平面向量知識點

1、平面向量1、向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。（2） 零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu（3） 單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是 UJUAB ）；|AB|（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5） 平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量 a、b叫做平行向量，記作：a / b ,規(guī)定零向量和任何向量平行 。提醒:相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等； 兩個向量平行與與兩條，但兩條直線平行不包含兩條uuu uuurB、C共

2、線 AB AC共線;a的相反向量是一a 。直線平行是不同的兩個概念： 兩個向量平行包含兩個向量共線 直線重合； 平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?）；三點 A（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。如下列命題:（1）若 auuur r b，則a uuir（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同血點相同。（3）若ABr DC，則學(xué)CD是平行四邊形。（*若ABCD是平行四邊形，則AB DC。（ 5）若a b,b c，則a c。若a/b,b/c,貝U a/c。其中正確的是 (答: (4) ( 5)2、向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點在前，終點在后；

3、（2）符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a , b , c等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量 i , j為.r r r基底，則平面內(nèi)的任一向量 a可表示為a xi y j x, y，稱x, y為向量a的坐標(biāo)，a=x, y叫做向量a的坐標(biāo)表示。如果向量的起點在原點，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點坐 標(biāo)相同。3. 平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面 內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a=心+ 2e2。如(1)若 a (1,1)b(1, 1),c( 1,2)，則 c(答: 1a 知)；2 2（2）下

4、列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是irur一A.e（0,0）, e2（1,2）ITuuC.G（3,5）,e2（6,10）uur uuu（3）已知AD, BE分別是（答：2 a3ITHRB.0(1,2),e2ituuD.(2,3),e2量a, b表示為(5,7)13ABC的邊BC,AC上的中線 4r4b )；3(答: B )；HILT，且ADr uuu r uuua,BE b ,則BC可用向r AB s AC，則 r s*a，它的長度和方向規(guī)（4）已知 ABC中，點D在BC邊上，且CD 2 DB , CD 的值是（答：0）4、實數(shù)與向量的積：實數(shù) 與向量a的積是一個向量，記作定如下：1 a

5、 a方向與a的方向相反，當(dāng)0時， a的方向與a的方向相同，當(dāng)r r-=0時，a 0 ,注意： a半0。5、平面向量的數(shù)量積：_ uun r uuu r（1）兩個向量的夾角：對于非零向量a，b，作OA a,OB b， AOB0稱為向量a , b的夾角，當(dāng) =0時，a , b同向，當(dāng) = 時，a , b反向,當(dāng)=時，a , b垂直。2（2） 平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量 a , b，它們的夾角為，我們把數(shù)量r r_. p _ r r| a |b| cos叫做a與b的數(shù)量積，記作：a ? b，即a ? b = a b cos 。規(guī)定：零向量與 任一向量的數(shù)量積是 0,注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再

6、是一個向量如（a） ABC 中，| AB | 3 , | AC | 4 , | BC | 5，則 AB BC （答:9 ）；r1 r1 rr r ur r r u（b）已知 a（1,）,b（0, ）,cakb,da b , c與 d 的夾角為一，則 k 等于_224（答: 1）；r r r r r r（C）已知a2, b5,ag）3，貝a b 等于（答：岳）；（d）已知a,b是兩個非零向量，且 a b a b，則；與；b的夾角為 （答:30）（3） b在a上的投影 為|b |cos ，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。如已知| a |123 Ib| 5，且 ab 12 則向量a在向量b上的投影為（

7、答：E ）（4） a ?b的幾何意義：數(shù)量積a ?b等于a的模I a |與b在a上的投影的積。 a b a ?b（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量 a , b，其夾角為 ，則:當(dāng)a , b同向時,rrab2，特別地，ar2raja. a2 ; 當(dāng) a 與 b 反rrab當(dāng)向時，a ? b =當(dāng) 為銳角時，a ? b 0,且a、b不同向，a b 0是 為銳角的必要非充分條件； 要非充分條件；為鈍角時，a ? b v 0，且a、b不反向，a b 0是 為鈍角的必非零向量a,b夾角的計算公式：cosa?b礪: |a?b|a|b|。如（1）已知a(答:(,2-或3(3 ,2)，如果11)；a與b的

