一元微積分數(shù)學函數(shù)題庫有答案

1、一元微積分學數(shù)學（1） 函數(shù)一、 填空題：1 函數(shù) y=arcsin 定義域是:2.設y=(x)的定義域是0，1，則復合函數(shù)(sinx)的定義域是:. 3函數(shù)的值域是 0y + . 4函數(shù)的反函數(shù)是:. 5函數(shù)在區(qū)間 內是單調增加的.在區(qū)間內是單調減少. 6設，（xo）,則=. 7設,則=, = x . 8函數(shù)的反函數(shù)y= .二選擇題：1 在同一直角坐標系中，函數(shù) 與它的反函數(shù)說代表的曲線具有的性質是（d）(a) 關于y軸對稱; (b) 關于x軸對稱; (c)重合； (d) 關于直線y=x對稱. 2.下列幾對函數(shù)中，與相同的是（c）. （a）與 （b）與 （c）與 （d）與 3已知的定義域為則

2、的定義域是（c） （a）-a,3a (b) a,3a (c) a (d) -a 4如果，那么的表達式是（b）(a) x-1 (b)1-x (c) (d) 都不是三設函數(shù)是線性函數(shù)，已知求此函數(shù). 解：設f(x)=ax+b, 則有0+b=1, a+b=-3,解得a= -4,b=1.四證明函數(shù)在它的整個定義域內是有界. 證明：f(x)的定義域為r. 因為 所以： 函數(shù)在它的整個定義域內是有界五試討論函數(shù)的奇偶性. 解： 所以 偶函數(shù).一元微積分學題庫（2） 數(shù)列的極限一判斷題：1如果數(shù)列以a為極限，那么在數(shù)列增加或去掉有限項之后，說形成的新數(shù) 列仍以阿a為極限 ( t )2如果，則有或 ( f )

3、3如果，且存在自然數(shù)n，當nn時恒有，則必有a0）成立. 所以當x時，這函數(shù)不是無窮大一元微積分學題庫（4） 極限的求法一 判斷題： 下列運算是否正確： (f) (f) （f）二計算下列極限：解：=解：=2 解：設，則 因為=0， 所以 即：解：=解：因為 所以arctgx為有界函數(shù). 而 =0， 由有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小知. =0解：=解： = = =三已知 解：=0，=3+a,存在，即：=所以. .一元微積分學題庫（5） 極限存在準則 兩個重要極限 無窮小的比較一、 判斷題：1 因為時，tgxx,sinxx,所以 （f）2 (t)3 (f)二、計算下列極限1.解：=2.解：=13.

4、解：=24.解：=1.5.解：=6.解：=.二、 證明：當x0時，下列各對無窮小量是等價的1.證明：設a=arctgx,則 x=tga, 當時，. =12.1-cosx 證明：=1.四、證明：用兩邊夾法則：（解法一） 設f(n)= 0 則 設g(n)=0, h(n)= , 則g(n)=0 f(n) 0 因為 （n為自然數(shù)）， 所以有f(n) = 設g(n)=0, h(n)= , 則g(n)=0 f(n) h(n). 顯然，； 由極限存在準則i知：.證畢. 另解： 設f(n)= ( 0f(n)1 )， 則f(n+1)= ，有f(n+1)0 即： 所以為單調有界數(shù)列，由極限存在準則ii知有極限.

5、， 則有 ， a=2a-，解得：a=1 或a=0（舍去，因為為遞增數(shù)列且.） 所以 一元微積分學題庫（6） 函數(shù)的連續(xù)性一 判斷題1 （ t ）2.設在點連續(xù)，則（ t ）3如果函數(shù)在上有定義，在上連續(xù)，且0，則在內至少存在一點，使得= 0 （ t ）4若 連續(xù)，則必連續(xù). （ t ）5若函數(shù)在上連續(xù)且恒為正，則在上必連續(xù). （ t ）6若,且，則在的某一鄰域內恒有. （ f ）7是函數(shù)的振蕩間斷點.（ f ）二 填空題：1()2. ( 0 )3. ( )4. 是的第（二）類間斷點.三 求 解：=四 求函數(shù)在內的間斷點，并判斷其類型. 解：在內的間斷點有：， 因為 不存在， 所以，是的第一類（

6、可去）間斷點; ，是的第二類間斷點. 五 設，（1）求；（2）當連續(xù)時，求的值. 解：(1) (2) 連續(xù) .一元微積分學題庫（7） 連續(xù)函數(shù)的性質一計算下列極限： 1 解：原式= = 2 解：原式= 3 解：原式= 4 解：原式= 5 解：原式= 6 解：令，得，當 原式=二證明方程至少有一個不超過的正根（其中）. 證明：設，則在上連續(xù). 又，. 若，則結論成立. 若，則由零點定理.三設在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使得 . 證明：設，則在上連續(xù). 又, 若，則結論成立. 若，則由零點定理.四設在上連續(xù)，且，又存在使 .證明在上有最大值. 證明：取 , 當時, . 即 當時，. , 當時

