合肥工業(yè)大學電磁場與電磁波(孫玉發(fā)版)第4章答案

1、合肥工業(yè)大學電磁場與電磁波（孫玉發(fā)版）第4章答案本頁僅作為文檔封面，使用時可以刪除This document is for reference only-rar21 year.Marchx第四章習題解答【】如題圖所示為一長方形截面的導體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零.上邊蓋扳的電位為 “0,求槽內的電位函數(shù)。解根據(jù)題慰.電位0(x,y)滿足的邊界條件為0(0,刃=(pa. y)=0：(a0) = 0：ksinh()sin(?)由條件，有 ZiaUq = A,sinh( ) sin(匕丄)-Iaannx,zc/n r mx、，兩邊同乘以sin(),并從o到a對x積分

2、，得到厲= 一sin()dx =atzsinh( n7rb： a) J a4/2U(1 cos,?jt)=7?-Tsinh( n7rb/a),/, z 1 = 1,3,5，/irsinn( n7rb/a)0 t刃=2,4,6，z 、4()匸1 | nny nnx故得到槽內的電位分布0(圮刃=- Y sinh()sin()7t . n sinh(7?7r/?/6/) aa兩平行無限大導體平面.距離為其間有一極薄的導體片由y = d到y(tǒng) = b(svxvs)。上板和薄片保持電位()，下板 保持零電位.求板間電位的解。設在薄片平而上.從y = 0到y(tǒng) = d 電位線性變化，(0, y) = U()y

3、/d .理，設板何的電位為刃=% (x, y)+卩2 (忑 y)存在薄片的平行無限大導體平而間(電斥為f/0)的電位.即 5(x, y) =: a，y)是兩個電位為零的平行導體板間有導邊界條件為：卩(兀 0) = 02(兀)=0 8) 02(O,y) = 0(O,y)-(O,y) = (0 yd):根據(jù)條件和，可設(p2(x. y)的通解為(d y b)n/cy0 (x, y) = Y 4, sin( )e：由條件有 乞 A” sin(二二)= b/.-Ib(OSyS )(d y 0(y-oo)(p(x = U0電位0和xvO兩個區(qū)域.則這兩個區(qū)域中的電位%(九刃和02(匕刃都滿足拉普拉斯方程

4、。而在x = 0的分界面上，可利用5函數(shù)將線電荷如表示成電荷面密度 b(y) = qQ(y-)b)。電位的邊界條件為mnp由式(2).得8戻(幀)0y丄a題圖0(X,O)=0(X,G)= O ,卩(兒)=02(X，d)=(p(X, y) t 0 (x - oo) f (p2(x. y) - 0 (x t -s)0i(ay) = 02()3x(1)由條件和，可設電位函數(shù)的通解為0心,刃= A啟一 sin（空）角Q由條件，有(x 0) (x，y) = Y B嚴w sin(-)(x0）磯 nl fl aCl0 （x,y） =丄血（旦）嚴眺 sin（空）（x 0）叭 Ti n aa如題圖所示的矩形導休

5、槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電荷。求槽內的電位函數(shù)。解由于在C5，y（）處有一與z軸平行的線電荷g八以x = x0為界將場空間分割為0 x x0和兀v x v a兩個區(qū)域.則這兩個區(qū)域中的電位（p、（X, y）和（p2（x.刃都滿足拉普拉斯 方程。而在x = x0的分界面上.可利用5函數(shù)將線電荷表示成電荷而密度 b（y） = aQ（y-）b）電位的邊界條件為 01（0”）=0, 02（，刃=0, 0i（x,O）二 0（x,Z?） = O, （x,0）=（xe）= 0 （勺，）=02（如，）（詈一讐）L- =學/（一凡） 由條件和，可設電位函數(shù)的通解為01 （俎y）= XAr sin（-r

