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1、合肥工業(yè)大學電磁場與電磁波(孫玉發(fā)版)第4章答案本頁僅作為文檔封面,使用時可以刪除This document is for reference only-rar21 year.Marchx第四章習題解答【】如題圖所示為一長方形截面的導體槽,槽可視為無限長,其上有一塊與槽相絕緣的蓋板,槽的電位為零.上邊蓋扳的電位為 “0,求槽內的電位函數(shù)。解根據(jù)題慰.電位0(x,y)滿足的邊界條件為0(0,刃=(pa. y)=0:(a0) = 0:ksinh()sin(?)由條件,有 ZiaUq = A,sinh( ) sin(匕丄)-Iaannx,zc/n r mx、,兩邊同乘以sin(),并從o到a對x積分

2、,得到厲= 一sin()dx =atzsinh( n7rb: a) J a4/2U(1 cos,?jt)=7?-Tsinh( n7rb/a),/, z 1 = 1,3,5,/irsinn( n7rb/a)0 t刃=2,4,6,z 、4()匸1 | nny nnx故得到槽內的電位分布0(圮刃=- Y sinh()sin()7t . n sinh(7?7r/?/6/) aa兩平行無限大導體平面.距離為其間有一極薄的導體片由y = d到y(tǒng) = b(svxvs)。上板和薄片保持電位(),下板 保持零電位.求板間電位的解。設在薄片平而上.從y = 0到y(tǒng) = d 電位線性變化,(0, y) = U()y

3、/d .理,設板何的電位為刃=% (x, y)+卩2 (忑 y)存在薄片的平行無限大導體平而間(電斥為f/0)的電位.即 5(x, y) =: a,y)是兩個電位為零的平行導體板間有導邊界條件為:卩(兀 0) = 02(兀)=0 8) 02(O,y) = 0(O,y)-(O,y) = (0 yd):根據(jù)條件和,可設(p2(x. y)的通解為(d y b)n/cy0 (x, y) = Y 4, sin( )e:由條件有 乞 A” sin(二二)= b/.-Ib(OSyS )(d y 0(y-oo)(p(x = U0電位0和xvO兩個區(qū)域.則這兩個區(qū)域中的電位%(九刃和02(匕刃都滿足拉普拉斯方程

4、。而在x = 0的分界面上,可利用5函數(shù)將線電荷如表示成電荷面密度 b(y) = qQ(y-)b)。電位的邊界條件為mnp由式(2).得8戻(幀)0y丄a題圖0(X,O)=0(X,G)= O ,卩(兒)=02(X,d)=(p(X, y) t 0 (x - oo) f (p2(x. y) - 0 (x t -s)0i(ay) = 02()3x(1)由條件和,可設電位函數(shù)的通解為0心,刃= A啟一 sin(空)角Q由條件,有(x 0) (x,y) = Y B嚴w sin(-)(x0)磯 nl fl aCl0 (x,y) =丄血(旦)嚴眺 sin(空)(x 0)叭 Ti n aa如題圖所示的矩形導休

5、槽的電位為零,槽中有一與槽平行的線電荷。求槽內的電位函數(shù)。解由于在C5,y()處有一與z軸平行的線電荷g八以x = x0為界將場空間分割為0 x x0和兀v x v a兩個區(qū)域.則這兩個區(qū)域中的電位(p、(X, y)和(p2(x.刃都滿足拉普拉斯 方程。而在x = x0的分界面上.可利用5函數(shù)將線電荷表示成電荷而密度 b(y) = aQ(y-)b)電位的邊界條件為 01(0”)=0, 02(,刃=0, 0i(x,O)二 0(x,Z?) = O, (x,0)=(xe)= 0 (勺,)=02(如,)(詈一讐)L- =學/(一凡) 由條件和,可設電位函數(shù)的通解為01 (俎y)= XAr sin(-r

6、-)smh(-)(0xx0)bb0,(x,y)= B”sin()sinh?(-_) (x0 x)X4 sin(牛藥sinh(耳= 耳 sin(牛丄)sinh牛(a-x。) 鋁bb 粽bb兀x(、二 c 口兀.川兀y、. nn,“、)一 丫場sin(j)cosh(a-x。) = 一6(丁一兒)(2)結 b bbs()由式,可得 A sinh(n;rX) - B sinh (a-xo) = Obb將式(2)兩邊同乘以sin(冬竺),并從0到b對積分,有b二 nn ii7ryS4TS1n()cosh(w-1從?。梗?恥兩#(“-心)=誥匸恥-北)血(罟)2=誥血(乎)由式(3)和(4)解得4 =色

7、sinh(-x0)sin(-)sinh(ii7ra/b) h7T() bhB”=- sinh(竺勺)sin(竺蜀sinh(n/rq )nrrsbb故 也匕,),)= sinh牛一勺) sin(氣巴)sinh(罕3sin(罕 J, (0 x nsinh(n7ra/b) bbbb(忑刃二玉工 sinh(4 sin()sinh字(一x)sin(乎),(xQ x a)碣 H sinhQzw b)bbbb若以y =)b為界將場空間分割為o v y 弘和)b y v方兩個區(qū)域,則可類似地得到 (圮刃=工T: smh(b 兒)1 sin() sinh( ) sin()(0 y 兒)碣=“ sinh(/?7r

