中考數(shù)學解答題解題思路與書寫規(guī)范要求

1、中考數(shù)學解答題解題思路與書寫規(guī)范要求中考數(shù)學解答題共有八道大題，其中技能部分占五道題，另一道應(yīng)用題，一道探究題或方法遷移性問題，一道綜合題.從歷年的考試情況來看，前五道技能性問題對于中上等學生得分率較高，學生能明白考察的知識與解題的思路.但失分的原因多數(shù)是因為書寫的不規(guī)范（缺少主要步驟、排列性混亂等）所造成，這也是教師在復習教學時重思路方法忽視書寫要求所產(chǎn)生的共性問題.從時間的運用上看，這五道技能性問題還存在不重視方法的選擇上，走遠路解答誤時費勁.應(yīng)用題的失分主要還是找不出題目中的數(shù)量關(guān)系或解錯方程不等式造成.探究性問題或方法遷移性問題失分的原因是不明確解題的思路，在方法規(guī)律的轉(zhuǎn)化上不能很好的

2、運用.綜合性問題的失分原因主要是觀察能力與操作能力不能很好的發(fā)揮，只重視計算與證明的重要性，忽視觀察與操作環(huán)節(jié)，進而找不到突破口，造成思維上的短路.第一解答題：(代數(shù)類實數(shù)代數(shù)式運算與方程不等式求解)（1）分式的化簡與求值：根據(jù)課標的要求，分式的運算分式的個數(shù)不得超過三個，所以中考試題多以三個或兩個分式為主，主要考察分式的通分，整式的因式分解，分式的約分等。通常的解題程序是：先把分子與分母能分解因式的進行因式分解，同時把小括號內(nèi)的分式通分合并；再把除法轉(zhuǎn)化為乘法運算，最后準確約分即可.求值時改變了直接給出未知數(shù)的具體數(shù)字的模式，通常給出未知數(shù)的取值范圍，首先要根據(jù)分式成立的意義確定什么數(shù)不能取

3、，進而選擇可行數(shù)代入求值.例如：先化簡然后從的范圍內(nèi)選取一個合適的整數(shù)作為x值代入求值. 由題意可知：x0且x2，故在中取x=1時，原式= 說明:學生在書寫容易多寫浪費時間，如第一步驟中只進行通分把第一分式照抄或把第一分式因式分解而括號內(nèi)容照抄，還有學生先在演草紙上演算后在摘錄部分步驟到卷面上，這是都是不可取的.主要步驟是第一步體現(xiàn)因式分解和通分，第二步驟體現(xiàn)算法轉(zhuǎn)化，第三步驟體現(xiàn)約分.（2）實數(shù)的運算: 根據(jù)課標要求，實數(shù)混合運算加減運算的次數(shù)不能超過四次，因此中考試題中加減號的次數(shù)多以三個或四個為主，主要考察內(nèi)容包括根式的化簡，絕對值運算，整數(shù)指數(shù)冪的運算，特殊角三角函數(shù)值等.通常的解題程

4、序是：按加減把混合運算分成四個或五個小運算，第一步中把每個小運算的結(jié)果求出，再去括號進行實數(shù)的加減運算可直接得結(jié)果.例如：計算：（3）0|3|（）2cos600解：原式=1-（3-）+9-=1-3+9-=.說明：學生在書寫時容易在第一步中不能完成所有小運算，反復抄寫浪費時間；還有對絕對值運算去掉絕對值符號后不加括號(或不考慮符號)產(chǎn)生錯誤等.實數(shù)的運算主要體現(xiàn)在第一步上，要體現(xiàn)出實數(shù)運算的方法和過程.（3）解方程（組）或解不等式（組）：根據(jù)課標要求，解方程（組）與解不等式（組）主要以解一元二次不等式，解二元一次方程組和解一元一次不等式組為主，重在考察等式與不等式的基本性質(zhì)和消元降次的思想.它們

5、的解題程序課本中都有標準的過程，在這里不在一一說明.注意：解一元二次方程時可選擇“公式法”，容易掌握和理解；解二元一次方程組時可選擇“加減法”，可以提高速度；解一元一次不等式組時要關(guān)注數(shù)軸的準確畫法與應(yīng)用.例如1：解一元二次方程2x2-3x-5=0.解：由題可知：a=2,b=-3,c=-5.所以有b2-4ac=(-3)2-42（-5）=490，即x=，所以原方程的根為x1=,x2=-1.注意：容易漏掉的步驟有只計算b2-4ac的值忘記判斷正負性.例如2：解二元一次方程組.解：23得：13x=2,即x=.把x=代入得：y=.所以原方程組的解為：例如3：求不等式組 的整數(shù)解解：解不等式得：x-1,

6、解不等式得：x2. -1 0 1 2把這兩個解集表示在數(shù)軸上為：所以原不等式組的解集為：-1x2.故原不等式組的整數(shù)解為：-1，0，1.注意：容易出錯的步驟是解不等式不等號的方向問題，畫數(shù)軸上不準確，還有就是解完不等式后對下一問忽略.第二解答題（幾何類全等三角形證明與特殊四邊形的判斷與證明以及相關(guān)基本計算）：課標明確指出：幾何題證明的難度不得超過證明定理的難度.因此，本題的幾何問題多以直觀判斷圖形的形狀，判斷圖形間的關(guān)系，證明三角形全等和證明特殊四邊形為主.近兩年來，在此基礎(chǔ)上加入了簡單的圖形計算內(nèi)容.解決這類問題的基本程序是：先利用工具驗證并直觀判斷圖形的形狀或關(guān)系，再尋找并證明兩個三角形全

