高中數(shù)學必修一《方程的根與函數(shù)的零點》學案(含答案

1、第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1函數(shù)與方程3.1.1方程的根與函數(shù)的零點自主學習1 能夠結(jié)合二次函數(shù)的圖象判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)2理解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系3掌握函數(shù)零點的存在性的判定方法1對于函數(shù)y f(x)，我們把使f(x)0 的實數(shù) x 叫做函數(shù) y f(x)的 _2函數(shù)y f(x)的零點就是方程f(x) 0 的 _ ，也就是函數(shù)yf(x)的圖象與x軸的交點的 _ 3方程f(x) 0 有實數(shù)根 ? 函數(shù)y f( x)的圖象與x 軸有 _? 函數(shù)y f(x) 有_4函數(shù)零點的存在性的判定方法如果函數(shù) y f(x) 在 a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) f(b)_0

2、，那么 y f(x)在區(qū)間 (a， b)內(nèi)有零點，即存在c (a， b)，使得 f(c)_0 ，這個 c 也就是方程 f( x) 0 的根對點講練求函數(shù)的零點【例 1】 求下列函數(shù)的零點：(1)f(x) x2 2x 3；(2)f(x) x4 1；(3) f(x) x3 4x.規(guī)律方法 求函數(shù)的零點， 關(guān)鍵是準確求解方程的根， 若是高次方程， 要進行因式分解，分解成多個因式積的形式且方程的另一邊為零，若是二次方程常用因式分解或求根公式求解變式遷移 1 若函數(shù) f(x) x2 axb 的零點是2 和 4，求 a， b 的值判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)是否有零點2【例 2】 (1) 函數(shù) f(x) ln x

3、 的零點所在的大致區(qū)間是()A (1,2)B (2,3)C. 1，1和 (3,4)D (e， )e(2)f(x) ln x2在 x0 上共有 _個零點x規(guī)律方法 這是一類非?；A(chǔ)且常見的問題， 考查的是函數(shù)零點的判定方法， 一般而言只需將區(qū)間端點代入函數(shù)求出函數(shù)值， 進行符號判斷即可得出結(jié)論， 這類問題的難點往往是函數(shù)符號的判斷，可運用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)進行判斷，同時也要注意該函數(shù)的單調(diào)性變式遷移A 02 方程 x23x 1 0 在區(qū)間B1C2(2,3)內(nèi)根的個數(shù)為D 不確定()已知函數(shù)零點的特征，求參數(shù)范圍【例 3】 若函數(shù) f(x) ax2 x1 僅有一個零點，求實數(shù)a 的取值范圍變式遷移 3

4、 已知在函數(shù) f(x) mx2 3x 1 的圖象上其零點至少有一個在原點右側(cè)，求實數(shù) m 的范圍1函數(shù) f(x)的零點就是方程f(x) 0 的根， 但不能將它們完全等同如函數(shù) f(x) x2 4x4 只有一個零點，但方程f(x) 0 有兩個相等實根2并不是所有的函數(shù)都有零點，即使在區(qū)間a， b上有 f(a) f(b)0，也不能說明函數(shù)yf(x)在區(qū)間 (a， b)上無零點，如二次函數(shù)y x2 3x2在 0,3 上滿足 f(0) f(3)0，但函數(shù) f(x)在區(qū)間 (0,3)上有零點1和2.3函數(shù)的零點是實數(shù)而不是坐標軸上的點課時作業(yè)一、選擇題1若函數(shù) f( x)唯一的零點在區(qū)間(1,3)， (

5、1,4)， (1,5)內(nèi)，那么下列說法中錯誤的是 ()A 函數(shù) f(x) 在(1,2) 或2,3) 內(nèi)有零點B函數(shù) f(x)在 (3,5)內(nèi)無零點C函數(shù) f(x)在 (2,5)內(nèi)有零點D函數(shù) f(x) 在(2,4) 內(nèi)不一定有零點2函數(shù) f(x) log3x 8 2x 的零點一定位于區(qū)間 ()A (5,6)B (3,4)C(2,3)D (1,2)3函數(shù) f(x) ax2 bx c，若 f(1)0 ， f(2)0 ，則 f( x) 在(1,2) 上零點的個數(shù)為 ()A 至多有一個B有一個或兩個C有且僅有一個D一個也沒有4已知 f(x)是定義域為 R 的奇函數(shù)，且在 (0， )內(nèi)的零點有 1 00

6、3 個，則 f(x)的零點的個數(shù)為 ()A1 003B 1 004C 2 006D 2 0075若函數(shù) y f(x)在區(qū)間 0,4 上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且方程 f(x) 0 在(0,4)內(nèi)僅有一個實數(shù)根，則f(0) f(4)的值 ()A大于 0B小于 0C等于 0D 無法判斷二、填空題6二次函數(shù) f(x) ax2 bx c 中， ac0 ，則函數(shù)的零點有_個7若函數(shù)f(x) ax b (a 0)有一個零點是2 ，那么函數(shù) g(x) bx2 ax的零點是_8方程 2ax2 x 1 0 在 (0,1) 內(nèi)恰有一個實根，則實數(shù)a 的取值范圍是 _ 三、解答題9判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零