8、夾角為銳角，貝U的取值范圍（2）已知OFQ的面積為S ,且 OF FQ1 J 31，若 S ，則OF , FQ夾角2 20 ；的取值范圍是 （答：（一，一）;4 3已知 a (cosx,sin x), b (cosy,sin y),a kb,其中k 0，用k表示a b ；求ar r k2 1角的大小(答：a b -14ka與b之間有關(guān)系式b的最小值，并求此時a與b的夾1(k 0);最小值為260)6、向量的運算：(1)幾何運算： 向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但 向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”r rr r uuu uuu uuur做a與b的和，即a b AB BC AC

9、 ； uuu 向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)AB“平行四邊形法則”只適用于不共線的b，那么向量uuu r uuu :設(shè) AB a, BCuuirAC叫r uuur r r ra, AC b,那么 a buuu umr AB ACuuu CA ,由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。uuu uurBC CD uuu BD) uuu r uuur AB a, BCuuu女口 ( a )化簡：ABuuu uuiruur(AB CD) (AC(b) 若正方形ABCD的邊長為(答: 2.2 );(c) 若O是VABC所在平面內(nèi)一點,且滿足；ir (答：AD r uur

10、 b, ACuuu uuir uuir AB AD DC uuu r : CB : 0 )；uuuOBuuurOCuuu uur OB OC，則 VABC的形狀為 (答：直角三角形)(d )若D為 ABC的邊 uuCP 0，設(shè)闔|PD|若點O是厶ABC的外心，且 OA OB CO 0,貝y ABC的內(nèi)角C為 (答:uur uuu PA BP(e)120);(2)坐標(biāo)運算：設(shè)向量的加減法運算 uurABuuuC(7,10)，若 AP1(答:-)；(2)2BC的中點，貝U的值為ABC所在平面內(nèi)有uuu uuuLUT(答:2);點P，滿足a (X1,yJ,b (X2,y2)，則：r r:a b(X1

11、 X2, y1y?)。如(1)已知點 A(2,3), B(5,4),uurAC( R),則當(dāng) =時，點P在第一、三象限的角平分線上1 uuu已知 A(2,3), B(1,4),且 AB (sinx,cosy) , x, y (,)，則 x y _2 2 2uuuu(3,4), F2(2, 5),F3(3,1)，則uu(答：一或 一)；(3)已知作用在點 A(1,1)的三個力F1 6 2ur uu uu uu合力FF1 F2 F3的終點坐標(biāo)是 實數(shù)與向量的積：ax1,y1urn 若 A(知 yj, B(X2,y2),則 AB(答: (9,1)Xi,yi。向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)。uu

12、r uuuAD 3AB，貝V C、D的坐標(biāo)分別是X2即一個向量的坐標(biāo)等于表示這個uuu如設(shè) A(2,3), B( 1,5)，且 AC1 uuu AB ,3平面向量數(shù)量積：a ?b xm y1y2。11(答:(1-),( 7,9);如已知向量 a =( sinx, cosx) , b =( sinx, sinx) , c =( 1, 0)。3- 亠3亠1求向量a、c的夾角；(2)若x ,，函數(shù)f(x) a b的最大值為一，求 的值842(答：(1)150o;(2)-或1);2 向量的模：|a| X2 y , a |a|2 x2 y。r rin r_如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為 60，那

13、么|a 3b | = (答：J13 )；I22 兩點間的距離：若A為， ,B冷，y2 ，則| AB | : x2捲y2 y 。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系 xOy中， xOy 60，平面上任一點 P關(guān)于ujuitur u ur斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若op xq ye，其中，色分/y別為與x軸、y軸同方向的單位向量，貝U P點斜坐標(biāo)為(x,y)。(1)若點P的斜坐標(biāo)為(2, 2),求P到O的距離丨PO | ； (2)求以ZO為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 xOy中的方程。(答：(1) 2；.:(2) x y xy 10)；11)8、向量平行(共線)的充要條件：a / b如(1)若向量 a (x