7、等進而得所證問題，計算時多利用三角形的有關(guān)性質(zhì)即可.例如1：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，ABC和ABC關(guān)于AC所在的直線對稱，AD和BC相交于點O，連接BB（1）請直接寫出圖中所有的等腰三角形（不添加字母）；（2）求證：ABOCDO解：（1）圖中等腰三角形有：ABB/,CBB/,OAC;（2）因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以有ABC=ADC,AB=CD.又因為ABC和ABC關(guān)于AC所在的直線對稱，所以有ABC=AB/C,AB=AB/.即ADC =AB/C，CD =AB/.在ABO和CDO中，因為ADC =AB/C，,AOB/=COD， CD =AB/,所以ABOCDODAMCBNE例

8、如2: 如圖，在梯形ABCD中，ADBC,延長CB到點E，使BE=AD,連接DE交AB于點M.(1)求證：AMDBME;(2)若N是CD的中點，且MN=5,BE=2,求BC的長.證明：（1）ADBC,ADM=E.又AMD=EMB, BE=AD,AMDBME.(2)由（1）可知：AMDBME，DM=ME,又N是CD的中點，MN為DEC的中位線.即MN=,代入MN=5,BE=2，解得：BC=8.說明：如果圖形借助特殊四邊形時，要先從特殊四邊形的性質(zhì)入手得出需要的結(jié)論作為后續(xù)證明的條件；如果圖形中含有折疊、旋轉(zhuǎn)或平移時，要根據(jù)圖形變換的全等性得出需要的結(jié)論作為后續(xù)證明的條件；選擇條件除上述兩方面外，

9、也要關(guān)注圖形中的隱藏條件如對頂角、公共角、公共邊等.書寫時，可用文字語言描述(例1)，也可用符號語言描述（例2）；書寫因果關(guān)系時，一定在因為的后邊為題目中結(jié)出的已知條件（或者說照抄題目中的相關(guān)條件），在所以的后邊一定是根據(jù)某定理得出的結(jié)論.針對圖形的計算問題，首先要根據(jù)數(shù)學知識寫出相關(guān)的結(jié)論（即用符號表示數(shù)量關(guān)系），再代入數(shù)值計算方可.常見的書寫問題有：利用角的關(guān)系時喜歡用三個大寫字母表示，不會用數(shù)字表示費時不直觀還容易抄寫錯誤；把基本推理在心中完成，進而把其得到的結(jié)論當條件直接應(yīng)用；有關(guān)圖形的計算時不講明道理直接用數(shù)字運算等.第三解答題（統(tǒng)計概率類統(tǒng)計圖表完善，樣本估計總體狀況計算問題）：課

10、標指出：經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的活動；會制作扇形統(tǒng)計圖，能用統(tǒng)計圖直觀、有效地描述數(shù)據(jù)；能計算中位數(shù)、眾數(shù)、加權(quán)平均數(shù)，會計算簡單數(shù)據(jù)的方差；能畫頻數(shù)直方圖，能利用頻數(shù)直方圖解釋數(shù)據(jù)中蘊涵的信息；可以通過樣本平均數(shù)，樣本方差推斷總體平均數(shù)和總體方差；能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，知道可以用頻率來估計概率.根據(jù)課標要求，近幾年中考中這部分知識解答題的考察，主要包括統(tǒng)計圖表完善或制作，計算相關(guān)統(tǒng)計量并用統(tǒng)計量分析數(shù)據(jù)狀況，利用統(tǒng)計和概率的思想用樣本估計總體，計算簡單事件的概率等.解題的一般程序是：先從統(tǒng)計圖表中獲取相關(guān)信息，通過計

11、算完善統(tǒng)計圖表；再根據(jù)統(tǒng)計圖表獲取相關(guān)信息，通過計算得出樣本的相關(guān)統(tǒng)計量或頻率，運用統(tǒng)計和概率的思想判斷并計算總體的有關(guān)問題；最后利用排列的方法計算簡單隨機事件的概率.例如1: 5月31日是世界無煙日，某市衛(wèi)生機構(gòu)為了了解“導致吸煙人口比例高的主要原因”，隨機抽樣調(diào)查了該市部分1865歲的市民，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖，根據(jù)圖中信息解答下列問題：正府對公共場所吸煙的監(jiān)管力度不夠人們對吸煙的容忍度大其它對吸煙危害健康認識不足煙民戒煙毅力弱420mm210240項目 人數(shù) 圖1ABCDEE16%A28%B21%C21%D圖2（1）這次接受隨機抽樣調(diào)查的市民總?cè)藬?shù)為 .（2）圖1中的m的值是