7、點(1)f(x) x2 3x 18，x 1,8 ；(2)f(x) x3 x 1， x 1,2 ；(3) f(x) log 2(x 2) x， x1,3 10已知函數(shù)f(x) x2 (k 2)x k2 3k 5 有兩個零點(1)若函數(shù)的兩個零點是1 和 3，求 k 的值；22(2)若函數(shù)的兩個零點是和 ，求 的取值范圍第三章函數(shù)的應(yīng)用3.1函數(shù)與方程31.1方程的根與函數(shù)的零點答案自學導(dǎo)引1零點2實數(shù)根橫坐標3交點零點4對點講練2【例 1】 解(1)由于 f(x) x 2x3 (x 3)(x 1)故函數(shù)的零點是3,1.(2)由于 f(x) x4 1 (x2 1)( x1)( x1)，所以方程 x

8、4 1 0 的實數(shù)根是 1,1，故函數(shù)的零點是1,1.(3)令 f(x) 0，即 x3 4x 0， x(x2 4) 0，即 x( x 2)( x2) 0.解得： x10， x2 2，x3 2，3所以函數(shù) f(x) x 4x 有 3 個零點，分別是2,0,2. f(2) 0， f(4) 0.2a b 4a 2即，解得.4a b 16b 8【例 2】 (1)B(2)1解析 (1) f(1) 20，f(2) ln 2 10，在 (1,2)內(nèi) f(x)無零點， A不對；2f(3)0 ， f(2)3 f(x)在(2,3) 內(nèi)有一個零點(2)f(x) ln x 2在 x0 上是增函數(shù)，且 f(2) f(3

9、)0 ，x故 f(x) 有且只有一個零點變式遷移 2 B令 f( x) x2 3x1，其對稱軸為x 3， f(x)在(2,3) 內(nèi)單調(diào)遞增，又 f(2) f(3)0 ，2方程在區(qū)間 (2,3)內(nèi)僅有一個根 【例 3】 解 若 a 0，則 f(x) x 1，為一次函數(shù)，易知函數(shù)僅有一個零點；若 a 0，則函數(shù) f(x)為二次函數(shù)，若其只有一個零點，則方程ax2 x1 0 僅有一個實數(shù)根，故判別式 1 4a 0，則 a 1.4綜上，當 a 0 或 a 1時，函數(shù)僅有一個零點4變式遷移 3 解(1)當 m 0 時， f(0) 3x 1，直線與 x 軸的交點為 1， 0 ，即函數(shù)3的零點為 13，在原

10、點右側(cè)，符合題意圖(2)當 m0 時， f(0) 1，拋物線過點(0,1)若 m0， f(x) 的開口向上，如圖所示，要使函數(shù)的零點在原點右側(cè)，當且僅當9 4m 0 即可，解得 0m9，4綜上所述， m 的取值范圍為 ，94 .課時作業(yè)1 C2 B f(3) log 33 82 3 10.又 f(x) 在(0 ， )上為增函數(shù)，所以其零點一定位于區(qū)間 (3,4) 3 C 若 a 0，則 f( x) bx c 是一次函數(shù)，由 f(1) f(2)0 ，與已知矛盾故 f(x)在 (1,2)上有且僅有一個零點 4D 因為 f(x)是奇函數(shù)，則f(0) 0，又在 (0， )內(nèi)的零點有1 003 個，所以

11、 f(x)在( ， 0)內(nèi)的零點有 1 003 個因此 f(x)的零點共有1 003 1 003 1 2 007 個 5 D 考查下列各種圖象上面各種函數(shù)yf(x)在 (0,4)內(nèi)僅有一個零點，但是 (1)中， f(0) f(4)0 ，(2)中 f(0) f(4)0，方程ax2 bx c 0有兩個不等實根，即函數(shù)f(x)有2 個零點17 0， 2解析由 2a b 0，得 b 2a， g(x) bx2ax 2ax2 ax，令 g(x) 0，得 x 0 或 x 1， 2 g(x) bx2 ax 的零點為 0， 1. 28 (1， )解析令 f(x) 2ax2 x 1， a0 時不符合題意；1a 0

12、 且 0 時，解得 a 8，12 x1 0，也不合題意；此時方程為 x4只能 f(0) f(1)1.9 解(1) 方法一 f(1) 200， f(1) f(8)0.故 f(x) x2 3x 18 在 1,8 上存在零點方法二令 x2 3x 18 0，解得 x 3 或 x 6，函數(shù) f(x) x2 3x 18 在 1,8 上存在零點(2) f( 1) 10 ， f( 1) f(2)log 22 10，f(3) log 2(3 2) 3log 283 0， f(1) f(3)0.故 f(x) log 2(x 2) x 在1,3 上存在零點10 解(1) 1 和 3 是函數(shù) f(x)的兩個零點， 1 和 3 是方程 x2 (k 2)x