數(shù)學(xué)應(yīng)用題專題復(fù)習(xí)一

1、西場(chǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教研組西場(chǎng)中學(xué)數(shù)學(xué)教研組 覃以新覃以新 1、教學(xué)大綱對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求、教學(xué)大綱對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力要成為 數(shù)學(xué)教學(xué)的一條重要目的和一條基本原則。 在教學(xué)中要.，更重要的是使學(xué)生能夠運(yùn) 用已有的知識(shí)進(jìn)行交流，并能將實(shí)際問(wèn)題抽 象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，從而形成比 較完全的數(shù)學(xué)知識(shí)。 2、高考說(shuō)明對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求、高考說(shuō)明對(duì)數(shù)學(xué)建模的要求 要求考生關(guān)心國(guó)家大事，了解信息社會(huì)，講究聯(lián)系 實(shí)際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用； 考查理解語(yǔ)言的能力，要求考生能夠從普通語(yǔ)言中捕 捉信息，將普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工 具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與交流； 考查建立數(shù)

2、學(xué)模型的初步能力，并能運(yùn)用“考試說(shuō) 明”所限定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)求解，即把陌生的問(wèn) 題情景數(shù)學(xué)化，會(huì)數(shù)學(xué)地提出問(wèn)題解決問(wèn)題。 3、1995 2001年高考數(shù)學(xué)應(yīng)用 問(wèn)題（解答題）情況分析 （1）注重知識(shí)積累，加強(qiáng)閱讀理解 5、高考應(yīng)用問(wèn)題的對(duì)策、高考應(yīng)用問(wèn)題的對(duì)策 （2）掌握語(yǔ)言轉(zhuǎn)化，熟悉常見模型 （3）加強(qiáng)算法算理的訓(xùn)練，培養(yǎng)思維 的嚴(yán)密性 解決應(yīng)用性問(wèn)題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：解決應(yīng)用性問(wèn)題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為： 實(shí)際問(wèn)題 分析、聯(lián)系、抽象、轉(zhuǎn)化 建立數(shù)學(xué)模型（列數(shù)學(xué)關(guān)系式） 數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)結(jié)果實(shí)際結(jié)果 回答問(wèn)題 解決應(yīng)用性問(wèn)題的關(guān)鍵是讀題解決應(yīng)用性問(wèn)題的關(guān)鍵

3、是讀題懂題建立數(shù)學(xué)關(guān)系式。 考點(diǎn)分析考點(diǎn)分析： 近年來(lái)高考應(yīng)用題所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)外乎函數(shù)、 方程、不等式、數(shù)列、立體幾何等到高中數(shù)學(xué)中最基 本、最重要的內(nèi)容，其中尤其以函數(shù)應(yīng)用性問(wèn)題最多。 這類問(wèn)題題源豐富，內(nèi)容深刻，解法靈活多樣，且較 易與不等式、數(shù)列、幾何等內(nèi)容相關(guān)聯(lián)，是歷年高考 應(yīng)用問(wèn)題命題的一個(gè)熱點(diǎn)。 我們應(yīng)該留心觀察周圍的現(xiàn)實(shí)世界并經(jīng)常讀報(bào)， 以努力拓寬自已的知識(shí)面，對(duì)于一些常識(shí)性的概念如 “復(fù)利” 、“本息和”、“百分點(diǎn)”、 “利潤(rùn) 率”、“甲A聯(lián)賽場(chǎng)數(shù)”等，都應(yīng)成為我們熟知的詞 語(yǔ)。此外，環(huán)境、能源、人口、營(yíng)養(yǎng)保健、知識(shí)經(jīng)濟(jì)， 科技生產(chǎn)生活等方面的問(wèn)題我們要予以高度重視。 宇宙

4、之大，宇宙之大， 粒子之微，粒子之微， 火箭之速，火箭之速， 化工之巧，化工之巧， 地球之變，地球之變， 生物之謎，生物之謎， 日用之繁，日用之繁， 無(wú)處不用數(shù)學(xué)。無(wú)處不用數(shù)學(xué)。 華羅庚 華羅庚 分期付款方式在今天的商業(yè)活動(dòng) 中應(yīng)用日益廣泛，為越來(lái)越多的顧客 所接受，這一方面是因?yàn)楹芏嗳艘淮?性支付售價(jià)較高商品的款額有一定的 困難，另一方面是因?yàn)椴簧偕痰暌苍?不斷改進(jìn)營(yíng)銷策略，方便顧客購(gòu)物和 付款， 可以說(shuō)分期付款與每個(gè)家庭、 每個(gè)人的日常生活密切相關(guān)。 1. 在分期付款中，每月的利息均按復(fù)利計(jì)算； 2.分期付款中規(guī)定每期所付款額相同； 3.分期付款時(shí)，商品售價(jià)和每期所付款額在貨 款全部付清前

