131空間幾何體的表面積與體積課件

1、1 一、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積一、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 2 ? (1)矩形面積公式： _。 ? (2)三角形面積公式：_。 ? 正三角形面積公式：_。 ? (3)圓面積面積公式：_。 ? (4)圓周長(zhǎng)公式： _。 ? (5)扇形面積公式： _。 ? (6)梯形面積公式： _ ab S ? ahS 2 1 ? 2 4 3 a S? 2 rS? 2Cr? hbaS)( 2 1 ? 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 1 2 slr? 3 柱體 錐體 臺(tái)體 球 幾何體的分類 多面體 旋轉(zhuǎn)體 4 在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，你知道在初中已經(jīng)學(xué)過(guò)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，你知道 正方體和長(zhǎng)方體的表面積怎

2、樣得到的正方體和長(zhǎng)方體的表面積怎樣得到的 幾何體表面積 展開(kāi)圖展開(kāi)圖 平面圖形面積 空間問(wèn)題 平面問(wèn)題 5 把直三棱柱側(cè)面沿一條側(cè)棱展開(kāi)，得到什么圖形？ 側(cè)面積怎么求？ chhcbaS?)（ 直直棱棱拄拄側(cè)側(cè) h a b c abc hh 底側(cè)表面積 SSS2? 6 正棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？ h h 側(cè)面展開(kāi) 正棱錐的側(cè)面積如何計(jì) 算？表面積如何計(jì)算？ 2 1 chS 正棱錐側(cè) 7 正棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是什么？ 側(cè)面展開(kāi) h h 正棱臺(tái)的側(cè)面積如何計(jì)算？ 表面積如何計(jì)算？ ) 2 1 hccS?（ 正棱臺(tái)側(cè) 8 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積 hh 一般地,多面體的表面積就是各個(gè)面的面積之和 表面積

3、=側(cè)面積+底面積 9 小結(jié)：1、弄清楚柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展 開(kāi)圖的形狀是關(guān)鍵； 2、對(duì)應(yīng)的面積公式 ) cc 2 1 hS（ 正 棱 臺(tái) C=0 2 1 chS 三 棱 錐 C=C chchS? 直 棱 柱 10 例1 已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形 的四面體S-ABC，求它的表面積 B C A S 11 例1 已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面 體S-ABC，求它的表面積 D B C A S a a aBDSBSD 2 3 2 2 222 ? ? ? ? ? ? ? 所以： 2 4 3 2 3 2 1 2 1 aaaSDBCS SBC ? ? 因此，四面體S-ABC 的表面積 交BC于點(diǎn)

4、D 解：先求 的面積，過(guò)點(diǎn)S作 SBC?BCSD ? 典型例題 22 3 4 3 4aaS? 因?yàn)?aBC? 12 ?求多面體的表面積可以通過(guò)求 各個(gè)平面多邊形的面積和得到, 那么旋轉(zhuǎn)體的表面積該如何求 呢? 思考 13 )(222 2 lrrrlrS? 圓柱表面積 r l r?2 14 )( 2 lrrrlrS? 圓錐表面積 r?2 l O r 15 )( 22 rll rrrS? r?2 l O r O r 2 r? ?lrrrrS?22 2 1 22 ? 16 l O r O r l O r l O? O r )(2lrrS? 柱 )(lrrS? )( 22 rllrrrS? rr 上底

5、擴(kuò)大 r0 上底縮小 三者之間關(guān)系 圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系？ 17 例例2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑 20 cm，盆，盆 底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為 1.5 cm，盆壁長(zhǎng) 15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取 3.14，結(jié)果精確到1 ）？ ? 2 cm cm15 cm20 cm15 解：由圓臺(tái)的表面積公式得解：由圓臺(tái)的表面積公式得 花盆的表面積： 22 2 5 . 1 15 2 20 15 2 15 2 15 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

6、 ? ? ? ? ? ? ?S )(999 2 cm? 答：花盆的表面積約是 999 2 cm 典型例題 )( 22 rllrrrS? 圓臺(tái)表面積 18 各面面積之和 rr? 0?r 小結(jié)： 展開(kāi)圖 22 ()Srrr lrl? ? 圓臺(tái) 圓柱 )(2lrrS? )(lrrS? 圓錐 空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化成平面問(wèn)題 棱柱、棱錐、 棱臺(tái) 圓柱、圓錐、 圓臺(tái) 所用的數(shù)學(xué)思想： 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 19 二、柱體、錐體、臺(tái)體的體積二、柱體、錐體、臺(tái)體的體積 20 長(zhǎng)方體體積： 正方體體積： 圓柱的體積： Vabh? 3 Va? 2 Vr h? VSh? ? ? ? a b h a a a h 底 面

