一元二次方程典型應(yīng)用題整理

1、一元二次方程典型應(yīng)用題,將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)建模能力的過(guò)程,復(fù)習(xí)問(wèn)題，提出新知,1,列方程解應(yīng)用題的基本步驟怎樣,1,審,題,透徹理解題意，明確哪些是已知數(shù)，哪些是未知數(shù)，以,及它們之間的關(guān)系,審一步列一步,2,設(shè),未知數(shù),根據(jù)題意，可直接設(shè)未知數(shù),求誰(shuí)設(shè)誰(shuí),，也可,間,接設(shè)未知數(shù),未知數(shù)必須寫(xiě)明,單位,語(yǔ)言敘述要完整,3,列,代數(shù)式和方程,根據(jù)題中給出的條件，用含有所設(shè)未知數(shù)的,代數(shù)式表示其他未知數(shù)，利用,等量關(guān)系,列出方程或方程組，一般列,方程的個(gè)數(shù)與所設(shè)未知數(shù)的個(gè)數(shù)相同,4,解,方程或方程組應(yīng)注意解題技巧,準(zhǔn)確地求出方程或方程組的,解,5,檢,驗(yàn),答案,解應(yīng)用題要檢驗(yàn)有無(wú)增根，

2、又要檢驗(yàn)是否符合題意,以及實(shí)際生活中的常識(shí)，最后做出符合題目要求的答案,注意,1,在這些步驟中,審題是解,題的基礎(chǔ)，列方程是解題的中心，發(fā)現(xiàn),等量關(guān)系,是列方程的關(guān)鍵,2,在列方程時(shí)，要注意列,出的方程必須滿足以下兩個(gè)條件,a,方程兩邊表示同類量數(shù)值相等,b,方程兩邊的同類量的,單位一樣,一元二次方程常見(jiàn)應(yīng)用題有哪些型,1,銷售增長(zhǎng)率,3,儲(chǔ)蓄利率問(wèn)題,5,數(shù)字與方程,7,趣味問(wèn)題,2,銷售定價(jià)問(wèn)題,4,幾何問(wèn)題,6,年齡問(wèn)題,8,情景對(duì)話,解一元二次方程有哪些方法,直接開(kāi)平方法,配方法,公式法,因式分解法,銷售增長(zhǎng)率問(wèn)題,恒利商廈九月份的銷售額為,200,萬(wàn)元，十,月份的銷售額下降了,20,

3、商廈從十一月,份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷售額穩(wěn)步,上升，十二月份的銷售額達(dá)到了,193.6,萬(wàn)元,求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率,分析,本題設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是,x,十月份的銷售額為,200,1-20,萬(wàn)元，十一月份的銷售額為,200,1-20,1+x,萬(wàn)元，十二月份在十一,月份的基礎(chǔ)上增加,x,變?yōu)?200,1-20,1+x,1+x,即,200,1-20,萬(wàn)元，進(jìn)而可列出方程，求出答案,2,解答,解：設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是,x,1,x,十一月份的銷售額達(dá)到,200,1-20,200,1-20,x=200,1-20,1+x,十二月份的銷售額達(dá)到,200,1-20,1+x,200,1-20,1+

4、x,x=200,1-20,1+x,1+x,200,1-20,1+x,2,200,1-20,1+x,2=193.6,即,1+x,2=1.21,所以,1+x,1.1,所以,x=-1,1.1,即,x1=0.1,x2=-2.1,舍去,答：這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是,10,點(diǎn)評(píng),此類題目旨在考查增長(zhǎng)率，要,注意增長(zhǎng)的基礎(chǔ),另外還要,注意解的,合理性，從而確定取舍,銷售定價(jià)問(wèn)題,家樂(lè)福超市如果將進(jìn)貨價(jià)為,40,元的商品按,50,元銷售，就,能賣(mài)出,500,個(gè)，但如果這種商品每,漲價(jià),1,元，其銷售量就,減少,10,個(gè)，如果你是超市的經(jīng)理，為了賺得,8 000,元的利,潤(rùn)，你認(rèn)為售價(jià)應(yīng)定為多少（售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)

5、的,160,這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè),解答這種商品銷售問(wèn)題時(shí)，需要明確：總利潤(rùn),單利潤(rùn)售出商品的,總量,解：設(shè)此商品的單價(jià)為,50+x,元，則每個(gè)商品的利潤(rùn)是,50+x) -40,元,銷售數(shù)量為,500-l0 x,個(gè),由題意，得,50+x)-40(500-l0 x)=8 000,整理得,x2 -40 x,300=0,解得,x1=10 ,x2=30,商品售價(jià)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的,160,取,x=10,這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨,500 -l0 x=400,個(gè),故售價(jià)定為,60,元，這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨,400,個(gè),銷售定價(jià)問(wèn)題,某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可,售出,20,件，每件盈利,40,元，為了擴(kuò)大銷售,增加盈利，盡快減少庫(kù)存

