大一高數(shù)總結(jié)上冊(cè)

1、第一章 函數(shù)、極限、連續(xù)（小結(jié)）、函數(shù)1.鄰域：cU （a） ,U（a）以a為中心的任何 開區(qū)間；2.定義域：y =tanx x=k ;2n ny 二 arctanx x R,y (,)；2 2n Jiy*rcsinx “匸y=arccosx x _1,1,y 0,二.二、極限1.極限定義：（了解）-J-lim Xn 二 a 二若對(duì)于 - ；0， N Z ， n_j:st.當(dāng) n N 時(shí)，有 |XnNote ： |xna | ： ； n ?lim f(x)二 A：=Xf當(dāng)0cxxo時(shí)，有f (x) A CE ；Note :X xo 0 ,z.X a0, st.當(dāng) x X 時(shí)，有 f (x) A

2、 CE ；Notef (x) - A 名 Tx ?2.函數(shù)極限的計(jì)算 （掌握）(1)定理：lim f (x) = A ：=X )X0-f (x = f(X0) = lim f(x) = A ；(分段函數(shù))(2)0 型:約公因子，有理化;比如：lim匚1，7 X1lim 狂 - EX ：1重要極限lim沁T Xsinu(x)=limu(x) ：o u(x)等價(jià)無(wú)窮小因式代換：tan x LI x,sinx_x,arcsinx_x，1-cosxTx2，(3)n 1 x -1 -1 x，型：先通分;比如:xe -1 x，ln(1 x) x二型：轉(zhuǎn)化為無(wú)窮小;oo比如:1limx , -x 1 -x2

3、 1lim 2X： x2x _21lim 1 u(x) u(x)二e ；1型：重要極限lim 1 x無(wú)窮小量： 無(wú)窮小無(wú)窮小=無(wú)窮??；無(wú)窮小 有界量=無(wú)窮小u(x) 0比如:lim cosxx譏：2x(4)函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系lim f （x） = A：= f （x） = A 亠二，其中：lim : = 0X Xo(抽象函數(shù))(5) 微分中值定理：f(b) - f(a)；b a(6) 羅必達(dá)法則：lim丄也=lim丄 0,二Xf g(x) Mxo g (X)I。丿3.數(shù)列極限的計(jì)算：比如:比如:夾逼原則:limn 廠.n21積分定義:arctanx _ arctan1x _1tanx - x

4、 lim 廠 x）0 x sin xlimqn =0（|q|：1）；（第 3 章）（第 3 章）lim % =1.(第五章)、連續(xù)1.函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù):lim f(x)二f (x0).x0一切初等函數(shù)在其定義域都是連續(xù)的.2.閉區(qū)間上函數(shù)連續(xù)的性質(zhì)：取大取小值疋理：若f(x)在a, b上連續(xù)，則f(x)在a,b上一定有最大、最小值.零點(diǎn)定理：設(shè) f(x) Ca,b，且 f(a) f(b) ：0，=至少有一點(diǎn).-(a,b)，使得f( J = 0介值定理：設(shè) f(x) Ca,b，且 f(a)二 A， f(b)二 B, A = B= 則對(duì)A,B之間的任意常數(shù) C,至少有一點(diǎn) (a,b)，使得f)=

5、C.四、間斷點(diǎn)1 第一類間斷點(diǎn)：f(x。)、f(X)存在若f(X0 J = f(X0 ) = f (X0)，則稱X0為可去間斷點(diǎn)；若f(X0 - f (X0 )，則稱X0為跳躍間斷點(diǎn)；2.第二類間斷點(diǎn)：f(x0、f (X0 )至少一個(gè)不存在若其中一個(gè)趨向：，則稱X。為無(wú)窮間斷點(diǎn)；若其中一個(gè)為振蕩，則稱 x0為振蕩間斷點(diǎn)；第二章導(dǎo)數(shù)與微分(小結(jié))、導(dǎo)數(shù)的概念y .f(xo：x)-f(xo)f(x h)-f(xo)1. f (x0) = limlimlim -QAx 2Ax7hNote :該定義主要用于相關(guān)定理的分析與證明；導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)公式：f (x)二lim f (x h) - f(x).-h2.