7、, . 即 當時，. 若,為最大值. 若,在上連續(xù),必有最大值. , . 在上取得最大值. 一元微積分學題庫（8） 導數(shù)的概念一 選擇題：1 設f (x)存在，a為常數(shù)，則等于（c）. (a) f (x) ; (b) 0 ; (c) ; (d) .2. 在拋物線上，與拋物線上橫坐標和的兩點連線平行的切線方程 是（b）. (a) 12x-4y+3=0; (b)12x+4y+3=0; (c) 4x+12x+3=0; (d)12x+4y+1=0.3. 將一個物體鉛直上拋，設經過時間t秒后，物體上升的高度為，則物體 在3秒時的瞬時速度為（b）. (a) ; (b) 40-3g ; (c) 0 ; (d

8、) .4. 若函數(shù)在x=0處 (b). (a) 連續(xù)且可導； （b）連續(xù)，不可導； （c）不連續(xù)； （d）都不是.二設函數(shù)在處x=1可導，求a和b.解：在x=1處可導在x=1處連續(xù)，可得 即 (1) 又在x=1處可導, 可得 即 (2) 由(1),(2)得 , .三設，求.解: , 由冪函數(shù)的導數(shù)公式可得 .四已知，求.（提示：分段點x=0處的導數(shù)用導數(shù)的定義求）解: 當x=0時, 令, ; .所以 五設f(x)在上有連續(xù)導函數(shù).證明f(x)為偶函數(shù)的充要條件是：為奇函數(shù)（充分性的證明用到不定積分的概念，只證必要性）.證明: 對于 則有 依題意 令有 ; ; 為偶函數(shù)一元微積分學題庫（9） 求

9、導法與復合函數(shù)求導一 填空題：1 曲線與x軸交點的切線方程是.2 曲線在橫坐標x=0點處的切線方程是,法線方程是.3 設，則.4 設，則.5 設，則.二 求下列函數(shù)的導數(shù).1. .解: .2. .解: .3. .解: .4. .解: .5. .解: .三.求導數(shù):1. ,求.解: .2. ,求.解: .3. ,求.解: .四.已知,求. 解: 令 ,則 .一元微積分學題庫(10) 復合函數(shù)求導(二) 高階導數(shù)一. 求下列函數(shù)的導數(shù):1. .解：. 2.解： .3.解： .4.解： .5.解： .二. 求下列函數(shù)的二階導數(shù):1. .解： , .2. .解： , .3. .解： , .三. 求函數(shù)

10、的n階導數(shù).解： ， 一般地，可得 .四. 設,其中在點a的鄰域內連續(xù),求.解： . 在點a的鄰域內連續(xù) . .一元微積分學題庫(11) 隱函數(shù)求導法一. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)y的導數(shù).1. .解： , 即 其中y是由方程所確定的隱函數(shù).2. .解： , 即 . 其中y是由方程所確定的隱函數(shù).3. .解： , 即 . 其中y是由方程所確定的隱函數(shù).二. 用對數(shù)函數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù):1. .解： 先兩邊取對數(shù)(假定 . ) 得 . 則 . . 當時,用同樣的方法可得與上面相同的結果.2. . 解： 先兩邊取對數(shù)(假定) 得 . 對上式兩邊對求導，得 . 即 . 當時,用同樣的方法可得

11、與上面相同的結果. 三. 求下列函數(shù)的二階導數(shù).1. .解： , .2. 已知 這里存在且不為零.解： 存在且不為零 , .四. 設,證明y=y(x)在t=0時存在,并求其值.證明： 原方程可化為 . 當時, 一元微積分學題庫(12) 微分一. 選擇題:1. 已知,則dy等于(c).(a) 2tgxdx ; (b) ; (c) ; (d) .2 一元函數(shù)連續(xù)是可導的（a）；一元函數(shù)可導是可微的（c）.（a）必要條件； （b）充分條件；（c）充要條件； （d）既非充分條件又非必要條件.2. 函數(shù)不可微點的個數(shù)是（b）.（a） 3; (b) 2; (c) 1; (d) 0.二填空題：1 已知函數(shù)在