5、會(huì)隨著時(shí)間推移而不斷增值； 各期所付款額連同到最后一次付款所生的利 息之和，等于商品售價(jià)及從購(gòu)買到最后一次付款 時(shí)的利息之和（這一規(guī)定實(shí)際上作為解決問(wèn)題關(guān) 鍵步驟列方程的依據(jù)）。 關(guān)鍵詞復(fù)利計(jì)息 （1）按復(fù)利計(jì)算利息的一種儲(chǔ)蓄，本金為 a 元，每期利率為 r，設(shè)本利和為y，存期為x， 寫出本利和y隨存期x變化的函數(shù)式。 答：x期后的本利和為y=a（1+r）x （2）如果存入本金 a元,每月的利率為 0.8%, 試分別計(jì)算 1月后,2月后,3個(gè)月后， 12個(gè) 月后的本利和是多少？ 解:已知本金為a元, 1月后的本利和為a(1+0.8%) 2月后的本利和為a(1+0.8%)2 3月后的本利和為a(

6、1+0.8%)3 12月后的本利和為a(1+0.8%)12 購(gòu)買一臺(tái)售價(jià)為5000元的電腦，采用 分期付款的辦法，每期付款數(shù)相同，購(gòu)買 后1個(gè)月第1次付款，再過(guò)1個(gè)月第2次付款， 如此下去，共付款5次后還清，如果按月利 率0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)算（上月利息 要計(jì)入下月本金），那么每期應(yīng)付款多 少?(精確到1元） 分析：本題可通過(guò)逐月計(jì)算欠款來(lái)處理， 根據(jù)題意，第5個(gè)月的欠款數(shù)為零，據(jù)此可 得等量關(guān)系。 購(gòu)買一臺(tái)售價(jià)為 5000 元的電 腦，采用分期付款的辦法， 每期付款數(shù)相同，購(gòu)買后 1個(gè) 月第1次付款，再過(guò)1個(gè)月第2 次付款，如此下去，共付款 5 次后還 清，如果 按月利率 0.8%，每

7、月利息按復(fù)利計(jì)算 （上月 利息要 計(jì)入下月本 金） ，那么每期應(yīng)付 款多 少?(精確到1元） (50001.008 2 -1.008x-x)1.008-x 即 50001.008 3 -1.008 2 x-1.008x x 這就是說(shuō)，每月應(yīng)付款1024元。 5 5 008.15000 1008.1 1008.1 ,? ? ? ?x 于是 )(1024 1008. 1 )1008. 1(008. 15000 5 5 元 ? ? ? ?x 購(gòu)買5個(gè)月后的欠款數(shù)為： 50001.008 5 -1.008 4 x 1.008 3 x-1.008 2 x-1.008x x 由題意 50001.008 5

8、 -1.008 4 x 1.008 3 x-1.008 2 x-1.008x x=0 即 x+1.008x+1.008 2 x+1.008 3 x+1.008 4 x=50001.008 5 解 ：設(shè)每月應(yīng)付款x元， 購(gòu)買1個(gè)月后的欠款數(shù)為 50001.008-x 購(gòu)買2個(gè)月后的欠款數(shù)為( 50001.008-x)1.008-x 即 50001.008 2 -1.008x-x 購(gòu)買3個(gè)月后的欠款數(shù)為 x+1.008x+1.008 2x+1.0083x+1.0084x=5000 1.0085 第5次 付 款 (即最后一次 付款)x元。 (由于款已全 部付清，因 此這一期付 款沒(méi)有利息) 第4次付

9、 款x元后 到 款 全 部 付 清 時(shí) 連 同 利 息 之 和 第3次付 款x元后 到 款 全 部 付 清 時(shí) 連 同 利 息 之 和 第2次付 款x元后 到 款 全 部 付 清 時(shí) 連 同 利 息 之 和 第1次付 款x元后 到 款 全 部 付 清 時(shí) 連 同 利 息 之 和 5000 元商 品在購(gòu)買 5個(gè) 月 后 （即貨款 全部付清 時(shí)）連同 利息之和 各次（期）所付的款以及各次（期） 所付款到最后一次付款時(shí)所生的利 息之和 商品的售價(jià)及從 購(gòu)買到最后一次 付款時(shí)的利息之 和。 從最后一次付款（即款全部付清）時(shí)的角度看從最后一次付款（即款全部付清）時(shí)的角度看 分析：利用分期付款的有關(guān)規(guī)定直