7、積 高 柱體體積 a a ? ? 2 21 以前學(xué)過(guò)特殊的棱柱 正方體、長(zhǎng)方體以及圓柱的 體積公式,它們的體積公式可以統(tǒng)一為： 柱體體積 柱體（棱柱、圓柱） 的體積公式： ShV ? （其中S為底面面積，h為柱體的高） VSh? 22 3.1錐體（棱錐、圓錐）的體積 （底面積S，高h(yuǎn)） 注意：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四 面體的每一個(gè)面都可以作為底面，可以用來(lái)求點(diǎn)到 面的距離 問(wèn)題:錐體(棱錐、圓錐）的體積 shV 3 1 ? 三棱錐 23 椎體（圓錐、棱錐）的體積公式： ShV 3 1 ? 錐體體積 （其中S為底面面積，h為高） h 24 由此可知， 棱柱與圓柱的體積公式類似，都是

8、 底面面積乘高； 棱錐與圓錐的體積公式類似，都是 底面面積乘高的 1 3 25 s s / s s / h x 四.臺(tái)體的體積 V臺(tái)體= 1 h(s +ss +s) 3 上下底面積分別是s/,s,高是h，則 26 VVV? 大錐小錐 ? ? ? 11 33 11 33 1 3 S h ShSS SS ShSSS h h SSSS ? ? ? ? ? S h x SS ? ? ? ? 11 = 33 S xhSx ? ? 11 = 33 ShSSx? 2 xS xhS ? ? ? ? ? ? xS xhS ? ? ? S h x SS ? ? ? S? S h x 27 臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）的體積

9、公式 hSSSSV)( 3 1 ? 臺(tái)體體積 28 柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么關(guān)系？ hSSSSV)( 3 1 ? S為底面面積， h為柱體高 Sh V ? S S ? ? 分別為上、下 底面面積，h 為臺(tái)體 高 ShV 3 1 ? 0?S S為底面面積， h為錐體高 上底擴(kuò)大 上底縮小 ,SS? 29 2 1.,am已知圓錐的表面積且它的側(cè)面展開(kāi)圖 是一個(gè)半圓，求這個(gè)圓錐的底面直徑。 30 例2 如圖，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑20 cm， 盆底直徑為15cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長(zhǎng)15cm那么花盆的表面積約是多 少平方厘米？ cm15 cm20 cm15 31 例3

10、有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重 5.8kg，已知底面是正六邊 形，邊長(zhǎng)為12mm，內(nèi)孔直徑為10mm，高為10mm， 問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)（ 取3.14）？ 3 /8 . 7cmg ? 解：六角螺帽的體積是六棱柱 的體積與圓柱體積之差，即 : 10) 2 10 (14. 310612 4 3 22 ?V )(2956 3 mm? )(956. 2 3 cm? 所以螺帽的個(gè)數(shù)為 252)956. 28 . 7(10008 . 5?（個(gè)） 答：這堆螺帽大約有 252個(gè) 典型例題 32 RR OO R R 球的體積：球的體積： 一個(gè)半徑和高都等于R的圓柱，挖去一個(gè) 以上底面為底面

11、，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐 后，所得的幾何體的體積與一個(gè)半徑為R的 半球的體積相等。 探究 33 球 1 V= 2 3 2 =R 3 3 球 4 V=R 3 RR OO R R ? 22 1 RR-RR 3 34 半徑為R的球的體積 3 4 3 VR? 35 第一步：分割 O 球面被分割成n個(gè)網(wǎng)格， 表面積分別為： n SSSS?. 321 ， 則球的表面積： n SSSSS?. 321 則球的體積為： 設(shè)“小錐體”的體積為： i V? i V? n VVVVV?. 321 i S? O 知識(shí)點(diǎn)三、球的表面積和體積知識(shí)點(diǎn)三、球的表面積和體積 （ 36 O 第二步：求近似和第二步：求近似和 O i

12、 h? 由第一步得： n VVVVV?. 321 nn hShShShSV? 3 1 3 1 3 1 3 1 332211 . iii hSV? 3 1 i S? i V? 37 第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積第三步：轉(zhuǎn)化為球的表面積 RSV ii ? 3 1 如果網(wǎng)格分的越細(xì),則: RSRSRSRSV ni ? 3 1 3 1 3 1 3 1 32 . RSSSSSR ni 3 1 3 1 32 ?).( 由 得: 3 3 4 RV? 球的體積: 2 4R S ? i S? i V? i h?的值就趨向于球的半徑R R i h? i S? O i V? “ 小錐體”就越接近小棱錐。 38 半徑為半

13、徑為R的球的的球的表面積表面積公式公式 2 4SR? 39 設(shè)球的半徑為R，則球的體積公 式為V球 . 43R3 例1(2009年高考上海卷)若球O1、O2表 面積之比4，則它們的半徑之比_. 解析：解析：S 球4R 2，故R1 R2 S1 S2 42. 答案：2 40 (1)若球的表面積變?yōu)樵瓉?lái)的 2倍,則半徑變?yōu)樵瓉?lái)的倍。 (2)若球半徑變?yōu)樵瓉?lái)的 2倍，則表面積變?yōu)樵瓉?lái)的 倍。 (3)若兩球表面積之比為 1:2，則其體積之比是。 (4)若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是 。 例2： 2 4 22:1 3 4: 1 41 例3.如圖，正方體ABCD-A 1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的