12、.（3）求圖2中認為“煙民戒煙毅力弱”所對應(yīng)的圓心角度數(shù).（4）若該市1865歲的市民約為200萬人，請你估算其中認為導致吸煙人中比例高的最主要原因是“對吸煙危害健康認識不足”的人數(shù).解：（1）從統(tǒng)計圖中不能發(fā)現(xiàn)，A類即有人數(shù)420人且占28%，E類即有人數(shù)240人且占16%，故可從中任取一項得調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：42028%=1500（人）.注：從運算的難度上看選“E”計算較為簡便.（2）由（1）知抽查的總?cè)藬?shù)為1500人，從扇形圖中知“B”類對象占總?cè)藬?shù)的21%，故有m=150021%=315(人).（3）由圖1知“煙民戒煙毅力弱”的人數(shù)為210人，總?cè)藬?shù)為1500人，所以“D”所對應(yīng)圓心角的

13、度數(shù)為：.（4）由扇形圖可知：對“對吸煙危害健康認識不足”占調(diào)查的比例為21%，所以可以估計該市1865歲的市民約為200萬人中“對吸煙危害健康認識不足”的人數(shù)為：200萬21%=42萬.克服酒駕-你認為哪一種方式更好？A、 司機酒駕，乘客有責，讓乘客幫助監(jiān)督B、 在汽車上張貼“請勿酒駕”的提醒標志C、 簽定“永不酒駕”保證書D、 希望交警加大檢查力度E、 查出酒駕，追究就餐飯店的連帶責任例如2：為更好地宣傳“開車不喝酒，喝酒不開車”的駕車理念，某市一家報社設(shè)計了如右的調(diào)查問卷（單選）。在隨機調(diào)查了本市全部5000名司機中的部分司機后，統(tǒng)計整理并制作了如下的統(tǒng)計圖：100806040200A

14、B C D E選項調(diào)查結(jié)果的條形統(tǒng)計圖人數(shù)調(diào)查結(jié)果的扇形統(tǒng)計圖A m%B23%CDE60693645根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）補全條形統(tǒng)計圖，并計算扇形統(tǒng)計統(tǒng)計圖中m= ；（2）該市支持選項B的司機大約有多少人？（3）若要從該市支持選項B的司機中隨機選擇100名，給他們發(fā) “請勿酒駕”的提醒標志，則支持該選項B的司機小李被選中的概率是多少？解：（1）由統(tǒng)計圖表可知：“B”類人數(shù)有69人，且占總調(diào)查人數(shù)的23%，所以調(diào)查的總?cè)藬?shù)為：6923%=300(人).即“C”類人數(shù)有：300-60-69-36-45=90（人），畫圖略.由（1）知調(diào)查的總?cè)藬?shù)為300人，其中“A”類人數(shù)為60人，所以

15、它所占的比例為：60300=20%，故m=20.（2）該市支持選項B的司機大約為：5000（69300）=1150（人）.（3）支持該選項B的司機小李被選中的概率為:69300=0.23.說明：從統(tǒng)計圖表中獲取信息是學生學習統(tǒng)計概率知識所必須達到的能力，在書寫時準確講運用語言說明所需要的數(shù)據(jù)是如何獲得，并指明計算的目的后才能列式計算.通常標準答案只需要指明計算的目的列式計算即可.學生在解答統(tǒng)計與概率問題時，最容易把代數(shù)問題算術(shù)化，即只列出計算的式子得出結(jié)果，不說明計算的目的或任務(wù)，嚴格上講不完整不準確.總的來說，統(tǒng)計與概率是獲取數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)說明問題，利用樣本估計總體，利用頻數(shù)估計概率，必要的

16、語言描述是必不可少的.第四解答題（代數(shù)類函數(shù)基本應(yīng)用或基本技能問題）ADBCPOxy函數(shù)是中學數(shù)學的核心知識，也是中考數(shù)學命題的重心之一.近兩年來看，解答題中增加了利用函數(shù)知識解決簡單的實際問題，通過函數(shù)運算考察數(shù)形結(jié)合的思想與方法內(nèi)容，其解題的一般程序是：設(shè)出所求函數(shù)的表達式（已知條件中告訴者略），尋找滿足函數(shù)的一到兩組對應(yīng)值或在函數(shù)圖象上找到一到兩點的坐標并代入表達式求解；再根據(jù)函數(shù)圖象、實際意義判斷自變量的取值范圍或根據(jù)函數(shù)表達式計算有關(guān)問題；設(shè)出運動點的坐標結(jié)合圖形面積公式根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系列出方程（組）求解即可.例如1：如圖，一次函數(shù)y1=k1x+2與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點A(4

17、,m)和B（-8，-2），與y軸交于點C.(1)k1= ,k2= ;(2)根據(jù)函數(shù)圖象可知，當y1y2時，x的取值范圍是 ；（3）過點A作ADx軸于點D，點P是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點.設(shè)直線OP與線段AD交于點E,當S四邊形ODAC:SODE=3:1時，求點P的坐標.解：（1）因為一次函數(shù)y1=k1x+2與反比例函數(shù)y2=的圖象交于點A(4,m)和B（-8，-2），所以有：m=4k1+2,-2=-8k1+2,-2=,解得：m=4,k1=,k2=16.說明：此步驟書寫可根據(jù)需要，利用條件列出方程求解即可，常見問題有把條件分開后排列順序或因果關(guān)系上不當，或書寫量大費時；二是只關(guān)注了結(jié)論的