6、-）smh（-）（0xx0）bb0，（x，y）= B”sin（）sinh?（-_） （x0 x）X4 sin（牛藥sinh（耳= 耳 sin（牛丄）sinh牛（a-x。） 鋁bb 粽bb兀x（、二 c 口兀.川兀y、. nn,“、）一 丫場sin（j）cosh（a-x。） = 一6（丁一兒）（2）結 b bbs（）由式，可得 A sinh（n；rX） - B sinh （a-xo） = Obb將式（2）兩邊同乘以sin（冬竺），并從0到b對積分，有b二 nn ii7ryS4TS1n()cosh(w-1從?。梗?恥兩#（“-心）=誥匸恥-北）血（罟）2=誥血（乎）由式(3)和(4)解得4 =色

7、sinh(-x0)sin(-)sinh(ii7ra/b) h7T() bhB”=- sinh(竺勺)sin(竺蜀sinh(n/rq )nrrsbb故 也匕,)，)= sinh牛一勺) sin(氣巴)sinh(罕3sin(罕 J, (0 x nsinh(n7ra/b) bbbb(忑刃二玉工 sinh(4 sin()sinh字(一x)sin(乎),(xQ x a)碣 H sinhQzw b)bbbb若以y =)b為界將場空間分割為o v y 弘和)b y v方兩個區(qū)域，則可類似地得到 （圮刃=工T： smh（b 兒）1 sin（） sinh（ ） sin（）（0 y 兒）碣=“ sinh（/?7r

8、p/ a）aaaa（兀 刃=y-smh（）sm（ ）sinh（b- y）sm（）（y0 y 一耳/cos0 + C （r oo）由此可設 卩（幾。）=-E0rcos +Ajr1 cos0 + C由條件，有-C）acos0 +cos0 + C = C于是得到4 =aE（）,故圓柱外的電位為（p（i（/） = （-r + a2rl ）E0 cos+ C 若選擇導體圓柱表面為電位參考點，即0（d） = 0.則C = 0。導體圓柱外的電場則為d(p1 d(pa1a2E卞0(兒。)er 亦 % 廠訶-S(l + =)oCos0 + s(-l + =)EoSin0導體圓柱表面的電荷面密度為b = 一5嚴、

9、=20E0cosdr*如題圖所示.一無限長介質圓柱的半徑為介電常數(shù)為，在距離軸線a ）處有一與圓柱平行的線電荷才，il算空 間各部分的電位。解在線電荷g作用下，介質圓柱產生極化，介質圓柱內外的電位卩（匚0）均為線電荷如的電位口（人0）與極化電荷的電位冷（幾0）的疊加.即卩（幾0） = （幾0） +殊（匚0）。線電荷的電位為而極化電荷的電位禺（匚0）滿足拉普拉斯方程，且是0的偶函數(shù)。介質惻柱內外的電位0（幾0）和 卩（匚0）滿足的邊界條件為分別為（0,砒為有限值：02（人。）一as） r = a時，（p=（p、絲= dr dr(0 r a)由條件和可知，5（人0）和（八0）的通解為01 (匚 0

10、)=馮(八。)+ 工 AnrH cos Mn-l02(匚 0)= 5(匚 0)+cos n(/) (a r oo)(3)71-1將式（1）（3）帶入條件.可得到(4)f (恥加+3,剛廠 n=l二 1)cosM = D 0 dinRr=u(5)當rH-)/l-lAnnal! +耳弘（廠心（一竊）/（/嚴2知 a 4（ （）1G（ 勺）d，由此解得 九=一 一 ,色=一 :故得到圓柱內.外的電位分別為2兀（）（ + （）A）2/（）（ + （） M）(8)（p （幾0）=In Jr + ?;； - 2rr（） cos（/）- （*V- （）r, cos詢2磯2碣（ +匂）的“）% （r, 0）

11、= In Jr，+斥-2ncos0 - 色“二包）y 1 （）n cos n（/2磯2碣（ +匂）粽舁討論：利用式（6）,可將式（8）和（9）中得第二項分別寫成為-色心二包）V-（-）1 cosM =恥一）（in 尺一h“）2碣（ + （）帥 r02磯（ + o）_恥-6） 丄（尤）,0財=心一可（M一 1）2兀勺）（ + （） n-i 戸人/2九（ + ）其中R = yjr2+（a2/r（）2 -2r（2/）cos。因此可將（幾砒和（匚）分別寫成為 %（“） = 產泌 In/?爾:-%）嚴2碣 + （）2碣（ + ）卩心0）=_厶訕_1一（7皿1叔_1 （一勺皿1”2 磯 +2 叭 + 旬由

