2020年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：集合及其運算

1、 2020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)：集合及其運算第 1 講 集合及其運算1集合與元素(1)集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號或表示(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法(4)常見數(shù)集的記法集合符號自然數(shù)集正整數(shù)集n (或 n )整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集n*zqr2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系自然語言ab子集集合 a 是集合 b 的子集，且集合 b中至少有一個元素不在集合 a 中ab3.集合的基本運算圖形語言abx|xa，或xbabx|xa，且xb ax|xu，且 xu符號語言a導(dǎo)師提醒1熟記三種集合運算的性質(zhì)(1)并集的性質(zhì)：aa；aaa

2、；abba；ababa.2020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 1 頁 共 13 頁 (2)交集的性質(zhì)：a；aaa；abba；abaab.(3)補集的性質(zhì)：a( a)u；a( a)； ( a)a； (ab)( a)( b)；uuuuuuu (ab)( a)( b)uuu2熟記集合基本關(guān)系的四個結(jié)論(1)空集是任意一個集合的子集，是任意一個非空集合的真子集(2)任何一個集合是它本身的子集，即 aa.空集只有一個子集，即它本身(3)集合的子集和真子集具有傳遞性：若 ab，bc，則 ac；若 a b，b c，則 a c.(4)含有 n 個元素的集合有 2 個子集，有 2 1 個非空子集，有 2 1 個

3、真子集，有 2nnnn2 個非空真子集3關(guān)注兩個易錯點(1)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，應(yīng)時刻關(guān)注對空集的討論，防止漏解(2)在解決含參數(shù)的集合問題時，要檢驗集合中元素的互異性判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)x|yx 1y|yx 1(x，y)|yx 1()222(2)若x ，10，1，則 x0，1.()2(3)x|x1t|t1(4)對于任意兩個集合 a，b，(ab)(ab)恒成立(5)若 abac，則 bc.()答案：(1) (2) (3) (4) (5)若集合 pxn|x 2 018，a2 2，則()aap答案：dbapcapdap設(shè)集合 ax|2x2，z 為整

4、數(shù)集，則集合 az 中元素的個數(shù)是(a3 b4 c5 d6解析：選 c.a 中包含的整數(shù)元素有2，1，0，1，2，共 5 個，所以 az 中的元素個數(shù)為 5.已知集合 a1，2，集合 b 滿足 ab1，2，則滿足條件的集合 b 的個數(shù)為_)解析：因為 a1，2，ba1，2，所以 ba，故滿足條件的集合 b 的個數(shù)為 224 個答案：4(教材習(xí)題改編)已知集合 ax|x 4x30，bx|2x4，則 ab_，22020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 2 頁 共 13 頁 ab_，( a)b_r解析：由已知得 ax|1x3，bx|2x4，所以 abx|2x3，abx|1x4，( a)bx|x1 或 x

5、2r答案：(2，3) (1，4) (，1(2，)集合的概念(自主練透)1(2018高考全國卷)已知集合 a(x，y)|x y 3，xz，yz，則 a 中元素的22個數(shù)為(a9c5)b8d4解析：選 a.法一：由 x2y23 知， 3x 3， 3y 3.又 xz，yz，所以 x1，0，1，y1，0，1，所以 a 中元素的個數(shù)為 c1c19，故選 a.33法二：根據(jù)集合 a 的元素特征及圓的方程在坐標(biāo)系中作出圖形，如圖，易知在圓 x2y23 中有 9 個整點，即為集合 a 的元素個數(shù)，故選 a.2已知集合 axn|1xlog k，集合 a 中至少有 3 個元素，則()2ak8bk8ck16dk16

6、解析：選 c.因為集合 a 中至少有 3 個元素，所以 log k4，所以 k2416，故選 c.23若集合 axr|ax 3x20中只有一個元素，則 a_298解析：當(dāng) a0 時，顯然成立；當(dāng) a0 時，(3)28a0，即 a .答案：0 或984已知集合 am2，2m m，若 3a，則 m 的值為_2解析：由題意得 m23 或 2m2m3，3則 m1 或 m .2當(dāng) m1 時，m23 且 2m2m3，根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意；321232當(dāng) m 時，m2 ，而 2m2m3，符合題意，故 m .2020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 3 頁 共 13 頁 答案：32b5設(shè) a，br

