現(xiàn)代控制理論作業(yè)題答案

1、第九章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合9-1設系統(tǒng)的微分方程為x 3x 2x u設狀態(tài)變量x1 x， x2X，試列寫動態(tài)方程；設狀態(tài)變換X1X1 X2，X2X12X2，試確定變換矩陣T及變換后的動態(tài)方程。解：X10 1X10X1u，y 10 ；X223 X21X2X1TX1，1 T1；T12 1；A T1AT，B T 1B，CX2X2121 1得,T1 1X110X11y 1 1X1u，。1 2X201 X21X2其中u為輸入量，x為輸出量。CT ；9-2設系統(tǒng)的微分方程為y 6y 11y其中u、y分別系統(tǒng)為輸入、輸出量。試列寫可控標準型6y 6u（即A為友矩陣）及可觀標準型（即A為友矩陣轉(zhuǎn)置）狀

2、態(tài)空間表達式，并畫出狀態(tài)變量圖。解：可控標準型和可觀標準型狀態(tài)空間表達式依次為,1111y 6 0可控標準型和可觀標準型的狀態(tài)變量圖依次為,u9-3已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，其狀態(tài)變量為x1、x2、x3。試求動態(tài)方程，并畫出狀態(tài)變量圖。解：由圖中信號關系得,X1X3，X22x1 3x2 2u， x32x2 3x3， y x1。動態(tài)方程為0010x203x 2 u， y 100 x ；0210狀態(tài)變量圖為y9-4已知雙輸入雙-輸出系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程x1 x2 U|yi xi X2x2 x3 2u1 u2,y2 2x1 x2 x3 x36x1 11x2 6X3 u2寫出其向量-矩陣形式并畫出狀態(tài)

3、變量圖。01010aan解：狀態(tài)方程 x001 x21 u，y1 1 0x ；2 11611601狀態(tài)變量圖為9-5已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)s2 6s 8s2 4s 3試求出可控標準型（A為友矩陣）、可觀標準型（A為友矩陣轉(zhuǎn)置）、對角型（A為對角陣）動態(tài)方程。解:2s 51.50.5G(s)21s 4s 3s1s 30 100xxux341；1y 5 2 x uy 09-6已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G(s)試求約當型（A為約當陣）動態(tài)方程。解:G(s)555；xs 2 (s 1)(s八21)9-7已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為x初始條件為x1（0） 1，x2（0） 0。試求系;可控標準型、可觀標準型和對角型依

4、次為35101.5xuxxu42 ；030.5。1 xuy1 1x u5(s1)2(s 2)，2005011 x5 u，y 110 x。00151 01xu，1 11F的響應。解法1:1 oo teALteteXAL/Vo te o teALte怕te7 teALe t XL eALte怕1ALeAL2e2G 1tete1 2ss9-8已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣試求該系統(tǒng)的狀態(tài)陣A。3et2t2e2e t2t2e3et2t3e2et2t3e(t)不滿足解：A(t)(注：原題給出的(0) A 及(t) A (t)(t)A。)010x230 x113試求傳遞函數(shù)G(s)。解：G(s) C(s| A)

5、1B，s1010G(s) 0 0 1 2 s 3011 1s 32G(s)9-9已知系統(tǒng)動態(tài)方程01 u， y 0 0 1 x，22 s9s 3000 0 12s6s2 3s01 ；s3 7s 6s5s 1s 3s2 22s2 7s 3s3 7s 6。01x00611s110解: (sI A) 10s1611s69-10試求所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。011 x 2602s1s3 6s2 11s 66s 11 s 6126 s 6s s6s 11s 6 s2s2 6s 11s 61101110G(s) -2-6s2 6ss21 ；s 6s11s6 21126s11s 6s011s2 4s 29s2

6、 4s5G(s)3 2。s6s11s64s2 284s 49-11已知差分方程y(k 2) 3y(k 1)2y(k) 2u(k 1) 3u(k),試列寫可控標準型(A為友矩陣)離散動態(tài)方程，并求出u(k) 1時的系統(tǒng)響應。給定y(0) 0,y(1) 1。解：系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為2z 3G(Z)孑P，U ；x(k 1)13X(k)01 U(k)，y(k) 3 2X(k)。y(1)z 3y(0)2z33z2(z1)(z1)(z 2)“、5(1)k?k 1y(k)2。32Y(z) G(z)U(z)y(0)z5zz2z6(z 1)2(z 1)3(z 2)9-12已知連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程為設采樣周期T 1