18、需要忽視求m值，給后邊解題造成不便.（2）（直線與雙曲線產(chǎn)生兩個交點，雙曲線不連續(xù)，故它們的圖象被分成了四部分，根據(jù)圖象滿足y1y2只有兩部分：點B到y(tǒng)軸之間，以及點A的右邊，所以x的取值范圍是）-8x4.說明：這一步反映了數(shù)形結(jié)合的思想方法，確定函數(shù)值的大小關(guān)鍵能根據(jù)圖象合理分類討論，學生常見的錯誤是分類不準確不全面或書寫不等號時方向以及帶不帶等號等.（3）方法一：一次函數(shù)y1=x+2與y軸交于點C，C的坐標為（0，2），即OC=2.又A點的坐標為（4,4）且ADx軸，AD=4,OD=4.設(shè)點P的坐標為（a,b）,則有直線OP的表達式為：y=,當x=4時，有y=,故有DE=.S四邊形ODAC

19、=SODE=ODDE=4=,由題意可得：3=12，即a=2b.又因點P（a,b）在反比例函數(shù)y=上，則ab=16,把a=2b代入得：2b2=16,解得：b=.因為點P在第一象限，所以b=2,代入a=2b得：a=4,所以有點P(4,).方法二：由圖可知：S四邊形ODAC=，SODE=ODDE，因為S四邊形ODAC:SODE=3:1，所以=3ODDE化簡得：3DE=OC+AD.又一次函數(shù)y1=x+2與y軸交于點C，C的坐標為（0，2），即OC=2.又A點的坐標為（4,4）且ADx軸，AD=4.由上可得：DE=2.即點E的坐標為（4，2），即直線OC的表達式為：y=x.解方程組，得：.因為點P在第一

20、象限內(nèi)，所以點P的坐標為（(4,).說明：方法（1）先求出或設(shè)出圖中點的坐標，然后用坐標值表示相關(guān)線段的長度，再代入圖形的面積公式列出方程或方程組直接求出點P的坐標；方法（2）先根據(jù)圖形的面積公式和題設(shè)等量關(guān)系列出含線段的等式，然后化簡式子得出相關(guān)線段間的數(shù)量關(guān)系，再結(jié)合已知點的坐標求出未知點的坐標.從通性通法講或從與高中接軌上講方法（1）較為常用.書寫時存在的問題主要有：由已知函數(shù)表達式求點的坐標沒有聯(lián)系意識，用到什么求什么，造成邏輯不順暢（應(yīng)該首先考慮圖形面積公式確定需要那些線段長度，能求出者利用函數(shù)表達式確定點的坐標得出線段長度，不能求出者設(shè)出點的坐標再表示出相關(guān)線段的長度）；利用題設(shè)中

21、的數(shù)量關(guān)系和運動點所在函數(shù)圖象上列出方程（組）求解時，解法不當或書寫過多（通常只需列出方程在演草紙上演算，卷面上只接寫出答案即可）.F例如2：如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點（1）求、的值；（2）直接寫出時x的取值范圍；（3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC/OD，OB=CD，OD邊在x軸上，過點C作CEOD于點E，CE和反比例函數(shù)的圖象交于點P，當梯形OBCD的面積為12時，請判斷PC和PE的大小關(guān)系，并說明理由解：（1）因為直線與反比例函數(shù)的圖象交于A，B兩點，所以有6=k1+b,3=ak1+b,6=k2,3=,解得：k1=3,k2=6,a=2.（2）由上可知：A(1,6),B(2

22、,3),所以時x的取值范圍是：1x2.（3）在等腰梯形OBCD中，過點B作BFOD,垂足為F,又BC/OD且B(2,3),則有BC=EF,BF=CE=3,OF=DE=2.BC/OD且B(2,3),可設(shè)點C的坐標為（m,3）,OE=m,即BC=EF=OE-OF=m-2,OD=OE+ED=OE+OF=m+2.則S梯形OBCD=12,解得：m=4.對于反比例函數(shù)，當x=4時有y=1.5,所以點C、P、E的坐標分別為（4，3），（4,1.5）,(4,0),則PC=3-1.5=1.5,PE=1.5,所以有PC=PE. 說明：其解題思路與書寫過程與上題類同.例如3：甲、乙兩人同時從相距90千米的A地前往B

23、地，甲乘汽車，乙騎摩托車，甲到達B地后停留半小時返回A地.如圖是他們離A地的距離y（千米）與時間t（時）之間的函數(shù)關(guān)系圖象.9011.53x（千米）人數(shù)第19題O（1）求甲從B地返回A地的過程中，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）若乙出發(fā)后2小時和早相遇，求乙從A地到B地用了多長時間？解：（1）由題意可知折線為甲運動圖，甲從B地返回A地的過程由圖象可知y與x之間是一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)其函數(shù)關(guān)系為：y=kx+b,又圖象過點（1.5，90），（3，0）,則，所以y=-60x+180,其自變量x的取值范圍為：1.5x3.（2）由圖象可知，乙與甲相遇時甲在返回途中，故對于函數(shù)y=-6

24、0x+180,當x=2時，有y=60.所以乙騎摩托車的速度為30千米/小時，故乙從A地到B地所用時間為：9030=3（小時）.說明：（1）這是一道利用函數(shù)圖象解決實際問題的例子，其解題的思路是首先要根據(jù)問題的需要從圖象中獲取相關(guān)的信息（所求的函數(shù)圖象形狀是什么，從圖象上知道幾個點的坐標），進而轉(zhuǎn)化出數(shù)學的問題，再通過列方程（組）求出函數(shù)的表達式；然后再根據(jù)函數(shù)表達的實際意義和交點的生活意義，把數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為實際生活經(jīng)驗問題，用語言描述即可.（2）書寫時容易產(chǎn)生的問題有：一是由圖象和生活意義轉(zhuǎn)化數(shù)學問題時，表達不夠完整準確；二是利用數(shù)學問題闡述生活問題時只重視數(shù)學的計算，缺少語言的描述不規(guī)范等.