10、接列出方程 解法2：設(shè)每月應(yīng)付款x元 ， 那么到最后1次付款時(shí)（即商品購(gòu)買5個(gè)月后） 付款金額的本利和為： （x+1.008x+1.008 2 x+1.008 3 x+1.008 4 x）元； 另外，5000元商品在購(gòu)買后5個(gè)月后的本利和為 50001.008 5 元。 根據(jù)題意， x+1.008x+1.008 2 x+1.008 3 x+1.008 4 x=50001.008 5 （以下同解法1） 從數(shù)學(xué)的角度看，本課題是等比數(shù)列前 n項(xiàng)和 的公式在購(gòu)物付款方式上的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用。 問(wèn)題的 關(guān)鍵在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤 其要弄清以下情況和規(guī)定 ： 在分期付款中，每月的利息均按復(fù)

11、利計(jì)算； 分期付款中規(guī)定每期所付款額相同； 分期付款時(shí)，商品售價(jià)和每期所付款額在貨 款全部付清前會(huì)隨著時(shí)間推移而不斷增值； 各期所付款額連同到最后一次付款所生的利 息之和，等于商品售價(jià)及從購(gòu)買到最后一次付款 時(shí)的利息之和（ 這一規(guī)定實(shí)際上作為解決問(wèn)題關(guān) 鍵步驟列方程的依據(jù)）。 顧客購(gòu)買一件售價(jià)為 5000元的商品時(shí)，如果采取分期付款，那么在一年內(nèi)將 款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的幾種付款方案，以供顧客選擇。 顧客在從上表中選擇付款方案時(shí)，需要知道幾種方案中每期應(yīng)付款多少， 總共應(yīng)付款多少，這樣才便于比較。 方案 類別 分幾次 付清 付款方法每期所 付款額 付款 總額 與一次性 付款

12、差額 13次 購(gòu)買后4個(gè)月第1次付款， 再過(guò)4個(gè)月第2次付款， 再過(guò)4個(gè)月第3次付款。 26次 購(gòu)買2個(gè)月第1次付款， 再過(guò)2個(gè)月第2次付 款購(gòu)買后12個(gè)月第6 次付款。 312次 購(gòu)買后1個(gè)月第1次付款， 再過(guò)1個(gè)月第2次付款購(gòu) 買后12個(gè)月后12次付款。 規(guī)定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)算。 注 問(wèn) 題 付款方式 最后一次付 款 X 元及其 本利和 最后第二次 付款 X 元及 其本利和 最后第三次 付款X元及 其本利和 第一次付 款 X 元及 其本利和 從第一次付款到最后 一次付款金額的本利 和 5000 元（或a元） 商品從購(gòu)買到最 后1次付款時(shí)的 本利和 例1 每過(guò)1個(gè)月付 款1

13、次，共付5 次還清 x (第5期) 1.008x (第4期) 1.008 2x (第3期) 1.008 4x (第1期) x+1.008x+1.008 2 x+ +1.008 4 x 5000 1.008 5 例2 (方案3) 每過(guò)1個(gè)月付 款1次，共付 12次還清 （第12期） （第11期） (第10期) （第1期） 例2 (方案2) 每過(guò)2個(gè)月付 款1次，共付6 次還清 （第6期） （第5期） 第4期） （第1期） 例2 (方案1) 每過(guò)4個(gè)月付 款1次，共付3 次還清 （第3期） （第2期） （第1期） x 1.008x 1.008 2 x 1.008 11 xx+1.008x+1.00

14、8 2 x + +1.008 11 x 50001.008 12 x 1.008 2 x1.008 4 x1.008 10 x x+1.008 2 x+1.008 4 x + +1.008 10 x 50001.008 12 x1.008 4 x1.008 8 xx+1.008 4x+1.0088x 50001.008 12 15 )(8.880 1008. 1 )1008. 1(008. 15000 12 212 元 ? ? ? ?x （方案2）略解：由題意得 : x(1+1.008 2 +1.008 4 +1.008 10)5000 1.00812 每期所付款額為 880.8 元，付款總額

