裂項(xiàng)相消法求和附答案

1、裂項(xiàng)相消法利用列項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能 前面剩兩項(xiàng)，后面剩兩項(xiàng)，再就是通項(xiàng)公式列項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使列項(xiàng)前 后等式兩邊保持相等。(1)1若是an等差數(shù)列，則 a*anan 1 a*an 2 2d an an 2(2)n (n 1)(3)n(n k)1(1k n代)(4)(2n 1)(2 n 1)2(2n 12n 1(5)n(n 1)( n 2)2 n(n 1)(n 1)(n 2)(6)fn n 1、一 n(7)1已知數(shù)列：的前n項(xiàng)和為,.(1 )求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；htt =-(2)設(shè) ，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.” “ tlu . = 5

2、+ I)解析(1)“A?時(shí)，嚴(yán)s如得：第1頁(yè)共14頁(yè)分3在中令 ，有,即，分5故對(duì)2已知an是公差為d的等差數(shù)列，它的前 n項(xiàng)和為Sn, St=29+8.(I)求公差d的值；I .(I)若ai=i，設(shè)Tn是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求使不等式Tn恒成立的最大正整數(shù)m的值；-Srn)對(duì)所有的n I N*解析(I)設(shè)數(shù)列an的公差為d,I S=2S?+8,即 4ai+6d=2(2a i+d) +8，化簡(jiǎn)得:4d=8,解得d=2分4(I)由 ai=i, d=2,得 an=2n-1,分5T=2 2/r- 2n(nr jtn 又I不等式Tn對(duì)所有的n I N恒成立,第2頁(yè)共i4頁(yè).分.10丄丄“ 一呵I - -化

3、簡(jiǎn)得：m2-5m-60 解得：-1 m.6i m的最大正整數(shù)值為6.3. ）已知各項(xiàng)均不相同的等差數(shù)列an的前四項(xiàng)和S4=14，且ai,a3,a7成等比數(shù)列 （I求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（I設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求T2 012的值.答案（設(shè)公差為d,由已知得屮列心（3分）解得d=1或d=0（舍去）,Ii=2. （5分）故 an= n+1. (6 分)（=屮&】+町=：髭1：,（8分）11111IT=?衛(wèi) +豈_鼻+屮i*l|n+2 =I, h+2) . (10 分)5D3IT012=. (12 分)4. ）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，-=8n+4,設(shè)數(shù)列|a n|的前n項(xiàng)和為S,數(shù)列的前n項(xiàng)和為T

4、n.（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式求證/ WT1.答案（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則an=a1+（n-1）d. （2分）-=8n+4,I (n+1+an)(an+1-an)=d(2a1 -d+2nd)=8n+4.第3頁(yè)共14頁(yè)當(dāng) n=1 時(shí),d(2ai+d)=12;當(dāng) n=2 時(shí),d(2ai+3d)=20.解方程組糾得山二2或旭二-E(4分) 經(jīng)檢驗(yàn)知,an=2n或an =-2n都滿足要求I n =2n 或 an=-2n. (6 分)證明：由(1)知:an=2n或an=-2n.I |a|=2n.I n=n(n+1). (8 分)=:i(LHL = :_n+l1 I L 111IT=1也 +2-

5、3 + .+口+1 = 1工+1|. (10 分)1I WT n T 由得；，滿足I的最小正整數(shù)為72.（12 分）7在數(shù)列 ，：中，,且成等差數(shù)列，.；成等比數(shù)列(、).(I)求，印及忙心，九，由此歸納出歸，血的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論;F f解析(I)由條件得第7頁(yè)共14頁(yè)由此可得-二叭超二実心二必汽二乜S二小兀二力猜測(cè) |:,（4分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng) 1時(shí)，由上可得結(jié)論成立假設(shè)當(dāng) 時(shí)，結(jié)論成立，即= k（k +1）（九二（盤*1）2?那么當(dāng)2八I時(shí),=(A + 2): b.碼 4i = 2優(yōu) = 2左 + I 2 - kk +1) = (A + 1)(A + 2、=所以當(dāng)j -時(shí)，結(jié)

6、論也成立(7 分)由，可知對(duì)一切正整數(shù)都成立1 1 5=2時(shí)，由（d知?dú)熬哦ㄒ?）?。?（處1）甘111I學(xué)*所以1II ,=+ + ：, 6 2 2x3 3x4/葉十“1I 1 II 6 2 2 3 3 4朋燈口1第11頁(yè)共14頁(yè)綜上所述，原不等式成立 （12分）8已知數(shù)列“計(jì)的前用項(xiàng)和是嘰,(ncTO（I）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;（I）設(shè) = 1礎(chǔ)川-九）SieJO ,地址的正整數(shù)蟲的值.L+ll+_L r、s ,求使J007Hh成立的最小c 1.3_5 + _日| M 二 % M 解析(1 )當(dāng)盡一 1時(shí)，內(nèi)：遍，由 當(dāng)n-2時(shí),+(罠 f.J = 0W 口_ M 一為公比的等比數(shù)列.分4

7、3（4f （底巧咕喚宀如）分也1( + IX+3+1 n + 210072016= /7 2014故使100?:成立的最小的正整數(shù)的值-1分129.己知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列an的前四項(xiàng)和S4=14，且ai, a3, a7成等比數(shù)列.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;第13頁(yè)共14頁(yè)(II)設(shè)Tn為數(shù)列 最小值.的前n項(xiàng)和，若Tn/T 對(duì)創(chuàng)亠恒成立，求實(shí)數(shù)丄的解析122.( D設(shè)公差為d.由已知得切 +6t/ = l4(碼 4- 2d1 (分.3解得 J =)，所以 u = 1 故=H + 1Q ()匚進(jìn)心用- - r .11 2-7 -?（8 分）（12 分）第16頁(yè)共14頁(yè)11. 等差數(shù)列an各

8、項(xiàng)均為正整數(shù),ai=3,前n項(xiàng)和為3,等比數(shù)列bn中,bi=1,且b2S2=64,是公比為64的等比數(shù)列.（I 求 an 與 bn；（I證明：+ + 0,故q=.a1由 2a1+3a2=1 得 2a1+3ag=1,所以故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(I )n=log3a1+log3a2+logan=-(1+2+ +n)r(n+l)2211( n+1)=-2LI+ + =-2 一+ 婦+ +|=-.所以數(shù)列阮的前n項(xiàng)和為 韶.13. 等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，ai=3,其前n項(xiàng)和為Sn,bn為等比數(shù)列，bi=1,且 b2S2=16,b3S3=60.(I求 an 和 bn；1 1 1(I求為 + + +.答案(設(shè))an的公差為d,且d為正數(shù),bn的公比為q,an=3+( n_1)d,bn=qn-1,依題意有 b2S2=q (6+d)=16,b3S3=q2 (9+3d)=60,(分)解得 d=2,q=2.(4 分)故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6 分)(I )S3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分)所以J= + + +(10 分)si 2i+a=-.(12 分)14. 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足:Sn=nan-2n(n-1).等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,公比為a1,且T5=T3+2b5.(1)求數(shù)列an的通