6、 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)性判別：定理：f (x)在x-處可導(dǎo)f (x)在x-處即左可導(dǎo)，又右可導(dǎo)、r f(x)f(x-)、f(x)f(x-)f.(x() = lim ,f_(x0) = lim.+x - x0xf -x - x03.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線斜率，即k二f (x0)當(dāng)f(X-)=:時(shí)，曲線在點(diǎn)(x- , y-)處的切線、法線方程為：切線方程：1y - y - f (x)(x - x)，法線方程：y-y。(x-x。)f (x-)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1 四則運(yùn)算：u(x)二 v(x)-u (x ) -v (x-) ； u(x)v(x) = u (x)v(x) u(x)v (x)；Fu(x) u(

7、x)v(x)-u(x)v(x)2-v(x)v (x)2.反函數(shù)求導(dǎo):y = f (x)， x =(y)互為反函數(shù)，則f (x)3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：y = f(x)丨，則= f (up (x). dx4.隱函數(shù)求導(dǎo)：F(x, y)=0兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，把y看成是x的函數(shù).5.參數(shù)方程：x ，則生二魚史=dy dx二山 y = y(t), dx dt dxdU dt x (t)三、微分1微分的概念：若有=y = f (x0 =x) - f (x0) = A= x o( = x)成立，記作：dy = AxdyNote: dy = Ax = Adx = f (x)dx , y = f (x), dy =

8、f (x)dx ；2微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用(1 )近似計(jì)算f(x) f(X-) f (x-)(x-x-).第三章微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、微分中值定理1、羅爾(Rolle)中值定理：(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 f)= 0 .Note : 證明導(dǎo)函數(shù)根的存在性. 證明原函數(shù)根的唯一性.2、拉格朗日中值定理：在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn),使得f ()二f(b) - f(a)b aNote : 把f (b) 一 f (a)用f)做代換，求極限.b af ( )_ f(b)-f(a) g ( ) g(b)-g(a) 由:：: b建立不等式，用于證明不等式3、柯西中值定理： 在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

9、,使得:Note:用于說(shuō)明洛必達(dá)法則.:、洛必達(dá)法則(1)可結(jié)合兩個(gè)重要極限、等價(jià)無(wú)窮小代換，約公因子等方法靈活運(yùn)用1(2)若：:-：，不為分式，可通過令:x，創(chuàng)造分式.t比如：lim xx:In(1)-xx通分.：_.：.三、函數(shù)圖形的描繪00 一取倒數(shù)取對(duì)數(shù)0 : O0:：0001:(1)寫定義域，研究f(x)的奇偶性、周期性;(2)求 f(X)， f (x)；(3)爲(wèi)不亍可疑極值點(diǎn)Xi，f ：)不?？梢晒拯c(diǎn)x2 ；補(bǔ)充個(gè)別特殊點(diǎn)，求漸近線:limX_.；:f (x) = C， lim f (x)=xx)(5)列表分析單調(diào)性、凹凸性、拐點(diǎn)、極值點(diǎn);xX1 )X1(X1 X2 )X2(X2亦

10、;f(x)uu-f (x)+極值點(diǎn)+f “(X)拐點(diǎn)+(6)畫圖五、最值的計(jì)算：(1 )求f(x)在(a,b)內(nèi)的可疑極值點(diǎn)：論，x2，山,xm(2)最大值:M 二 max! f (xj, f (x2),川，f (Xm), f (a), f (b) f特別的，(1) f(x)在a,b上只有一個(gè)可疑極值點(diǎn)，若此點(diǎn)取得極大值，則也是最大值點(diǎn).(2) f(x)在a,b上單調(diào)時(shí)，最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.(3) 對(duì)應(yīng)用問題，有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)第四章不定積分、不定積分：f(x)dx 二 F(x) C，Note : C為積分常數(shù)不可丟！ f (x)d x = f (x)F

11、 (x) dx 二 F(x) C f (x) g(x)dx 二 f (x)dxg(x)dx ； kf(x)dx = k f (x)dx. 幾個(gè)常用的公式x彳x dx = Tn xC，a dxCdx = 1 n x Cln aL xsecxtanxdx 二 secx C ，cscxcotxdx - - cscx C，二、換元積分法：u gx)1. f (x) (x)dx 二 f (u)du .Note :常見湊微分：dx = d (x c), xdx = 1 d (x2 c),dx = 2d ( . x c),丄 dx = d (In | x | c)11+x22Vxxdx = d (arc t