7、s，解：設 u(t) u(k)，0 2試求離散化動態(tài)方程。(k 1)T ；kT t1(si A) 11/s(T)s 20.5(e22e21/s(s1/(s2)2)(t)10.5(e02t1)1)T(Tt)dt0.25(e20.5(e22t e3)1)x(k 1)05(e21) X(k)e0.25(e20.5(e23)1)u(k)，y(k)x(k)9-13判斷下列系統(tǒng)的狀態(tài)可控性:22101100x020x0 u ；x010x1u ；14010110110004001x010 x01u -x040x2 u ；0101000111100011000100101 1 0xxu；xx0010100 1

8、 00002100 0 2012解：U000， rankU2 n ；狀態(tài)不完全可控；101012U111，rankU2 n ；狀態(tài)不完全可控；0120001U10101， rankU1 3 ；狀態(tài)完全可控；10111416U2832， rankU 2n；狀態(tài)不完全可控；11101213 21123U11213，rankU3n；狀態(tài)不完全可控；11111232220013101213 21U123，rankU4；狀態(tài)完全可控；111123222100ab9-14已知 adbc，試計算？cd解：矩陣 A的特征方程為(s)s2 (a d )s0，據(jù)凱萊哈密爾定理得知：0u。112 k 1A2 (a

9、d) A 0， Ak 1 (akd)Ak；A100 (a d)99 A；100ab99 ab(ad)99。cdcd9-15 設系統(tǒng)狀態(tài)方程為011xxu1ab且狀態(tài)完全可控。試求 a、b 。解：u1 b , detu ab 1 b20,只需 a b -。b ab 1b9-16設系統(tǒng)傳遞函數(shù)為G（S） s3 7s2 14s 8，a取何值，系統(tǒng)狀態(tài)完全可控。在可觀標準型實現(xiàn)中且狀態(tài)完全可控。試求 a。 解：可控標準型實現(xiàn)的系統(tǒng)，無論0 08 ax 1 014 x 1 u， y 0 0 1 x ； U 1 a 14017001a 7detU3 a7a214a8 0；只需a1、a2且a4。注：由G(s

10、)分子和分母的多項式互質(zhì)條件,同樣得到3 a7a2 14a 8 0。9-17判斷下列系統(tǒng)的輸出可控性：a00000b000xxu，y1 000 x。00c01000d10100x001x 0 u ：，y100 x；61161解：輸出可控性判別矩陣SoCBCABCAn1B CBABAn 1B CU。00000 0 0 0U123， So 000 0， rankS0 q，系統(tǒng)的輸出不可控。c cc1d d2d3001U010，So 0 0 1，rankS。 1 q，系統(tǒng)的輸出可控；1009-18判斷下列系統(tǒng)的可觀測性:1222200x011x0 u，y1 10x ；x020 x， y 111 x

11、；1011031110021001001000xx，yx ；x020 x， y 011 x。002100100030 0 0 2解：應用可觀測性判別矩陣。1 10V131，rankV 3 ；系統(tǒng)完全可觀測；2521 1 1V251，rankV 3 ；系統(tǒng)完全可觀測；4 13 11 0000 010V21 10，rankV 4 ； 0系統(tǒng)完全可觀測；0 0210 1 1V0 23rankV 2 n ；系統(tǒng)不完全可觀測;0 499-19試確定使下列系統(tǒng)可觀測的a、b :解：v1 b a 0，只需 a b 1。1 1，detVa 1 b解：(si A)1(s 1)(s 4)(s 1)(s0121U0

12、020 ， rankU 31010傳遞函數(shù)矩陣為G(s)該實現(xiàn)是完全可控且完全可觀測的。2s44) s 40；100001n ； V，rankV 3 n ；132001s 49-20已知系統(tǒng)各矩陣為13201A 042，B00，C001101 0 00 0 1試用傳遞函數(shù)矩陣判斷系統(tǒng)的可控性、可觀測性。19-21將下列狀態(tài)方程化為可控標準型1 211u。x34x解:x Tx； A TAT 1，BTB ；251116 1111det(sl A) s 5s 6，1，U1；T 1 Uc .，T26072 18010xxu。1051注：若不要求計算變換矩陣，可根據(jù)特征多項式直接列寫可控標準型。G(s)