6、，商場(chǎng)決定采取,適當(dāng)?shù)?降價(jià),措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件,襯衫每降價(jià)一元，商場(chǎng)平均每天可多售出,2,件，若商場(chǎng)平均每天要盈利,1200,元，每件,襯衫應(yīng)定價(jià)多少元,分析,設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià),x,元，則每件盈利,40-x,元，每天可以售出,20+2x,所以此時(shí)商場(chǎng)平均每天要盈利,40-x,20+2x,元，根據(jù)商場(chǎng)平均每天要,盈利,1200,元，為等量關(guān)系列出方程求解即可,解：設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià),x,元，則每件盈利,40-x,元，每天可以售出,20+2x,由題意，得,40-x,20+2x,1200,即：,x-10,x-20,0,解，得,x1=10,x2=20,為了擴(kuò)大銷售量，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，所

7、以,x,的值應(yīng)為,20,所以，若商場(chǎng)平均每天要盈利,12O0,元，每件襯衫應(yīng)降價(jià),20,元,點(diǎn)評(píng),本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于理解清楚題意找出等,量關(guān)系列出方程求解,儲(chǔ)蓄利率問(wèn)題,王紅梅同學(xué)將,1000,元壓歲錢(qián)第一次按一,年定期利率存入“少兒銀行”，到期后將,本金和利息取出，并將其中的,500,元捐給,希望工程”，剩余的又全部按一年定期,存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次,存款時(shí)年利率的,90,這樣到期后，可得,本金和利息共,530,元，求第一次存款時(shí)的年,利率,假設(shè)不計(jì)利息稅,解,設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為,x,則根據(jù)題意,得,1000(1+x,500(1+0.9x,530,2

8、,整理，得,90 +145x,3,0,x,解這個(gè)方程，得,x10.0204,2.04,x2,1.63,由于存款利率不能為負(fù)數(shù)，所以將,x2,1.63,舍去,答,第一次存款的年利率約是,2.04,幾何問(wèn)題,將一塊長(zhǎng),18,米，寬,15,米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰,影部分）所占的面積為原來(lái)荒地面積的三分之二,精確,到,0.1m,1,設(shè)計(jì)方案,1,如圖,2,花園中修兩條互相垂直且寬度,相等的小路,2,設(shè)計(jì)方案,2,如圖,3,花園中每個(gè)角的扇形都相同,以上兩種方案是否都能符合條件,若能，請(qǐng)計(jì)算出圖,2,中的,小路的寬和圖,3,中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說(shuō)明,理由,圖,2,圖,3,分析,1,設(shè)

9、出小路的寬度為,x,米，表示出兩條小路的面積，而小路的,面積為原來(lái)荒地面積的三分之一，列出方程解答即可,2,設(shè)出扇形的半徑為,y,米，則四個(gè)扇形的面積和恰好等于一個(gè)圓的面,積，而四個(gè)扇形的面積和為原來(lái)荒地面積的三分之一，列出方程解答即,可,解答,解：,1,設(shè)小路的寬度為,x,米，根據(jù)題意列方程得,18x+15x-x2=18,15,1/3,解得,x1=3,x2=30,不合題意，舍去,答：圖中小路的寬為,3,米,2,設(shè)扇形的半徑為,y,米，根據(jù)題意列方程得,y2=18,15,1/3,解得,y15.4,y2,5.4,不合題意，舍去,答：扇形的半徑約為,5.4,米,點(diǎn)評(píng),此題主要考查長(zhǎng)方形和扇形面積的

10、計(jì)算方法，解答時(shí)注意題目中,蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系,幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題,如圖,4,所示，在,ABC,中,C,90,AC,6cm,BC,8cm,點(diǎn),P,從點(diǎn),A,出發(fā)沿邊,AC,向點(diǎn),C,以,1cm/s,的速度移動(dòng),點(diǎn),Q,從,C,點(diǎn)出發(fā)沿,CB,邊向點(diǎn),B,以,2cm/s,的速度移動(dòng),1,如果,P,Q,同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使,PCQ,的面積,為,8,平方厘米,2,點(diǎn),P,Q,在移動(dòng)過(guò)程中，是否存在某一時(shí)刻，使得,PCQ,的面積等于,ABC,的面積的一半,若存在，求出運(yùn),動(dòng)的時(shí)間；若不存在，說(shuō)明理由,B,Q,A,P,C,圖,4,分析,1,設(shè)果,P,Q,同時(shí)出發(fā),x,秒鐘后,AP=xcm,PC,6-x,cm,