7、，集合1，ab，a 0， ， ，則 ba_babb解析：因為1，ab，a 0， ， ，a0，所以ab0，則 1，所以a1，baab1，所以 ba2.答案：2求解與集合中的元素有關(guān)問題的注意事項(1)如果題目條件中的集合是用描述法表示的集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點集還是其他類型的集合(2)如果是根據(jù)已知列方程求參數(shù)值，一定要將參數(shù)值代入集合中檢驗是否滿足元素的互異性集合的基本關(guān)系(典例遷移)(1)已知集合 ax|x x20，bx|1x1，則()2aa bcabbb adab(2)已知集合 ax|x 3x20，xr，bx|0x5，xn，則滿

8、足條件 acb2的集合 c 的個數(shù)為()a1c3b2d4(3)已知集合 ax|2x5，bx|m1x2m1，若 ba，則實數(shù) m 的取值范圍為_【解析】 (1)由題意知 ax|1x2，bx|1x1，則 b a.(2)因為 a1，2，b1，2，3，4，acb，則集合 c 可以為：1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4共 4 個(3)因為 ba，所以若 b，則 2m1m1，此時 m2.2m1m1，若 b，則 12，解得 m3.2m2m15.由可得，符合題意的實數(shù) m 的取值范圍為 m3.【答案】 (1)b (2)d (3)(，32020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 4 頁 共 13 頁 遷移

9、探究 1 (變條件)本例(3)中，若 b a，求 m 的取值范圍？解：因為 b a，若 b，成立，此時 m2.2m1m1，若 b，則 12，且邊界點不能同時取得，m2m15，解得 2m3.綜合，m 的取值范圍為(，3遷移探究 2 (變條件)本例(3)中，若 ab，求 m 的取值范圍12， m3，m解：若 ab，則即所以 m 的取值范圍為.2m15，m3.遷移探究 3 (變條件)若將本例(3)中的集合 a 改為 ax|x5，試求 m 的取值范圍解：因為 ba，所以當(dāng) b時，2m1m1，即 m52m14.m4m2綜上可知，實數(shù) m 的取值范圍為(，2)(4，)(1)判斷兩集合關(guān)系的方法對描述法表示

10、的集合，把集合化簡后，從表達(dá)式中尋找兩集合間的關(guān)系；對于用列舉法表示的集合，從元素中尋找關(guān)系(2)根據(jù)兩集合間的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系，常用數(shù)軸、venn圖等來直觀解決這類問題提醒 空集是任何集合的子集，當(dāng)題目條件中有 ba 時，應(yīng)分 b和 b兩種情況討論1已知集合 ax|y 1x ，xr，bx|xm ，ma，則()22aa bcabbb adba解析：選 b.由題意知 ax|y 1x2，xr，2020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 5 頁 共 13 頁 所以 ax|1x1所以 bx|xm2，max|0x

11、1，所以 b a，故選 b.2設(shè) m 為非空的數(shù)集，m1，2，3，且 m 中至少含有一個奇數(shù)元素，則這樣的集合 m 共有()a6 個c4 個b5 個d3 個解析：選 a.由題意知，m1，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，共 6 個3若集合 a1，2，bx|x mx10，xr，且 ba，則實數(shù) m 的取值范圍2為_解析：若 b，則 m240，解得2m2，符合題意；若 1b，則 12m10，解得 m2，此時 b1，符合題意；若 2b，則 222m10，521解得 m ，此時 b 2， ，不合題意2綜上所述，實數(shù) m 的取值范圍為2，2)答案：2，2)集合的基本運算(多維探究)角度一 集合的運

12、算(1)(2018高考全國卷)已知集合 ax|x10，b0，1，2，則 ab()a0b1c1，2d0，1，2(2)(2018高考全國卷)已知集合 ax|x x20，則 a()2rax|1x2bx|1x2cx|x2dx|x1x|x2(3)設(shè)集合 ay|y2 ，xr，bx|x 10，則 ab 等于()x2a(1，1)b(0，1)c(1，)d(0，)【解析】 (1)由題意知，ax|x1，則 ab1，2，故選 c.(2)法一：ax|(x2)(x1)0x|x2，所以 ax|1x2，故選 b.r法二：因為 ax|x2x20，所以 ax|x2x20x|1x2，故選 b.r2020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第

13、 6 頁 共 13 頁 (3)因為 ay|y0，bx|1x1，所以 ab(1，)，故選 c.【答案】 (1)c (2)b (3)c角度二 利用集合的運算求參數(shù)(1)已知集合 ax|x x120，bx|xm若 abx|x4，則實數(shù) m2的取值范圍是()a(4，3)c(3，4)b3，4d(，4(2)集合 a0，2，a，b1，a ，若 ab0，1，2，4，16，則 a 的值為()2a0c2b1d4(3)設(shè)集合 a0，4，bx|x 2(a1)xa 10，xr 若 abb，則實數(shù)22a 的取值范圍是_【解析】 (1)集合 ax|x3 或 x4，因為 abx|x4，所以3m4，故選 b.(2)根據(jù)并集的概