12、an x)二-d (arc cot x),= dx = d (arcsin x)二-d (arc cosx)寸 1 x2 適用于被積函數(shù)為兩個(gè)函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)為一個(gè)函數(shù)，比如：.e2x 1 dx，若被積函數(shù)多于兩個(gè)，比如：sinxc(osxdx，要分成兩類；1 +si n4x 一般選擇“簡(jiǎn)單” “熟悉”的那個(gè)函數(shù)寫成:(x)； 若被積函數(shù)為三角函數(shù)偶次方，降次；奇次方，拆項(xiàng)；ux)2. f(u)duf (x) ： (x)dxNote :常見代換類型Jf(x,Jax+b)dx , t = *ax+b f (x ,a? _x2 )d x , x 二 asint f (ax)dx, t =

13、 axf(x,、x -a )dx , x=asedf (x a2 x2 )dx , x = atant三、分部積分法：uv dx = uv - u v dx.Note :按“反對(duì)幕指三”的順序，誰(shuí)在前誰(shuí)為 u uv要比uv 容易計(jì)算； 適用于兩個(gè)異名函數(shù)相乘的情況，若被積函數(shù)只有一個(gè)，比如：arcsinx 1dx， e xdx( t x)； 多次使用分部積分法：u u u “ 一；求導(dǎo)v v v 積分三、有理函數(shù)的積分1. 假分式=多項(xiàng)式+真分式1 P(x)；3)丿2. 真分式=(拆成)若干部分分式之和；Note:拆項(xiàng)步驟：將分母分解：Q(x) =(xa)2 (x2 px q)2p2 _4q

14、： 0根據(jù)因式的情況將真分式拆成分式之和：P(x) _ A + 宀 + BjX+G 十BqX + C? 2 2 2 2Q(x) x-a x-a x px q (x px q)3. 逐項(xiàng)積分.注：有時(shí)一個(gè)題目會(huì)用到幾種積分方法，要將所有的方法靈活運(yùn)用，融會(huì)貫通!第五章定積分一、 定積分的概念及性質(zhì)1.定義：乜 f(x)dx = lim(二 f ( J %，其中 = 型；i #nb2幾何意義：f(x)_0,f (x)dx 曲邊梯形面積abf (x)乞0, . f (x)dx曲邊梯形面積的負(fù)值a3.性質(zhì):(1)bf (x)dx 二- aaf (x)d x,af (x)dx 二 0 ;J a(2)(3

15、)bdx = b - a abkf (x)dx 二 k-abJa f (x)g(x)dx =f (x)d x;ba f (x)d X士 g(x)dx ；b(5)f (x)dx f(x)dx 亠 I f (x)dx ;aacb(6)若在a,b上 f (x) _ 0，則 f (x)dx _0 ;y ab(7) 設(shè) M 二maxf(x), m 二min f(x)，則 m(b-a)_ f(x)dx _ M (b-a);a ,ba,bLab(8) 積分中值定理：f (x)dx 二 f ( J(ba)，匚三a,b.L ax4.變上限函數(shù)：G(x) f(t)dt* aNote :的吐=_f(x)；dx xd

16、 (x)忑，Ppm)(X)d (x)-(x) f(t)dt =d ad；_ (x)f(t)dt(x)af(t)dt二 f(X)(X)- f(x), (x)bb5.牛頓一萊布尼茨公式：L f (x)dx = F (x) a = F (b) - F (a).、定積分的計(jì)算1. 換元積分：換元必須換限，無(wú)需變量回代，湊微分不必?fù)Q限；bbb2. 分部積分：uvdx= uv- uvdx；aabaa3. 若f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx=0；-aaa若 f (x)為偶函數(shù)，則 f(x)dx = 2 f (x)dx . a 0a.a. a4. 廣義積分：f(x)dx limf(x)dx ; f(x)dx = lim f(x)dx ; Smbba?b三、定積分的應(yīng)用1.平面圖形的面積b直角坐標(biāo)：A f (x)dxadA=JC f (y) g(y)dyb推廣：A= a f (x) _g(x)dx極坐標(biāo)：A=一 2G)