jù)：sin530.8，tan561.5，3，結(jié)果保留整數(shù)）17如圖，O的半徑為17cm，弦ABCD，AB=30cm，CD=16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距離18在O中，直徑ABCD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CFAD求D的度數(shù)19如圖，A，P，B，C是半徑為8的O上的四點，且滿足BAC=APC=60，（1）求證：ABC是等邊三角形；（2）求圓心O到BC的距離OD20如圖ABC中，BC=3，以BC為直徑的O交AC于點D，若D是AC中點，ABC=120（1）求ACB的大??；（2）

11、求點A到直線BC的距離21如圖，已知AB是O的弦，OB=4，OBC=30，點C是弦AB上任意一點（不與點A、B重合），連接CO并延長CO交O于點D，連接AD、DB（1）當ADC=18時，求DOB的度數(shù)；（2）若AC=2，求證：ACDOCB第二十三講 圓的有關(guān)概念及性質(zhì)【基礎(chǔ)知識回顧】三、 圓的定義及性質(zhì)：3、 圓的定義： 形成性定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)形成的圖形叫做圓，固定的端點叫 線段OA叫做 描述性定義：圓是到定點的距離等于 的點的集合【名師提醒：1、在一個圓中，圓決定圓的 半徑?jīng)Q定圓的 2、直徑是圓中 的弦，弦不一定是錐】2、弦與?。?/p>

12、 弦：連接圓上任意兩點的 叫做弦 ?。簣A上任意兩點間的 叫做弧，弧可分為 、 、 三類3、圓的對稱性： 軸對稱性：圓是軸對稱圖形，有 條對稱軸 的直線都是它的對稱軸 中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心是 【名師提醒：圓不僅是中心對稱圖形，而且具有旋轉(zhuǎn) 性，即繞圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都被與原來的圖形重合】四、 垂徑定理及推論： 1、垂徑定理：垂直于弦的直徑 ，并且平分弦所對的 2、推論：平分弦（ ）的直徑 ，并且平分弦所對的 【名師提醒：1、垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：過圓心垂直于弦平分弦平分弦所對的優(yōu)弧平分弦所對的劣弧五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，注意解題過程中的靈活運用2、圓

13、中常作的輔助線是過圓心作弦的 線3、垂徑定理常用作計算，在半徑r弦a弦心d和弦h中已知兩個可求另外兩個】三、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系： 1、圓心角定義：頂點在 的角叫做圓心角 2、定理：在 中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量 它們所對應(yīng)的其余各組量也分別 【名師提醒：注意：該定理的前提條件是“在同圓或等圓中”】六、 圓周角定理及其推論： 1、圓周角定義：頂點在 并且兩邊都和圓 的角叫圓周角 2、圓周角定理：在同圓或等圓中，圓弧或等弧所對的圓周角 都等于這條弧所對的圓心角的 推論1、在同圓或等圓中，如果兩個圓周角 那么它們所對的弧 推論2、半圓（或直弦）所對的圓周角是 900的圓周角所對的

14、弦是 【名師提醒：1、在圓中，一條弦所對的圓心角只有一個，而 它所對的圓周角有 個，它們的關(guān)系是 4、 作直弦所對的圓周角是圓中常作的輔助線】七、 圓內(nèi)接四邊形： 定義：如果一個多邊形的所有頂點都在圓上，這個多邊形叫做 這個圓叫做 性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角 【名師提醒：圓內(nèi)接平行四邊形是 圓內(nèi)接梯形是 】考點一：垂徑定理例1如圖，AD為O的直徑，作O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別是：甲：1、作OD的中垂線，交O于B，C兩點，2、連接AB，AC，ABC即為所求的三角形乙：1、以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交O于B，C兩點2、連接AB，BC，CAABC即為所求的三角形對于甲、乙兩人的

15、作法，可判斷（A）A甲、乙均正確B甲、乙均錯誤C甲正確、乙錯誤D甲錯誤，乙正確對應(yīng)訓(xùn)練1如圖，O是ABC的外接圓，B=60，OPAC于點P，OP=2，則O的半徑為（A）A4 B6 C8 D12考點二：圓周角定理例2如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點N，點M在O上，1=C（1）求證：CBMD；（2）若BC=4，sinM= ，求O的直徑證明：C與M是所對的圓周角，C=M，又1=C，1=M，CBMD；（2）解：連接AC，AB為O的直徑，ACB=90，又CDAB，= ，A=M，sinA=sinM，在RtACB中，sinA=，sinM=，BC=4，AB=6，即O的直徑為6對應(yīng)訓(xùn)練37如圖，O是ABC的

16、外接圓，AB是O的直徑，D為O上一點，ODAC，垂足為E，連接BD（1）求證：BD平分ABC；（2）當ODB=30時，求證：BC=OD證明：（1）ODAC OD為半徑，CBD=ABD，BD平分ABC；（2）OB=OD，OBD=0DB=30，AOD=OBD+ODB=30+30=60，又ODAC于E，OEA=90，A=180-OEA-AOD=180-90-60=30，又AB為O的直徑，ACB=90，在RtACB中，BC=AB，OD=AB，BC=OD考點三：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)例3 如圖，C過原點，且與兩坐標軸分別交于點A、點B，點A的坐標為（0，3），M是第三象限內(nèi) 上一點，BMO=120，則C的半