12、點x處的自變量的增量，對應的函數(shù)增量的線性主部是，那末自變量的始值為.2 ，則.3. ; ; ; .三 利用微分求近似值：.解： . 這里較小應用(p150)(2)式,得 .四 已知測量球的直徑d時有1%的相對誤差，問用公式計算球的體積時，相對誤差有多少？解： 我們把測量d時所產生的誤差當作自變量d的增量，那么，利用公式來計算v時所產生的誤差就是函數(shù)v的對應增量.當很小時，可以利用微分近似地代替增量，即 . 其相對誤差 .五 求由方程所確定的隱函數(shù)s在t=0處的微分.解： 對方程兩邊關于t求導，得 . 當 t=0時, 得 . 又對原方程, 當 t=0時, 得 即 s=1. 一元微積分學題庫（1

13、3）中值定理一選擇題： 1下列函數(shù)中，滿足羅爾定理條件的是（b）.(a)(b)(c)(d) 2.對于函數(shù)，在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理的點是(a).(a); (b); (c); (d)1.二. 應用導數(shù)證明恒等式：.（注意：對 處的討論）證：令當時，（c為常數(shù)）.特別地，取,則求得當時，當時，當時，三. 設，證明：.證：設，在上利用拉格朗日中值定理，有：.四. 證明：不論b取何值，方程在區(qū)間上至多有一個實根.證：反證法.設，且在區(qū)間上有兩個以上實根，其中兩個分別記為，不妨設，則，由羅爾定理，在內至少有一點，使.而在內恒小于0，矛盾.命題成立.五. 構造輔助函數(shù)，證明不等式.證：設，則在區(qū)間上，

14、根據(jù)拉格朗日中值定理，在內至少存在一點使即又即六. 設函數(shù)和在上存在二階導數(shù)，且，證明（1） 在(a,b)內；（2） 在(a,b)內至少存在一點，使.證：（1）反證法.設（a,b）內存在一點使，則在上有g(a)=g(x1)=0,由羅爾定理知在(a,x1)內至少存在一點1使(1)=0.同理在(x1,b)內也至少存在一點2使(2)=0.(1)=(2)=0由羅爾定理，在(1,2)內至少存在一點使,這與矛盾，故在內.（3） 令由題設條件可知，f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內可導，且f(a)=f(b)=0,由羅爾定理可知，存在使得即由于，故.一元微積分學題庫（14）羅必塔法則 一. 求下列極限：

15、1. 解：原式= 2. 解：原式= = 3 解：原式=1 4 解：令，則 y=e0=15 解：原式=一元微積分學題庫（15）函數(shù)的單調性一 填空題：1函數(shù)y=(x-1)(x+1)3在區(qū)間內單調減少，在區(qū)間內單調增加.2函數(shù) （a0）在區(qū)間內單調增加，在區(qū)間內單 調減少.3函數(shù)在區(qū)間內單調增加，在區(qū)間（-1， 3）內單調減少.4. 函數(shù)在區(qū)間（0.5，1）內單調增加，在區(qū)間內單調減少.二. 證明下列不等式：1. 當時，. 證：令，則. ， ，顯然，當時， 在區(qū)間內單調增加. 又 在區(qū)間內恒大于零. 又 在區(qū)間內大于零. 即當時，即.2. 當時，.證：令 顯然，當時， 在內單調增加.又=0 在內大

16、于零. 在內單調增加.而=0 在內恒大于零. 即當時， 即3. 當時，證：令，則.令，則.在此區(qū)間內單調減少.在此區(qū)間內也單調減少.而在內小于0.在內單調減少.在區(qū)間的兩端取得極大極小值.即三. 證明方程sinx=x只有一個根.證：令，則. 在內單調減少. f(x)=sinx-1=0至多有一個根.而f(0)=0, 有且只有一個根. 即方程sinx=x只有一個根.一元微積分學題庫（16）函數(shù)的極值一. 填空題：1. 函數(shù)在處取得極小值.2. 已知函數(shù)當-1或5時，y=0為極小值；當x=0.5時， y=為極大值.3已知在x=1處有極值-2，則a=0,b=-3,y=f(x)的極大值為2； 極小值為-

17、2.二. 求下列函數(shù)的極值： 1. 解： 令得三駐點：. 當時，當時，. 處為非極值點. 當時，取得極大值，其值為0. 當時，取得極小值，其值為-13.5.2. 解：，令，得駐點（k為整數(shù)）. 當時，x在該處取得極大值，其值為 當時，x在該處取得極小值，其值為三. 試問a為何值時，函數(shù)在處取得極值？它是極 大值還是極小值？并求出此極值. 解：，令，則 即 時取得極值. 在處取得極大值，其值為.四. 設，為實數(shù)，且(1) 求函數(shù)的極值.(2) 求方程有三個實根的條件.解：(1) ，令得，而 處取得極小值，其值為 處取得極大值，其值為 (2)由上述的討論我們可以看出，僅有 三個單調區(qū)間，由介值定理