12、所得結果可知.介質圓柱內的電位與位于（G，0）的線電荷 G的電位相同，而介質惻柱外的電位相為干三根線電荷所產 + 生，它們分別為：位于（仏，0）的線電荷如：位于（.0）的線電荷一位于廠=0的線電荷仝4。心 +*在均勻外電場E（）=ezE）中放入半徑為“的導體球設（1）導體充電至（2）導體上充有電荷0。試分別訃算兩種情況 下球外的電位分布。解（1）這里導體充電至“應理解為未加外電場E（）時導休球相對于無限遠處的電位為”,此時導體球面上的電荷密度 cr = pja，總電荷q = 47r“iUQ將導體球放入均勻外電場中后，在E（）的作用下.產生感應電荷.使球面上的電荷密度發(fā) 生變化.但總電荷9仍保持

13、不變，導體球仍為等位體。設卩（八&） = %（/） + %（/）,其中（pQ（r.0） = -Eoz = -Eorcos01是均勻外電場E（）的電位.（匚&）是導體球上的電荷0（,0） = C（）, _（）g 喬dS = g產生的電位。電位卩（幾&）滿足的邊界條件為廠 t S時.-E0rcos : r = a 時,其中C為常數(shù)，若適、“|選擇0（匚&）的參考點，可使Cq=U。由條件，可設（p（r,O） = -EQrcos0 + Ar2 cos0 + G 代入條件.可得到 A = ayE（）. = aU（） 9 C = C（） -U若使G = U）.可得到 p（r%0） = -EQrcos0 +

14、 ayEor2 cos0 + aUQr（2）導體上充電荷Q時.令Q = 40i/0,有i/0 =利用（1）的結果，得到（P（ 0） = -Eor cos 0 + uEr2 cos）為有限值：02（A&）tO （r - oo）:t = Pcos “）2, 2 知 T）系數(shù)。內、外的電位分別為（匚0）和卩（幾&）,則邊界條件為: （0,0）為有限值：2（A&）t0 （r - oo）解以細導線惻環(huán)所在的球ifii r = a把場區(qū)分為兩部分，分別寫出兩個場域的通解并利用5函數(shù)將細導線惻環(huán)上的線電荷0表示 成球面r = a上的電荷面密度再根據(jù)邊界條件確定設球面r = aX (%) = 02 坨巒-勢L

15、廣島泌根據(jù)條件和.可得0|(八&)和(廠,0)的通解為(r,&) = /W(cos&)(1) .(p2(r,6) = 2Plt(cos0) (2)“()口代入條件，有 Anan = Bn(r1 (3) &加1+優(yōu)( + 1)八7 比(cos&)= _ J(cos) (.4)n=02 隔X將式（4）兩端同乘以匕（cos&）sin&,并從0到兀對6進行積分，得:+ 呼J（cos0）Pn（cos0）sin060 =：+ 撃 E(0)47T()cr(5)n = 1,3,5,0（_1）/2 1 32 4 6畀由式（3）和，解得An=/；r（0）t耳=纟一代（0），代入式和（2）,即得到4碣。4磯1 一秒 G ） P, （COS 6） 4-其中 (0)=n = 2,4,6,3巳(COS&) +中=亠4疋（Z2 = 4（【】如題圖所示，一個點電荷g放在60的接地導體角域內的點（1, i,o）處。求：（1）所有鏡像電荷的位宜和大?。海?）點 x = 2.y = 1處的電位。解（1）這是一個篡重鏡像的問題，共有5個像電荷，分布在以點電荷g到角域頂點的距離為半徑的圓周上并且關于導體平面對 其大小和位宜分別為x： = V2cos75 =0.366,6,廠02=6y； = V2sin 75 = 1.366x； = V2cosl95 =-1.366 丄=sin 195 =0.366 Jx； =