14、念，可知a，a 4，16，故只能是 a4.2(3)因為 a0，4，abb，所以 b a，分以下三種情況：當(dāng) ba 時，b0，4，由此可知，0 和4 是方程 x22(a1)xa210 的兩4（a1）24（ 21）0，a個根，由根與系數(shù)的關(guān)系，得 2（a1）4，解得 a ；1a210，當(dāng) b且 b a 時，b0或 b4，并且 4(a1)24(a21)0，解得 a1，此時 b0滿足題意；當(dāng) b時，4(a1)24(a21)0，解得 a1.綜上所述，所求實數(shù) a 的取值范圍是(，11【答案】 (1)b (2)d (3)(，11(1)集合運算的常用方法若集合中的元素是離散的，常用 venn圖求解；若集合中

15、的元素是連續(xù)的實數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時要注意端點的情況(2)利用集合的運算求參數(shù)的值或取值范圍的方法與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點值能否取到；2020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 7 頁 共 13 頁 若集合能一一列舉，則一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系，再列方程(組)求解提醒 在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗證(滿足互異性)1已知全集u1，2，3，4，5，6，集合p1，3，5，q1，2，4，則( p)qu()a1b3，5c1，2，4，6d1，2，3，4，5解析：選 c.因為 u1，2，3，4，5，6，p1，3，5，所以 p2，4，6，u因為 q1，2，4，所以( p)q

16、1，2，4，6u2若集合 ax|1x1，xr，bx|y x2，xr，則 ab()a0，1)b(1，)dc(1，1)2，)解析：選 c.由題意得 bx|x2，所以 abx|1x1 或 x2，故選 c.3(2019湖北名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟 4 月聯(lián)考)已知 a1，2，3，4，ba1，2a若 ab4，則 a(a3)b2c2 或 3d3 或 1解析：選 a.因為 ab4，所以 a14 或 2a4，若 a14，則 a3，此時 b4，6，符合題意；若2a4，則 a2，此時 b3，4，不符合題意，綜上，a3，故選a.4(2019洛陽市第一次統(tǒng)一考試)已知全集 ur，集合 ax|x 3x40，bx|22x2，則如圖所

17、示陰影部分所表示的集合為()ax|2x4bx|x2 或 x4dx|1x2cx|2x1解析：選 d.依題意得 ax|x4，因此 ax|1x4，題中的陰影部分r所表示的集合為( a)bx|1x2，選 d.r集合新定義問題中的核心素養(yǎng)2020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 8 頁 共 13 頁 am(1)定義集合的商集運算為 | ， ， ，已知集合 a2，4，6，m a n bx xbnkbbx|x 1，ka ，則集合 中的元素個數(shù)為()b2aa6c8b7d9(2)給定集合 a，若對于任意 a，ba，有 aba，且 aba，則稱集合 a 為閉集合，給出如下三個結(jié)論：集合 a4，2，0，2，4為閉集合；

18、集合 an|n3k，kz為閉集合；若集合 a ，a 為閉集合，則 a a 為閉集合1212其中正確結(jié)論的序號是_1 1 12 4 61bb【解析】 (1)由題意知，b0，1，2， 0， ， ， ，1， ，則 b3aa1 1 12 4 6130， ， ， ，1， ，2 ，共有 7 個元素，故選 b.(2)中，4(2)6a，所以不正確；中，設(shè)n ，n a，n 3k ，n 3k ，121122k ，k z，則 n n a，n n a，所以正確；中，令 a n|n3k，kz，a 12121212n|n 2k，kz，則 a ，a 為閉集合，但 3k 2k(a a )，故 a a 不是閉集合，所12121

19、2以不正確【答案】 (1)b (2)(1)以集合為背景的新定義問題常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發(fā)現(xiàn)”為目的，這類試題只是以集合為依托，考查考生對新概念的理解，充分體現(xiàn)了核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)抽象(2)解決集合的新定義問題的兩個切入點正確理解創(chuàng)新定義這類問題不是簡單的考查集合的概念或性質(zhì)問題，而是以集合為載體的有關(guān)新定義問題常見的命題形式有新概念、新法則、新運算等；合理利用集合性質(zhì)運用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運算與性質(zhì)1設(shè) a，b 是兩個非空集合