25、例如4：暑假期間，小明和父母一起開車到距家200千米的景點旅游.出發(fā)前，汽車油箱內(nèi)儲油45升；當行駛150千米時，發(fā)現(xiàn)油箱剩余油量為30升.（1）已知油箱內(nèi)余油量y（升）是行駛路程x（千米）的一次函數(shù)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當油箱中余油量少于3升時，汽車將自動報警.如果往返途中不加油，他們能否在汽車報警前回到家？請說明理由.解：（1）設(shè)y=kx+b,由題意可知：當x=0時y=45;當x=150時y=30,則有，所以y=x+45.(2)由題意可知汽車往返的總路程是400千米，對于函數(shù)y=x+45當x=400時，有x=5，說明當他們回到家后汽車油箱內(nèi)的余油量為5升大于3升，故汽車不會自動報警

26、.說明：（1）這是一道語言描述的函數(shù)應(yīng)用題，其解題思路是：首先設(shè)出滿足題意的函數(shù)關(guān)系式，再從題中找出兩組滿足函數(shù)關(guān)系的對應(yīng)值代入所設(shè)求解得函數(shù)表達式；然后利用函數(shù)表達式的實際意義用簡單計算說明相關(guān)問題.（2）書寫時常見的問題是從語言描述中獲取信息闡述不明確，再就是利用函數(shù)關(guān)系式解決實際問題時表達不清楚等.第五解答題（幾何類利用解直角三角形解決實際問題） 課標指出： 能用銳角三角函數(shù)解直角三角形，能用相關(guān)知識解決一些簡單的實際問題.近兩年來，利用解直角三角形解決實際問題越來越得到重視.其解題的一般程序是：先從復雜的圖形中找到或建立直角三角形（12個），將實際問題數(shù)學化（實際數(shù)量值用數(shù)學符號表示）

27、，解直角三角形并把結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際需要解決的問題即可.ADECB第1題例如1：某賓館為慶祝開業(yè)，在樓前懸掛了許多宣傳條幅.如圖所示，一條幅從樓頂A處放下，在樓前點C處拉直固定.小明為了測量此條幅的長度，他先在樓前D處測量得樓頂A點的仰角為310，再沿DB方向前進16米到達E處，測得點A的仰角為450.已知點C到大廈的距離BC=7米，ABD=900.請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求條幅的長度（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：tan3100.60,sin3100.52,cos3100.86）.解：由題意可知：D=310,DE=16米，AEB=450,BC=7米，ABD=900.在RtABD中，tanD=,AB=BDtanD

28、=(DE+BE) tan3100.6(16+BE).在RtABE中，tanAEB =,AB=BEtanAEB =BEtan450=BE.由組合方程組并解得：AB=24.在RtABC中，由勾股定理得：AC=.即：條幅AC的長度為25米.說明：這是一道解直角三角形解決實際問題，其思路為：首先把題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)用數(shù)學符號表示出來，將實際問題數(shù)學化；觀察圖形含有三個直角三角形，其共用一條直角邊AB,可知AB是連接三個直角三角形的橋梁需求出AB；因為任何一個直角三角形都不具備兩個完整條件解直角三角形，故選擇兩個直角三角形分別利用三角函數(shù)列出兩個含AB的方程，并組合求AB；所求AC在直角三角形ABC中，最

29、后在RtABC中利用勾股定理求解即可.書寫時常見的問題有：沒有完成第一步把實際問題中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為符號表示，給下邊的運算帶來不方便；運用解直角三角形的依據(jù)計算時，規(guī)范的書寫應(yīng)包括四個主要步驟：闡明原因（定義、定理等符號表示）代數(shù)變形（通常分式化整式線段和差化）代入數(shù)據(jù)組合方程組求需要邊角或直接得出有關(guān)結(jié)論.學生的書寫不能較好運用連等造成條理不清，或缺少某個步驟或不能較好的口算、演算造成卷面計算太多等.例如2：EABCDF解：如右圖，由題設(shè)可知：C=780,BC=1m，AB=AC,CD:AC=3:7. 過點D作DEBC,垂足為E.過點A作AFBC,垂足為F.則有AFC=DEC=900,CF=0.5

30、m.在RtAFC中，tanC=,AF=CFtanC=0.5tan7800.54.70=2.35.又AFC=DEC=900, C=C, AFCDEC,即DE=2.351.01.故李師傅此時頭頂距天花板的高度為：2.90-1.78-1.01=0.11（m），因為0.050.1125個. “轉(zhuǎn)化”信息：利用（1）中結(jié)論，結(jié)合生活中數(shù)量關(guān)系：總費用=籃球費用+排球費用，設(shè)出某個球的購買數(shù)量代入簡化式子即可列出不等式組，解之即可.解：（1）設(shè)籃球和排球的單價分別為x元，y元，依題意得：.答：籃球和排球的單價分別為48元，32元.（2）設(shè)購買籃球的數(shù)量為z個，則購買排球的數(shù)量為（36-z）個，依題意得：.