17、徑長為（）A6 B5 C3 D3 解：四邊形ABMO是圓內(nèi)接四邊形，BMO=120，BAO=60，AB是O的直徑，AOB=90，ABO=90-BAO=90-60=30，點A的坐標為（0，3），OA=3，AB=2OA=6，C的半徑長=3故選C對應(yīng)訓(xùn)練3、如圖，四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，E是BC延長線上一點，若BAD=105，則DCE的大小是（）A115 Bl05 C100 D95解：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，BAD+BCD=180，而BCD+DCE=180，DCE=BAD，而BAD=105，DCE=105故選B【聚焦中考】1如圖，AB是O的直徑，弦CDAB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是（

18、D）ACM=DM B CACD=ADC DOM=MD2某施工工地安放了一個圓柱形飲水桶的木制支架（如圖1），若不計木條的厚度，其俯視圖如圖2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，則圓柱形飲水桶的底面半徑的最大值是 30 cm3如圖，在半徑為5的O中，弦AB=6，點C是優(yōu)弧上一點（不與A，B重合），則cosC的值為 4如圖，點A、B、C在O上，AOC=60，則ABC的度數(shù)是 .150 【備考真題過關(guān)】一、選擇題1如圖，以M（-5，0）為圓心、4為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，P是M上異于A、B的一動點，直線PA、PB分別交y軸于C、D，以CD為直徑的N與x軸交于E、F，則EF的長（C

19、）A等于4 B等于4 C等于6 D隨P點位置的變化而變化2如圖，在半徑為5的O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB=CD=8，則OP的長為（C）3如圖，AB為O的直徑，弦CDAB于E，已知CD=12，BE=2，則O的直徑為（D）A8B10C16D204如圖，CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），ABCD于點E，則下列結(jié)論正確的是（D）AAEBEB CD=AECDADECBE5已知：如圖，OA，OB是O的兩條半徑，且OAOB，點C在O上，則ACB的度數(shù)為（A）A45 B35 C25 D206如圖，AB、CD是O的兩條弦，連接AD、BC若BAD=60，則BCD的度數(shù)為（C）A40 B

20、50 C60 D707ABC為O的內(nèi)接三角形，若AOC=160，則ABC的度數(shù)是（D）A80 B160 C100 D80或1008（2012瀘州）如圖，在ABC中，AB為O的直徑，B=60，BOD=100，則C的度數(shù)為（）A50 B60 C70 D80二、填空題9如圖，AB為O的直徑，CD為O的一條弦，CDAB，垂足為E，已知CD=6，AE=1，則0的半徑為 5 510如圖，AB是O的弦，OCAB于C若AB=2，0C=1，則半徑OB的長為 2 211如圖，在O中，直徑AB丄弦CD于點M，AM=18，BM=8，則CD的長為 24 2412已知：如圖，在O中，C在圓周上，ACB=45，則AOB=

21、90 13如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當CN=CO時，NMB的度數(shù)是 30 14如圖，已知點A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），過點C向右作平行于x軸的射線，點P是射線上的動點，連接AP，以AP為邊在其左側(cè)作等邊APQ，連接PB、BA若四邊形ABPQ為梯形，則：（1）當AB為梯形的底時，點P的橫坐標是 ；（2）當AB為梯形的腰時，點P的橫坐標是 0或 15如圖，ABC內(nèi)接于O，AB、CD為O直徑，DEAB于點E，sinA=，則D的度數(shù)是 30 三、解答題16如圖所示為圓柱形大型儲油罐固定在U型槽上的橫截面圖已知圖中ABCD為等腰梯形（ABDC），支點A與B相距8m，罐底最低點到地

22、面CD距離為1m設(shè)油罐橫截面圓心為O，半徑為5m，D=56，求：U型槽的橫截面（陰影部分）的面積（參考數(shù)據(jù)：sin530.8，tan561.5，3，結(jié)果保留整數(shù)）解：如圖，連接AO、BO過點A作AEDC于點E，過點O作ONDC于點N，ON交O于點M，交AB于點F則OFABOA=OB=5m，AB=8m，AF=BF=AB=4（m），AOB=2AOF，在RtAOF中，sinAOF=0.8=sin53，AOF=53，則AOB=106，OF=3（m），由題意得：MN=1m，F(xiàn)N=OM-OF+MN=3（m），四邊形ABCD是等腰梯形，AEDC，F(xiàn)NAB，AE=FN=3m，DC=AB+2DE在RtADE中，

23、tan56=，DE=2m，DC=12mS陰=S梯形ABCD-（S扇OAB-SOAB）=（8+12）3-（52-83）=20（m2）答：U型槽的橫截面積約為20m217如圖，O的半徑為17cm，弦ABCD，AB=30cm，CD=16cm，圓心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距離解：過點O作弦AB的垂線，垂足為E，延長AE交CD于點F，連接OA，OC，ABCD，OFCD，AB=30cm，CD=16cm，AE=AB=30=15cm，CF=CD=16=8cm，在RtAOE中，OE=8cm，在RtOCF中，OF=15cm，EF=OF-OE=15-8=7cm答：AB和CD的距離為7cm18在O中，直徑ABCD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CFAD求D的度數(shù)解：方法一：連接BDABO是直徑，BDAD又CFAD，BDCF，BDC=C又BDC=BOC，C=BOCABCD，C=30，ADC=60方法二：設(shè)D=x，CFAD，ABCD，A=A，AFOAED，D=AOF=x，ADC=2ADC=2x，x+2x=180，x=60，ADC=