20、，定義集合 abx|xa，且 xb若 axn|0x5，bx|x27x100，則 ab(a0，1)b1，2c0，1，2d0，1，2，52020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 9 頁 共 13 頁 解析：選 d.a0，1，2，3，4，5，bx|2x5，所以 ab0，1，2，52設(shè) a 是整數(shù)集的一個非空子集，對于ka，如果k1a 且 k1a，那么 k 是 a 的一個“單一元”，給定 s1，2，3，4，5，6，7，8，由 s 的 3 個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“單一元”的集合共有_個解析：符合題意的集合為1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，共 6 個答案：6基礎(chǔ)題

21、組練1設(shè)集合 ax|x x20，集合 bx|1x1，則 ab()2a1，1c(1，2)b(1，1d1，2)解析：選 b.因為 ax|x2x20x|1x2，bx|1x1，所以 abx|1x1故選 b.2設(shè)集合 mx|x2k1，kz，nx|xk2，kz，則()amncnmbmndmn解析：選 b.因為集合 mx|x2k1，kz奇數(shù)，nx|xk2，kz整數(shù)，所以 mn.故選 b.3(2019湖南湘東五校聯(lián)考)已知集合ax|x 2x30，bx|yln(2x)，則 ab2()a(1，3)c1，2)b(1，3d(1，2)解析：選 c.ax|x22x30x|(x1)(x3)0x|1x3，bx|yln(2x)

22、x|2x0x|x2，則 ab1，2)，故選 c.4(2019山西八校第一次聯(lián)考)設(shè)集合 axz|x 3x40，bx|2 4，則 ab2x()a2，4)c3b2，4d2，3解析：選 d.法一：由 x23x40 得，1x4，因為 xz，所以 a0，1，2，3，由 2 4 得 x2，即 bx|x2，所以 ab2，3，故選 d.x法二：通過驗證易知 3a，3b，故排除選項a，b.同理可知 2a，2b，排除選項c.故選 d.5(2019合肥調(diào)研性檢測)已知集合 ay|ye ，xr，bxr|x x60，則x22020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 10 頁 共 13 頁 ab()a(0，2)b(0，3d2，

23、3c2，3解析：選 b.由已知得 a(0，)，b2，3，所以 ab(0，3，故選 b.6已知集合 ax|x1，bx|3 1，則()xaabx|x0cabx|x1babrdab解析：選 a.因為 3 130，所以 x0，所以 bx|x0，所以 abx|x0，axbx|x1故選 a.7已知全集為整數(shù)集 z.若集合 ax|y 1x，xz，bx|x 2x0，xz，則2a( b)(z)a2b1c2，0d2，1，0解析：選 d.由題可知，集合 ax|x1，xz，bx|x0 或 x2，xz，故 a( b)z2，1，0，故選 d.8.(2019太原模擬 )已知全集 ur，集合 ax|x(x2)0，bx|x|1

24、，則如圖所示的陰影部分表示的集合是()a(2，1)2)b1，01，d0，1c(2，1)0，1解析：選 c.因為集合 ax|x(x2)0，bx|x|1，所以 ax|2x0，bx|1x1，所 以 ab(2，1，ab1，0)，所以陰影部分表示的集合為 (ab)a b(2，1)0，1，故選 c.9(2019遼寧五校聯(lián)合體模擬)已知集合 px|x 2x80，qx|xa，pqr，2則 a 的取值范圍是(a(2，)c(，2)b(4，)d(，4解析：選 c.集合 px|x22x80x|x2 或 x4，qx|xa，若 pqr，則 a2，即 a 的取值范圍是(，2，故選 c.10(2019安徽安慶模擬)已知集合

25、a1，3，a，b1，a a1，若 ba，則實2數(shù) a(a1c1 或 2)b2d1 或1 或 2解析：選 c.因為 ba，所以必有 a2a13 或 a2a1a.2020 年高考理科數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第 11 頁 共 13 頁 若 a2a13，則 a2a20，解得 a1 或 a2.當(dāng) a1 時，a1，3，1，b1，3，滿足條件；當(dāng) a2 時，a1，3，2，b1，3，滿足條件若 a2a1a，則 a22a10，解得 a1，此時集合 a1，3，1，不滿足集合中元素的互異性，所以 a1 應(yīng)舍去綜上，a1 或 2.故選 c.b11設(shè)集合 a 5， ， ，bb，ab，1，若 ab2，1，則 aba ba_babb2，1，2，1，2.aaa解析：由 ab2，1，可得或當(dāng)時，此bab1ab2.ab1ba1，1，a時 b2，3，1，所以 ab1，2，3，5；當(dāng)時，此時不符合1，bab2題意，舍去答案：1，2，3，51812設(shè)x表示不大于 x 的最大整數(shù)，集合ax|x 2x3，b | 2 8 ，則ab2xx_18解析：不等式 2 8 的解為