14、,1),b(4, x)，當(dāng)(2)已知 a (1,1),b (4,x) , u aiuuuun(3)設(shè) PA (k,12),PBuuu(4,5), PC2 2a b (a b) (|a|b|)xm y = 0。x =時a與b共線且方向相同(答：2)；2b , v 2a b，且 u v ,貝U x=(答：4)；(10,k)，貝U k=時，A,B,C 共線(答：一2 或9、向量垂直的充要條件uur uuurAC地uur)(irauACuuuABAB:a b a b 0 |a b| |a b|x1x2 y1y2 0 特別uuuAC、-aror)。ACrrrr r r r r7、向量的運算律：(1)交換

15、律:aa ,aa, a ?b b ?a；r rrrrr rrr rr r結(jié)合律：a bcabc,ab ic ab c ,rrr rrra ?ba?ba?b；rrrrrrrrr r r r r r(3)分配律：aaa,aba b, ab ?c a?c b?c。如下列命題中：a(bc)a ba c:a (b c) (ab) c ；(a b)2 |a|22|a|b|b|2:若ab 0 ,則 a0 或 b 0 ；r rr r r rrra2 r 2a b右a b c b,貝U ac ；i aT2-r ；11r r 2 r2 r2rr 2T2r rr 2(a b) a b ；(ab)2a 2a bb 。

16、其中正確的是(答：)提醒：(1)向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個向量等式， 可以移項,兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一個向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律 ，即a(b?c) (a?b)c，為什么？如uuuuuuUUU UUU已知 OA ( 1,2),OB(3,m)，若 OA OB，則(答:(2)標(biāo)是以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形 (答：(1,3)或(3, 1);(3)已知n (a,b),向量nOAB , B 90m的坐標(biāo)是?);2，則點B的坐(答：(b,

17、a)或(b,a)10.線段的定比分點：(1) 定比分點的概念uuu數(shù)，使PP以定比為(2)點在線段uuurPP,，則 的定比分點； 的符號與分點、P2的任意一點，若存在一個實uuuu:設(shè)點P是直線P. P2上異于P.uuuu叫做點P分有向線段PP2所成的比，P點叫做有向線段 PP2的Pt p2的延長線上時UJUU若點P分有向線段PP2所成的比為P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點在線段P,p2上時Pt的延長線上時LULUF2P所成的比為-0;當(dāng) P1 0 ；3，則A分麗所成的比為4:設(shè) P(X1,yJ、P2(x2,y2) , P(x, y)分有向線段 RP?所成(答:uuuu，特別地，當(dāng)=1時，就得到線

18、段P, P2的中點公式x22y1 y2y 丁。在使用定比分點的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確(x,y),(X1,yj、(X2,y2)的意義,如(1)若 M (-3，-2)，N(6，-1)，且 MP13mn，則點p的坐標(biāo)為(答:(6, 7);ULLUI1(2)已知A(a,0), B(3,2 a)，直線y ax與線段AB交于M，且AM2uur2MB等于2或一4)11.平移公式：如果點P(x, y)按向量a h, k平移至P(x, y )，貝U xy曲線a h, k平移得曲線f(x h, y k) 0f (x, y) 0按向量注意：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可

19、別忘了?。r如( 1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，則按向量a把點(7,2)平移到點 (一8,3);(答:即分別為分點，起點，終點的坐標(biāo)。在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點，分點 和終點，并根據(jù)這些點確定對應(yīng)的定比。(2)函數(shù)y sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是 y cos2x 1,則a =(答：(一,1)412、向量中一些常用的結(jié)論 ：(1) 一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；(2) |：| |b| I： b| |b|,rrr rrr r rrrr*特別地，當(dāng) a b 同向或有 0 |a b | |a | b| |a| |b| | a b| ；r rrrr rr r r rr當(dāng) ab反向或有 0|ab| |a|b|a|b| |ab| ；當(dāng)ab不共線