13、s 1s2 3s 2試寫出系統(tǒng)可控不可觀測、可觀測不可控、不可控不可觀測的動態(tài)方程。解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子和分母多項式中有公因式(s完全可觀測的。可控不可觀測動態(tài)方程x01x0u，231可觀測不可控動態(tài)方程x02x1 u131不可控不可觀測動態(tài)方程x20x1u，0109-23設被控系統(tǒng)狀態(tài)方程為1），任何2維動態(tài)方程不可能是既完全可控又y11 x ；y01 x ；y1Ox。0100x 011 x0 u，011010可否用狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點？求狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)極點位于 10, 1 j . 3，并畫出狀態(tài)變量圖。解：U001001090，rankU3，系統(tǒng)完全可控，可用狀態(tài)反饋任意配置閉

14、環(huán)極點。10100990期望的特征多項式為待定參數(shù)特征多項式為k(s) (s 10)(s2 2s 4) s3 12s2 24s 40 ；(s) s3 (10k3 9)s2 (10k2 10k3 9)s 10k1 ；解得,9-22已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為9-24設被控系統(tǒng)動態(tài)方程為0x0 試設計全維狀態(tài)觀測器，使其閉環(huán)極點位于 解：期望的觀測器特征多項式為待定系數(shù)的特征多項式為(S)(sL(s)det(sl01 U，yr, 2r，(rr)(s 2r)A1 Ox,0)，并畫出狀態(tài)變量圖。 s2 3rs 2r2 ；2LC) s2 l1s l2 ；3r2r2 ；3r2r20狀態(tài)變量圖如右圖所示。3r2r2z

15、 。9-25設被控系統(tǒng)動態(tài)方程為1試檢查被控系統(tǒng)的可控性、可觀測性; 0.57，并畫出狀態(tài)變量圖。2 u , y 0 0 1 x,13求輸出至輸入的反饋矩陣，使閉環(huán)極點位于0.22j1.3 ,解：U1rankU13，可控性判別矩陣滿秩；動態(tài)方程是可觀測標準型;0被控系統(tǒng)是完全可控且完全可觀測的;期望的特征多項式為K(s)(s20.57)(s30.44s 1.7384) s1.01s21.9892 s0.9909 ；選取狀態(tài)反饋矩陣K0 0 k1 k20,;則待定參數(shù)特征多項式為k3(s) s3(k3 2k23)s2(5k1 5k2 2k31)s(5k2 10k15)&口000解得K0.7533

16、0.30842.6068 構(gòu)造全維狀態(tài)觀測器,其極點選為 2,3, 5；則,l(s)(s2)(s3)( s5)s10s31s 30，(s)s3(3 I3)s2 (1l2)S(5h)；3500302035即L 32；z1031 z12 u32 y，x z ；701100171111112 11 311P010，P 1Q01-0 ；則A3 ： 114 ；b0 ； LI1l；0010010 : 201l 2z (A22LA2)z(A22LA12)L(A21LAn)y(b2Lb1)u，x(Q1Q2L)yQ2Z ；2LS8s16，(s)det(slA22 2LA.2) s(I13121)s(6h12 8

17、)；解得，1763/173.7059Lq）維觀測器方程如下:(n9-26已知系統(tǒng)動態(tài)方程各矩陣為111 ,試檢查可觀測性，設計解：n(n0q）維觀測器，并使所有極點配置在rankV3 n,該系統(tǒng)完全能觀;選取變換矩陣30/171.7647 2.70597.11760.23535.29413.7059 u0.76474.4118y3.52944.47063.70591.76479-27試用李亞普諾夫第二法判斷下列系統(tǒng)平衡態(tài)的穩(wěn)定性：x1x-ix2， x2 2x-| 3x2。 解：李亞普諾夫方程 atp pa q，其中系統(tǒng)矩陣為1 123 ；取 Pp11 p12p12 p22qti1Q w00Qu

18、q22q22解得P 2090，系統(tǒng)的平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的;（或采用李亞普諾夫方程atp pa I，解得4.001.759-28已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為0.51.751.500當Q I時，P ?若選Q為半正定矩陣, 解：系統(tǒng)穩(wěn)定性與所選取的矩陣0.5Q1?對應2 u，0?判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。當QI時，由李亞普諾夫方程atp PA Q得到4pn10.5 pnP120.5 p130P122 P22P2313pn2 p13P230，6p132 p3313 p120.5 P132 p230.5p33071013解得P -10145，由P110,即知矩陣P不是正定矩陣,2813553可取Qdiag1 00，（必須q