31、因為籃球的數(shù)量只能為整數(shù)，故z可以取26，27，28.所以有三種購買方案，分別為購買籃球26個排球10個或購買籃球27個排球9個或購買籃球28個排球8個.例如3：某旅行社擬在暑假期間面向?qū)W生推出“林州紅旗渠一日游”活動，收費標準如下：人數(shù)m0m100100m200m200收費標準（元人）908575甲、乙兩所學校計劃組織本校學生自愿參加此項活動。已知甲校報名參加的學生人數(shù)多于100人，乙校報名參加的學生人數(shù)少于100人。經(jīng)核算，若兩校分別組團共需花費20800元，若兩校聯(lián)合組團只需花費18000元。（1）兩所學校報名參加旅游的學生人數(shù)之和超過200人嗎？為什么？（2）兩所學校報名參加旅游的學生

32、各有多少人？解題方法提示：（1）首先明確該問是判斷性問題，已知了聯(lián)合組團的總費用又知道了價格表，只需計算判斷結(jié)果是否為整數(shù)即可.因為1800075=240，180085211.8,人的個數(shù)只能是整數(shù)，所以說超過了200人.（2）“簡化”信息：甲校人數(shù)100，乙校人數(shù)100，有兩種情況需分類列式計算，再結(jié)合實際判斷正確結(jié)果).說明：利用方程思想、不等式思想以及函數(shù)思想解決實際問題，其關(guān)鍵在于準確找出題目中所包含的數(shù)量關(guān)系，如何尋找數(shù)量關(guān)系需要自我“鋪路架橋”.教材中多采用列表法、圖象法等，均有一定具限性或操作不易等特點，“簡化轉(zhuǎn)化法”利用文字、符號與字母表示比較方便.書寫中存在的問題有：設(shè)與答不

33、全即與題目中問題相比有出入或不帶單位等；列出數(shù)量關(guān)系式子后解題啰嗦（直接解得寫出結(jié)果即可）；忽視實際問題的生活意義，不能及時檢驗運算的正誤浪費時間；語言的描述不準確等.第七解答題（幾何類探究性問題或方法遷移性問題）這類題目重在考察學生合理選擇數(shù)學知識與有效利用基本技能所達到的綜合數(shù)學能力.探究性問題的特點是在一個基本的平面圖形內(nèi)存在動點或動線變化，進而研究在變化過程中圖形的特征變化及其對應(yīng)下某線段（或角）的大小變化情況（或反之）；方法遷移性問題的特點是在一個特殊的圖形背景下或簡單的條件背景下，通過直觀判斷或簡單證明計算得到相關(guān)結(jié)論，進而研究在圖形一般化或條件一般化下上述結(jié)論的狀況.解決探究性問

34、題的一般程序是：第一步動手操，即在條件要求下演示圖形變化，根據(jù)目標直觀判斷并確定動點動線的位置；第二步計算證明，即在第一步確定的圖形下完成相關(guān)任務(wù)；解決方法遷移性問題的一般程序是：第一步在特殊圖形或簡單條件下通過計算或證明得出結(jié)論，并在心中記住證明或計算的方法與途徑；第二步采取與第一步相同的方法與過程完成第二步的解答，但要注意相關(guān)條件的書寫變化，或?qū)⒌谝徊降臈l件特征在第二步中重現(xiàn)出現(xiàn)，利用第一步的結(jié)論過渡完成相關(guān)問題.例如1、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，E是BC的中點，AD=5，BC=12，CD=，C=45，點P是BC邊上一動點，設(shè)PB的長為x（1）當x的值為_時，以點P、A、D、E為

35、頂點的四邊形為直角梯形；（2）當x的值為_時，以點P、A、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形；（3）點P在BC邊上運動的過程中，以P、A、D、E為頂點的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由E_B_CMN_A_D解：（1）先解決有關(guān)梯形的問題，如圖可得CN=PN=AM=4,BM=3,MN=5.由圖可得：當點P運動到點M，N時，即x3或8時，四邊形PADE為直角梯形.（2）由原題圖可知：當APDE或DPAE時，即x=1或11時，四邊形PADE是平行四邊形._P_E_A_B_C_DN（3）四邊形PADE為菱形首先必須是平行四邊形，即在（2）的條件下討論：當x=1時，在直角三角形DEN中計算得DE=,即此時該

36、四邊形不為菱形.當x=11時，圖形略計算可得DP5AD，所以此時四邊形PADE為菱形.說明：本題的解題思路是先解決梯形的一般問題，即常用方法作出梯形的兩條高，求出相關(guān)線段的長度；然后在此基礎(chǔ)上考慮動點的位置，即直觀判斷點P在哪些位置時滿足目標條件并計算x的值；最后在證明菱形時要先考慮該四邊形必須是平行四邊形，即在（2）的基礎(chǔ)上分別畫圖并計算鄰邊是否相等即可.I常見思路上的問題有：一是不解決梯形基本問題無從下手或順序來回顛倒造成混亂；二是受圖形中線段DE的影響只考慮一種情況；三是計算DE和DP的長度時不能合理作出直角三角形等.常見的書寫的問題有：（1）（2）為填空題當有兩種可能結(jié)果時不用“或”，