14、各 個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，問(wèn)球O的表面積。 A B C D D 1 C1 B 1 A1 O A B C D D 1 C1 B 1 A1 O 分析：正方體內(nèi)接于球，則由球和正方體都是中心對(duì)稱圖形可 知，它們中心重合，則正方體對(duì)角線與球的直徑相等。 略解： 22 222 11 11 34 2 3 ,)2()2( 22 : aRS aRaaR aDBRDB DDBRt ? ? ? ? 得： ， 中 變題1.如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切，則有S=。 變題2.如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切，則有S=。 2 a? 2 2a? 關(guān)鍵： 找正方體的棱長(zhǎng) a與球半徑R之間的關(guān)系 42 O A B C

15、 O? 例4已知過(guò)球面上三點(diǎn) A、B、C的截面到球心O的距離 等于球半徑的一半，且 AB=BC=CA= cm，求球的體 積，表面積 解：如圖，設(shè)球O半徑為R， 截面O的半徑為r， r 3 32 AB 2 3 3 2 AO? 是正三角形，ABC R OO?, 2 ? 43 題型一 旋轉(zhuǎn)體的表面積及其體積 如圖所示,半徑為R的半圓內(nèi)的 陰影部分以直徑AB所在直線為軸,旋 轉(zhuǎn)一周得到一幾何體,求該幾何體的 表面積(其中BAC=30)及其體積. 先分析陰影部分旋轉(zhuǎn)后形成幾何體的 形狀,再求表面積. 【例2】 思維啟迪 44 解解 如圖所示, 過(guò)C作CO1AB于O1,在半圓中可得 BCA=90,BAC=

16、30,AB=2R, AC= ,BC=R, S球=4 R2, R3 , 2 3 1 RCO ? , 2 311 2 3 2 3 4 , 2 3 2 3 , 2 3 3 2 3 2222 11 2 1 2 1 RRRR SSSS RRRS RRRS BOAO BO AO ? ? ? ? ? 側(cè)圓錐側(cè)圓錐球幾何體表 側(cè)圓錐 側(cè)圓錐 . 2 311 2 R ? ?表面積為旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的 45 解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所 形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割， 然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算. . 6 5 2 1 3 4 )( 4 1 3 1 4 1 3 1 , 3 4 333 11 1 22

17、 11 1 1 22 11 1 3 RRR VVVV BORCOBOV AORCOAOVRV BOAO BO AO ? ? ? ? 圓錐圓錐球幾何體 圓錐 圓錐球 又 探究提高探究提高 46 知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則 ,) 2 ( 222 Rr h ? .2 4 1 4, ,2, 2 2 , 2 1 . 4 1 ) 2 1 (4)(4 42 .2 24 22 4222222 22 22 RR RhRrRr RRrrR

18、r rRrrhS rRh ? ? ? ? ? 最大值是最大 圓柱側(cè)面積時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng) 即 ? 47 知能遷移知能遷移2 2 已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi) 接圓柱，這個(gè)圓柱底面半徑與高為何值時(shí)，它 的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？ 解 如圖為軸截面. 設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r， 側(cè)面積為S，則 ,) 2 ( 222 Rr h ? .2 4 1 4, ,2, 2 2 , 2 1 . 4 1 ) 2 1 (4)(4 42 .2 24 22 4222222 22 22 RR RhRrRr RRrrRr rRrrhS rRh ? ? ? ? ? 最大值是最大 圓柱側(cè)面積時(shí)即當(dāng)且僅當(dāng) 即 ? 4

19、8 題型二 多面體的表面積及其體積 一個(gè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，側(cè)棱長(zhǎng) 為 ，求這個(gè)三棱錐的體積. 本題為求棱錐的體積問(wèn)題.已知底面 邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)，可先求出三棱錐的底面面積 和高，再根據(jù)體積公式求出其體積. 解 如圖所示， 正三棱錐SABC. 設(shè)H為正ABC的中心， 連接SH， 則SH的長(zhǎng)即為該正三棱錐的高. 【例3】 思維啟迪思維啟迪 15 49 連接AH并延長(zhǎng)交BC于E， 則E為BC的中點(diǎn)，且AHBC. ABC是邊長(zhǎng)為6的正三角形， , 336 2 3 ? AE . 9339 3 1 3 1 31215 3215,Rt . 39336 2 1 2 1 , . 32 3 2 22 ? ? ? ? ? ? ? SHSV ，AHSASH ，AHSASHA AEBCSABC AEAH ABC ABC 正三棱錐 中在 中在 50 求錐體的體積，要選擇適當(dāng)?shù)牡酌婧?高，然后應(yīng)用公式 進(jìn)行計(jì)算即可.常用方 法：割補(bǔ)法和等積變換法. （1）割補(bǔ)法：求一個(gè)幾何體的體積可以將這個(gè)幾 何體分割成幾個(gè)柱體、錐體，分別求出錐體和柱 體的體積，從而得出幾何體的體積. （2）等積變換法：利用三棱錐的任一個(gè)面可作為 三棱錐的底面.求體積時(shí)，可選擇容易計(jì)算的方 式來(lái)計(jì)算；利用“等積性”可求“點(diǎn)