11、CQ=2xcm,此,時(shí),PCQ,的面積為,12,2x,6-x,，令該式,8,由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意,的值,2,ABC,的面積的一半等于,12,12,AC,BC=12cm2,令,12,2x,6-x,12,判,斷該方程是否有解，若有解則存在，否則不存在,解答,由題意得,解：,AP=xcm,1,設(shè),xs,后，可使,PC,6-x,PCQ,cm,的面積為,CQ=2xcm,8cm2,則,1/2?(6,x)?2x=8,整理，得,x2-6x+8=0,解得,x1=2,x2=4,所以,P,Q,同時(shí)出發(fā),2s,或,4s,后可使,PCQ,的面積為,8cm2,2,由題意得,S,即,ABC=1/2,12,2x,

12、AC?BC=1/2,6-x,1/2,24,6,8=24,x2-6x+12=0,62-4,12=-12,0,該方程無(wú)解,所以，不存在使得,PCQ,的面積等于,ABC,的面積的一半的時(shí)刻,點(diǎn)評(píng),本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于找出,等量關(guān)系,列出方程求解,數(shù)字與方程,設(shè)誰(shuí),1,一個(gè)兩位數(shù),它的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小,3,而它的個(gè),位數(shù)字的平方恰好等于這個(gè)兩位數(shù),求這個(gè)兩位數(shù),2,有一個(gè)兩位數(shù),它的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和是,5,把這,個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字互換后得到另一個(gè)兩位,數(shù),兩個(gè)兩位數(shù),的積為,736,求原來(lái)的兩位數(shù),年齡問(wèn)題,讀詩(shī)詞解題：（通過(guò)列方程式，算出周,瑜去世時(shí)的年齡,大

13、江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物,而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù),十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符,哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜,解：設(shè)十位是,X,則個(gè)位數(shù)是,X+3,兩位數(shù)就,表示成,10X+(X+3)=11X+3,所以用“各位平方與壽符”做等量，列方程,11X+3=(X+3)2 X2-5X+6=0,X-2)(X-3)=0,X1=2,或,X2=3,X1+3=5 X2+3=6,可得兩組解,25,或,36,因?yàn)橐阎岸⒅?督東吳”（而立之年為,30,歲,所以一定比,30,大,25,就要舍去,可得周瑜去世的年齡為,36,歲,路程問(wèn)題,1,在,800,米圓形跑道上有兩人練中長(zhǎng)跑，甲,每分鐘跑,320

14、,米，乙每分鐘跑,280,米,兩,人同時(shí)同地反向起跑，幾分鐘后第一次相,遇,兩人同時(shí)同地同向起跑，幾分鐘后,第一次相遇,工程問(wèn)題,在西部大開(kāi)發(fā)中，基礎(chǔ)建設(shè)優(yōu)先發(fā)展，甲,乙兩隊(duì)共同承包了一段長(zhǎng),6500,米的高速公,路工程，兩隊(duì)分別從兩端施工相向前進(jìn),甲隊(duì)平均每天可完成,480,米，乙隊(duì)平均每天,比甲隊(duì)多完成,220,米，乙隊(duì)比甲隊(duì)晚一天開(kāi),工，乙隊(duì)開(kāi)工幾天后兩隊(duì)完成全部任務(wù),勞資調(diào)配問(wèn)題,趣味問(wèn)題,一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么,也拿不進(jìn)去，量竹竿長(zhǎng)比城門(mén)寬,4,米，旁邊,一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒(méi)看城門(mén)高嗎，豎著,拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門(mén)高,2,米,二人沒(méi)辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教,

15、他們二人沿著門(mén)的對(duì)角斜著拿，二人一試,不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎,解：設(shè),竹竿,的長(zhǎng)度為,X,那么,X2,(X-4)2,(X,2)2,X2,8X+16+X2,4X+4=2X2,12X+20,平移過(guò)來(lái),X2,12X+20=0,X-10)x,X-2,0,X,取,10,或,2,由于,2,不符合標(biāo)準(zhǔn)，故舍去，得,X=10,米,答：竹竿長(zhǎng),10,米,情景對(duì)話,春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出,了如圖,1,對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn),某單位組織員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行,社旅游費(fèi)用,27000,元,請(qǐng)問(wèn)該單位這次共有多少員工去天水,灣風(fēng)景區(qū)旅游,如,果,人,數(shù),不,超,過(guò),2,5,人,人,均,旅,游,費(fèi)用為,1000,元,如果人數(shù)超過(guò),25,人，每增,加,1,人，人均旅游費(fèi)用降,低,20,元，但人均旅游費(fèi)用,不得低于,700,元,圖,1,分析,設(shè)該單位這次共有,x,名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游依,題意列方程求解,解答,解：設(shè)該單