37、第（3）問計算DE和DP的長度時書寫的過程不完整規(guī)范等.ABCEDF例如2、如圖，在RtABC中，B=900,BC=5,C=300.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動，設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t0）.過點D作DFBC于點F,連接DE、EF.(1)求證：AE=DF;(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.（3）當t為何值時，DEF為直角三角形？請說明理由.解：（1）設(shè)運動時間為t秒，由題意可知：AE=t,CD=2t

38、.在RtDFC中，因為C=300，所以有DF=CD=t,故有AE=DF.（2）在RtABC中，B=900,BC=5,C=300，且cosC=,AC=.由題意可得：AEDF且由（1）知AE=DF,故四邊形AEFD為平行四邊形.假設(shè)存在t值使得四邊形AEFD能夠成為菱形，則必有AD=DF.又AD=AC-CD=10t,DF=t,故10-t=t,解得：t=5.所以，當t=5秒時，四邊形AEFD是菱形.（3）在RtABC中，B=900,C=300，且由（2）知AC=10,則有AB=5.當EFD=900時，需DFEF,即點E運動到點B，t=5秒. 此時CD=10,即點D運動到A, 點D、E、F共線，DEF

39、不存在，故EFD不能為900；EBACDF當EDF=900時，需EDBC,如圖所示，有AEDABC,即,因為：AE=t, AD=10-2t,AB=5,AC=10,代入上式計算可得：t=2.5.當DEF=900時，需EDAC,如圖所示，可知AEDACB,即,因為：AE=t, AD=10-2t,AB=5,AC=10,代入上式計算可得：t=4.FABCED綜合可得：當t=2.5秒或t=4秒時，DEF為直角三角形說明：本題的特點是點以一定的速度運動，判斷并計算時間為多少時圖形形狀的特征變化.其解題思路是：根據(jù)目標要求，用時間t分別表示相關(guān)線段的長度，再結(jié)合圖形形狀的性質(zhì)和判定，通過列方程或方程組計算得

40、出相關(guān)t值即可.解題思路存在的問題有：圖形計算問題的兩種基本方法（解直角三角形法，相似三角形法）運用不順暢；主要在第（3）問中不能對圖形直觀判斷合情推理，缺乏分類討論，進而畫不出需要的圖形，造成思維不全面等.書寫存在的問題有：一是缺少全盤意識，不能把要用到的相關(guān)量先計算完成，而是在書寫過程中發(fā)現(xiàn)時不斷重復書寫；二是不能合理運用合情推理，搞不明白書寫過程中的核心步驟，進而造成面面俱到，費時費力等.例如3、類比轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學學習和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整.ABCDEGF圖1原題：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點E是BC邊的中點，點F是線段AE上一點，BF的

41、延長線交射線CD于點G，若的值.（1）嘗試探究：ABCDEGF圖2H在圖1中，過點E作EH/AB交BG于點H,則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是 ，CG與EH的數(shù)量關(guān)系是 ， .（2）類比延伸：ABCDEF圖3如圖2，在原題的條件下，若 （用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程.（3）拓展遷移：如圖3，梯形ABCD中，DC/AB,點E是BC的延長線上一點，AE和BD相交于點F.若 .（用含a,b的代數(shù)式表示）解：（1）AB=3EH,CG=2EH, .說明：作EH/AB后，圖形中存在“A”型圖和“8”型圖，故考慮證相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論.（2）在圖2中，過點E作EH/AB交BG于點H,則有

42、BAF=FEH,ABF=FHE.所以ABFEFH,所以即：AB=mEH.由平行四邊形ABCD可知：AB=CD,AB/CD即EH/CG,則BHE=BGC,BEH=BCG, 所以BEHBCG,所以，又點E是BC邊的中點，則BC=2BE,故有：CG=2EH.所以說明：與第（1）問相比可知：條件與圖形均相同，所求結(jié)論也相同，改變的只是一個數(shù)量關(guān)系即把中3改為m，也就是把特殊化為一般.解決這類問題的思路完成等同于特殊情況（1）的思路，其方法就是照搬特殊情況下的解題步驟過程，只是在代入數(shù)值計算時不同.這就是數(shù)學方法的類比遷移.ABCDEF圖3H思路上和書寫時容易出現(xiàn)的問題：一是特殊情況時只是填空過程省略，

43、該問寫過程時忽視第（1）問思路與方法，不能類比遷移方法造成思維不順暢（如：不加輔助線，找不到相似圖形等）；二是書寫時會忽視三角形相似的證明過程，條件排列不得當?shù)? （3）過點E作EHCD交BD的延長線于點H,可得：BCDBHE,所以=b,即有EH=.又EHCD/AB,所以有ABFEHF,所以,故說明：第三問與第（1）（2）相比，原始基本圖形由平行四邊形變?yōu)樘菪危ㄉ倭艘唤M平行線），條件與結(jié)論中的線段比不變（只是把中點條件一般化即線段比值），故所謂“拓展遷移”就是讓所有比值能出現(xiàn)在“A”字相似圖或“8”字相似圖中，利用相似轉(zhuǎn)化線段比即可.（一般情況下，操作步驟與特殊圖形與條件下相同，即過點E作CD