18、及區(qū)間 單調性知：方程要有三個實根，必須滿足在這三個單調區(qū)間上各 有一個實根，也就是說，極小值應小于或等于0同時極大值應大 于或等于0（等于0時含重根）.即 即當時，方程有三個實根.五. 一個無蓋的圓柱形大桶，已規(guī)定體積為v,要使其表面積為最小，問圓 柱的底半徑及高應是多少？解：設圓柱的底半徑為r,高為h，則 , 則 六. 設在上二階可微，且.證明存在 ，使得. 證：將在x取得極大值處展開一階泰勒公式（設此時） ， ， ，兩式相加得： 令，則 一元微積分學題庫 (17) 最大值 最小值 凹凸性 拐點一、求下列函數(shù)的最大值和最小值： 1. 函數(shù)在所給區(qū)間內可導，因此可令 解得 而 所以函數(shù)在區(qū)間

19、上的最大值、最小值分別為104和-5.2. 函數(shù)在所給區(qū)間內可導，因此可令 解得 而 所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別為-47和-15.二、某車間靠墻壁蓋一間長方形小屋，現(xiàn)有存磚只夠砌20米長的墻壁，問應圍成怎樣的長 方形才能使這間小屋的面積最大？ 解： 設寬為米，則長為米，因此，面積為 顯然，當時，面積取最大值50.三、求數(shù)項 中的最大項. 解： 令 則 解得唯一駐點， ，并且在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單 調遞減，而 所以數(shù)項 中的最大項為.四、求下列函數(shù)的凹凸區(qū)間與拐點：1. 解： 函數(shù)在定義域內階導數(shù)存在，并且 因此，當時，曲線為凸的，當時，曲 線為凹的，點是曲線的拐點.2. 解：

20、函數(shù)在定義域內階導數(shù)存在，并且 因此，當時，曲線為凸的，當時，曲線 為凹的，當時，曲線為凸的，點是曲線的拐點.五、證明有三個拐點位于同一直線上. 證明： 函數(shù)在定義域內二階導數(shù)存在，并且 令，解得， 因此，當時，曲線為凸的，當時， 曲線為凹的，當時，曲線為凸的，當 時，曲線為凹的，所以曲線有三個拐點 . 并且 所以三個拐點在同一條直線上.一元微積分學題庫 (18) 函數(shù)圖形的描繪 一、作下列函數(shù)的圖形（要求列表之后再畫圖）： 1. 解：函數(shù)在定義域內二階導數(shù)存在，并且 令，解得，01-0+0-0+0-0+圖形拐點極大拐點極小拐點 2. 解：函數(shù)在定義域內二階導數(shù)存在，并且 令，解得，1-0+0

21、+0-0+圖形極小拐點拐點，不是極值點 四、求曲線的一條切線，使該曲線與切線及直線所圍成的平面圖形的面積最小. 解： 設切點的坐標為，則切線的斜率為，所以切線方程為 當時， 當時， 所以，三角形的面積為 令 解得 即當時，三角形的面積最小，從而該曲線與切線及直線所圍成的 平面圖形的面積最小，此時切線方程為： 一元微積分學題庫（19）不定積分 一.是非題： 1 ( f ) 2. ( f ) 3. 已知則 ( f ) 4. 是同一個函數(shù)的原函數(shù) ( t ). 二.填空： 1. . 2. . 3. . 4. 5. .6. 設，則. 7. 已知曲線通過點(e,2),且其上任一點處的切線斜率等于該點橫坐

22、標的倒數(shù)，則曲線方程為. 三.求下列不定積分 1. 解: 2. . 解：. 3. . 解： 4. 解： 5 解：四已知且f(0)=0求f(x).解： 又由于在x=0可導,則f(x)在x=0連續(xù)， 所以f(-0)=f(+0)=f(0)=0得： 一元微積分學題庫（20）換元積分 一.填空: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.二.計算不定積分:1. . 解：.2. 解： 6 解：.7. 解:8. 解:.一元微積分學題庫（21） 分部積分法 一.填空題： 1設則 . 2 . 3若的原函數(shù)為，則 .二求下列不定積分： 1 解： = = .所以， 原式= . 2.解：=. 3. 解：= = =

23、 . 4 . 解：= = = = 5 . 解：= = = . 6 . 解：= = =.一元微積分學題庫(22) 幾種特殊類型函數(shù)的積分 一 求下列有理函數(shù)的不定積分： 1 . 解：= = . 2 . 解： , 比較系數(shù)得： = = = = .二.求下列三角有理式的不定積分： 1 . 解：令 則 = = . 2 . 解：= = . 3 . 解：= = = 所以，2= 即：=三.求下列無理函數(shù)的不定積分： 1 . 解：= 令 ， 則；. 于是 = 故= = = . 2 . 解：令 則： = =四.計算積分 . 解法一：= = = = = . 解法二：= = = = = 注：解法二中積分亦可用萬能代換