15、約為 5285 元，與一次性付款差額為 285 元 )(6.438 1008. 1 )1008. 1(008. 15000 12 12 元 ? ? ? ?x （方案3）略解： x(1+1.008+1.008 2 +1.008 11 )5000 1.008 12 每期所付款額為 438.6 元，付款總額約為 5263 元，與一次性付款差額為 263 元 12 4 34 008.15000 1008.1 1)008.1 ( ? ? ? ?x )(8.1775 1008. 1 )1008. 1(008. 15000 12 412 元元 ? ? ? ?x （方案1）解：設(shè)每期所付款額 x元，那么到 最

16、 后1次付款時(shí)付款金額的本利和為： x (1+1.008 4 +1.008 8 ) 元。 另外，5000元商品在購(gòu)買后 12 個(gè)月后的本利 和為5000 1.008 12 元。 由題意得 x(1+1.008 4 +1.008 8 )5000 1.008 12 每期所付款額為 1775.8 元，付款總額約為 5327 元， 與一次性付款差額為 327 元 顧客購(gòu)買一件售價(jià)為 5000元的商品時(shí)，如果采取分期付款，那么在一年內(nèi)將 款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的幾種付款方案，以供顧客選擇。 從上表中選擇付款方案時(shí)，需要知道幾種方案中每期應(yīng)付款多少，總共應(yīng)付款 多少，這樣才便于比較。 方案

17、 類別 分幾次 付清 付款方法每期所 付款額 付款 總額 與一次性 付款差額 13次 購(gòu)買后4個(gè)月第1次付款， 再過(guò)4個(gè)月第2次付款， 再過(guò)4個(gè)月第3次付款。 26次 購(gòu)買2個(gè)月第1次付款， 再過(guò)2個(gè)月第2次付 款購(gòu)買后12個(gè)月第6 次付款。 312次 購(gòu)買后1個(gè)月第1次付款， 再過(guò)1個(gè)月第2次付款購(gòu) 買后12個(gè)月后12次付款。 規(guī)定月利率為0.8%，每月利息按復(fù)利計(jì)算。 1775.8 元 5327元327元 880.8 元 5285元 285元 438.6 元 5263元 263元 注 例例3:某房地產(chǎn)開發(fā)公司因有大量住房閑置,為 盤活資金,促進(jìn)住房銷售,提出了兩種優(yōu)惠售房方 案: 第一種方

18、案是分期付款: 2002年元月要求購(gòu) 房者先付12萬(wàn)元,然后從第二年起每年元月付款 2 萬(wàn)元,連續(xù)付5年(假設(shè)這五年中銀行存款年利率 為2%); 第二種方案是2002年元月一次性付款21.2萬(wàn) 元.如果購(gòu)房者都是從銀行貸款購(gòu)房,試問(wèn):采取 哪一種購(gòu)房方案合算? (可選用以下數(shù)據(jù): ) 1.02 4 =1.08 1.02 5 =1.101.02 6 =1.13 解法一: 終值比較法,選擇比較的時(shí)點(diǎn)是 2007 年元月 分期付款2002 2003 2004 20052006 2007 12 12(1+2%) 12(1+2%)5 2 2(1+2%) 2(1+2%)4 2 12(1+2%) 2(1+2

19、%)3 2 2(1+2%)2 2 2(1+2%) S分=12(1+2%)5+2(1+2 %)4 + 2(1+2%)+2=23.2萬(wàn)元 2 S一=21.2(1+2%)5=23.32萬(wàn)元 可見,第一種方案比較合算 分 期 付 款 解法二: 現(xiàn)值比較法,選擇比較的時(shí)點(diǎn)是 2002 年元月年元月 年份 2002 2003 2004 20052006 2007 2/(1+2%) 5 2/(1+2%) 4 2 S 分=12 +2/(1+2%) + 2/(1+2 %) 2 + 2/(1+2%) 5 =21.09 萬(wàn)元 12 S 一=21.2 萬(wàn)元 可見,還第一種方案比較合算 2/(1+2%) 4 2/(1+2%) 3 2 2/(1+2%) 3 2/(1+2%) 2 2 2/(1+2%) 2 2/(1+2%) 2 2/(1+2%) 2 課 后 請(qǐng)你算一算 某私立學(xué)校規(guī)定學(xué)生入學(xué)時(shí)每人應(yīng)交費(fèi) 4 萬(wàn)元 RMB，等三年