44、的平行線，與另一線段或其延長線相交就會出現(xiàn)相似圖形）. 第八解答題(綜合類函數(shù)圖象與平面圖形在直角坐標系下綜合問題)1、如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD三個頂點B(4,0),C(8,0),D(8,8).拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A、C兩點.（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；ABCDxyOPEFQG（2）動點P從點A出發(fā)，沿線段AB向終點B運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿線段CD向終點D運動，速度均為每秒1個單位長度，運動時間為t秒.過點P作PEAB,交AC于點E.過點E作EFAD于點F,交拋物線于點G.當t為何值時，線段EG最長？連接EQ,在點P、Q運動的過程中，判斷有幾個

45、時刻使得CEQ為等腰三角形？請直接寫出相應(yīng)t的值.解：（1）點A的坐標為（4，8），因為拋物線y=ax2+bx經(jīng)過A（4，8）、C（8，0）兩點，所以有，解得：，所以拋物線解析式為：. 說明：利用坐標的幾何意義可得點A的坐標；已知拋物線上兩點坐標代入拋物線解析式列出方程組求解即可.此問問題不大.（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,又A(4,8),C(8,0),則有，解得：，所以直線AC的解析式為：y=-2x+16.由題意可得：AB=8,當運動時間為t秒時，可得AP=t，則BP=8-t,則點P的坐標為(4,8-t).由PEAB,可知點E的縱坐標為8-t,又點E在直線y=-2x+16上，有8-

46、t=-2x+16,得x=4+,所以點E的坐標為（4+,8-t）. 又EFAD交拋物線于點G，可得點G的橫坐標為4+，又點G在拋物線上，有y=,則點G的坐標為（4+，）.所以EG=-(8-t)= ,即當t=4秒時，EG值最大，最大值為2.說明：此問的解題思路是：由時間速度得線段的長度，由線段的長度得相關(guān)點的坐標，由點在函數(shù)圖象上得坐標關(guān)系，最后利用坐標表示所求線段的長度進而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值.這是解決函數(shù)與圖形綜合問題的通用方法.ABCDxyOPEFQGH本問解題時常見的錯誤有：坐標轉(zhuǎn)化時不順暢（沒有按字母出現(xiàn)的次序進行或用字母表示坐標時運算錯誤等）；書寫時不流暢（不能合理運用合情推理，缺乏語

47、言表達意識用“”符號造成一些混亂等）.當t=或t=或t=時，EQC為等腰三角形.提示：延長PE交CD于點H,由題意可得：EHCD.由題設(shè)和問可知：EH=PH-PE=AD-PE=4-,QC=t,CH=BP=8-t,HQ=HC-QC=PB-QC=8-2t，則EQ2=EH2+HQ2=(4-)2+(8-2t)2=.EC2=EH2+CH2=(4-)2+(8-t)2=.(i)當EQ=QC時，有=t2,解得：t1=8（不合題意舍去），t2=;(ii)當EC=QC時，有=t2,解得：t1=（不合題意舍去），t2=;(iii)當EQ=EC時，有=，解得：t1=0（不合題意舍去），t2=.說明：此問的解題思路是：

48、先直觀判斷點在運動中目標圖形所有可能的情況，進而確定需要的線段長度；其次利用“時間速度線段長度（用t表示）圖形性質(zhì)轉(zhuǎn)化或線段和差計算需要線段長度（用t表示）結(jié)合分類討論列方程求t判斷t的實際意義取舍最后得出結(jié)論.本問存在的疑難問題是：一是觀察或操作能力較弱，不能合情分類；二是解方程時運算量較大，反映出運算意志與運算能力薄弱等.2、在平面直角坐標系中，已知拋物線經(jīng)過A，B，C三點（1）求拋物線的解析式；N（2）若點M為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，AMB的面積為S求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q

49、、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應(yīng)的點Q的坐標解：（1）略；（提示：設(shè)出拋物線解析式，代入點的坐標列出方程組即可）（2）由（1）知：2+x-4.過點M作MNx軸交于點N，因為A，B，所以O(shè)A=4,OB=4.設(shè)點M的坐標為（m，h）,又點M在第三象限，故 AN=4+m,ON=-m,MN=-h.又點M在拋物線上，h=2+m-4.則SAMN=ANMN=(4+m) (-h)=-h(4+m);SAOB=AOOB=44=8,S梯形MNOB=.即：S= SAMN+ S梯形MNOB- SAOB=-h(4+m)+ -8=-2h-2m-8 =-2(2+m-4)-2m-8=-m2-4m.故S=-m2-4m.所以S=-(m+2)2+4,即當m=-2時，S取最大值為4.說明：此問解題思路是：首先作垂直把目標三角形面積和差化，由已知點坐標得相應(yīng)線段長度，設(shè)出未知點坐標由坐標幾何意義得相應(yīng)線段長度，再由點在拋物線上得橫縱坐標關(guān)系，把線段長度代入圖形面積公式進而列出函數(shù)表達式化簡即可.解決問題存在的易難處：目標三角形的面積轉(zhuǎn)化思路不明，利用已知和未知點的坐標