全等三角形作輔助線專題一重點(diǎn)截長(zhǎng)補(bǔ)短法-可打印版

1、是中點(diǎn)，試比較 BE+CF與 EF 的大 全等三角形作輔助線經(jīng)典例題 常見輔助線的作法有以下幾種： 1）遇到等腰三角形， 可作底邊上的高， 利用“三線合一” 的性質(zhì)解題， 思維模式是全等變換中的 “對(duì)折” 2）遇到三角形的中線， 倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全 等變換中的“旋轉(zhuǎn)” 3）遇到角平分線， 可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中 的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理 4）過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻 轉(zhuǎn)折疊”；（遇垂線及角平分線時(shí)延

2、長(zhǎng)垂線段，構(gòu)造等腰三角形） 5）截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法， 具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是 之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明這種作法，適合于證明線段的和、差、 倍、分等類的題目 特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí) ，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)， 利用 三角形面積的知識(shí) 解答 一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等 1：已知，如圖 ABC中， AB=5， AC=3，則中線 AD的取值范圍是 3：如圖， ABC中，BD=DC=A，CE是 DC的中點(diǎn)，求證：AD平分 BAE. 中考應(yīng)用： 以 ABC 的 兩 邊 AB 、 AC 為 腰 分

3、別 向 外 作 等 腰 Rt ABD 和 等 腰 Rt ACE ， BAD CAE 90 ,連接 DE，M、N分別是 BC、DE 的中點(diǎn)探究： AM 與DE 的位置 關(guān)系及數(shù)量關(guān)系 （ 1）如圖 當(dāng) ABC 為直角三角形時(shí)， AM 與 DE 的位置關(guān)系 ，線段 AM 與 DE 的數(shù)量關(guān)系是 （2）將圖中的等腰 Rt ABD 繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（0 AC， 1 2， P為 AD上任意一點(diǎn)，求證 ;AB-ACPB-PC 12 6如圖，在 ABC中， AD平分 BAC，AB+BD=A，C求 B C的值 中考應(yīng)用 ：如圖，在四邊形 ABCD 中， AD/BC ，點(diǎn) E 是 AB 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 若

4、B=60， F E A H AB=BC ，且 DEC=60，判斷 AD+AE 與 BC 的關(guān)系并證明你的結(jié) 論。 三、找全等 1. 已知：如圖，在 Rt ABC 中， ACB=90 o， AC=BC ，D 為 BC 的中點(diǎn)， CE AD 于 E，交 AB 于 F，連接 DF 求證： ADC= BDF H，它們 2如圖， ABC 中， AB=AC ，過(guò)點(diǎn) A 作 GEBC，角平分線 BD、CF 相交于點(diǎn) 的延長(zhǎng)線分別交 GE 于點(diǎn) E、G試在圖 10 中找出 3 對(duì)全等三角形， 并對(duì)其中一對(duì)全等三角 形給出證明 四. 借助角平分線造全等 說(shuō)明：遇到有關(guān)角平分線的問題時(shí)，可引角的兩邊的垂線，先證明

5、三角形全等，然后根 據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，再利用角的平分線性質(zhì)得出兩角相等 練習(xí)： 1 已知： ABC 中， BD=CD ，12求證： AD 平分 BAC 2.如圖 22， AB CD ，E為AD 上一點(diǎn)，且 BE、CE分 別平分 ABC 、 BCD 求證： AE=ED 以角的平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造對(duì)稱圖形 A AB 上截取 AE=AC ，連接 DE ， 例： 如圖，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， C=2 B求證： 分析：由于角平分線所在的直線是這個(gè)角的對(duì)稱軸，因此在 我們就能構(gòu)造出一對(duì)全等三角形，從而將線段 AB 分成 AE 和 BE 兩段，只需證明 BE=CD 就可以了

6、延長(zhǎng)角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線 例： 如圖，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，CE AD 于 E 求證： ACE= B+ ECD 分析：注意到 AD 平分 BAC ， CE AD ，于是可延長(zhǎng) CE 交 AB 于點(diǎn) F，即可構(gòu)造全等三 角形 利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形 如圖，在 ABC 中， AD 平分 BAC ，過(guò)點(diǎn) D 作 DE AB ，DE 交 AC 于點(diǎn) E易證 AED 是等腰三角形因此，我們可以過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形 例： 如圖，在 ABC 中， AB=AC ， BD 平分 ABC ，DE BD 于 D，交 BC 于點(diǎn) E 1 求證

7、： CD= BE 2 全等三角形作輔助線課后練習(xí) 1在 ABC 中， BAC=60 o， C=40o， AP 平分 BAC 交 BC 于 P，BQ 平分 ABC 交 AC 于 Q 求證： AB+BP=BQ+AQ 2如圖，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， AB=AC+CD 求證： C=2 B 3已知， E 為 ABC 的 A 的平分線 AD 上一點(diǎn)， AB AC 求證： AB-ACEB-EC 4如圖，在四邊形 ABCD 中， BC BA， AD=CD ，BD 平分 ABC 求證： A+ C=180o 5如圖所示，已知 AD BC， 1=2， 3= 4，直線 DC 過(guò)點(diǎn) E 作交 AD 于

8、點(diǎn) D ，交 BC 于點(diǎn) C 求證： AD+BC=AB 6已知，如圖， ABC 中， ABC=90 o， AB=BC ，AE 是A 的平分線， CDAE 于 D求證： 7 ABC 中， AB=AC ， A=100 o， BD 是 B 的平分線求證： AD+BD=BC CD= A 2 8如圖， ABC 中， AD 平分 BAC ，AD 交 BC 于點(diǎn) D， 求證： AB=AC 且 D是 BC 的中點(diǎn) ED 9已知：如圖， ABC 中，AD 是 BAC 的平分線， E 是 BC 的中點(diǎn)， EF AD ，交 AB 于 M ， 交 CA 的延長(zhǎng)線于 F求證： BM=CF 10. 如圖，已知在 ABC中， B=60， ABC的角平分線 AD,CE 相交 于點(diǎn) O，求證： OE=OD 11. 如圖， ABC中，AD平分 BAC，DG BC且平分 BC，DEAB于 E，DFAC 于 F. （1）說(shuō)明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a ，AC=b ，求 AE、BE的長(zhǎng). F 中考應(yīng)用 如圖， OP是 MON的平分線， 請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以 OP所在直線為對(duì)稱軸的全等三 角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問題： （1）如圖，在 ABC 中， ACB是直角， B=60， AD 、