8、p/ a)aaaa(兀 刃=y-smh()sm( )sinh(b- y)sm()(y0 y 一耳/cos0 + C (r oo)由此可設 卩(幾。)=-E0rcos +Ajr1 cos0 + C由條件,有-C)acos0 +cos0 + C = C于是得到4 =aE(),故圓柱外的電位為(p(i(/) = (-r + a2rl )E0 cos+ C 若選擇導體圓柱表面為電位參考點,即0(d) = 0.則C = 0。導體圓柱外的電場則為d(p1 d(pa1a2E卞0(兒。)er 亦 % 廠訶-S(l + =)oCos0 + s(-l + =)EoSin0導體圓柱表面的電荷面密度為b = 一5嚴、

9、=20E0cosdr*如題圖所示.一無限長介質圓柱的半徑為介電常數(shù)為,在距離軸線a )處有一與圓柱平行的線電荷才,il算空 間各部分的電位。解在線電荷g作用下,介質圓柱產生極化,介質圓柱內外的電位卩(匚0)均為線電荷如的電位口(人0)與極化電荷的電位冷(幾0)的疊加.即卩(幾0) = (幾0) +殊(匚0)。線電荷的電位為而極化電荷的電位禺(匚0)滿足拉普拉斯方程,且是0的偶函數(shù)。介質惻柱內外的電位0(幾0)和 卩(匚0)滿足的邊界條件為分別為(0,砒為有限值:02(人。)一as) r = a時,(p=(p、絲= dr dr(0 r a)由條件和可知,5(人0)和(八0)的通解為01 (匚 0

10、)=馮(八。)+ 工 AnrH cos Mn-l02(匚 0)= 5(匚 0)+cos n(/) (a r oo)(3)71-1將式(1)(3)帶入條件.可得到(4)f (恥加+3,剛廠 n=l二 1)cosM = D 0 dinRr=u(5)當rH-)/l-lAnnal! +耳弘(廠心(一竊)/(/嚴2知 a 4( ()1G( 勺)d,由此解得 九=一 一 ,色=一 :故得到圓柱內.外的電位分別為2兀()( + ()A)2/()( + () M)(8)(p (幾0)=In Jr + ?;; - 2rr() cos(/)- (*V- ()r, cos詢2磯2碣( +匂)的“)% (r, 0)

11、= In Jr,+斥-2ncos0 - 色“二包)y 1 ()n cos n(/2磯2碣( +匂)粽舁討論:利用式(6),可將式(8)和(9)中得第二項分別寫成為-色心二包)V-(-)1 cosM =恥一)(in 尺一h“)2碣( + ()帥 r02磯( + o)_恥-6) 丄(尤),0財=心一可(M一 1)2兀勺)( + () n-i 戸人/2九( + )其中R = yjr2+(a2/r()2 -2r(2/)cos。因此可將(幾砒和(匚)分別寫成為 %(“) = 產泌 In/?爾:-%)嚴2碣 + ()2碣( + )卩心0)=_厶訕_1一(7皿1叔_1 (一勺皿1”2 磯 +2 叭 + 旬由

12、所得結果可知.介質圓柱內的電位與位于(G,0)的線電荷 G的電位相同,而介質惻柱外的電位相為干三根線電荷所產 + 生,它們分別為:位于(仏,0)的線電荷如:位于(.0)的線電荷一位于廠=0的線電荷仝4。心 +*在均勻外電場E()=ezE)中放入半徑為“的導體球設(1)導體充電至(2)導體上充有電荷0。試分別訃算兩種情況 下球外的電位分布。解(1)這里導體充電至“應理解為未加外電場E()時導休球相對于無限遠處的電位為”,此時導體球面上的電荷密度 cr = pja,總電荷q = 47r“iUQ將導體球放入均勻外電場中后,在E()的作用下.產生感應電荷.使球面上的電荷密度發(fā) 生變化.但總電荷9仍保持

13、不變,導體球仍為等位體。設卩(八&) = %(/) + %(/),其中(pQ(r.0) = -Eoz = -Eorcos01是均勻外電場E()的電位.(匚&)是導體球上的電荷0(,0) = C(), _()g 喬dS = g產生的電位。電位卩(幾&)滿足的邊界條件為廠 t S時.-E0rcos : r = a 時,其中C為常數(shù),若適、“|選擇0(匚&)的參考點,可使Cq=U。由條件,可設(p(r,O) = -EQrcos0 + Ar2 cos0 + G 代入條件.可得到 A = ayE(). = aU() 9 C = C() -U若使G = U).可得到 p(r%0) = -EQrcos0 +

14、 ayEor2 cos0 + aUQr(2)導體上充電荷Q時.令Q = 40i/0,有i/0 =利用(1)的結果,得到(P( 0) = -Eor cos 0 + uEr2 cos)為有限值:02(A&)tO (r - oo):t = Pcos “)2, 2 知 T)系數(shù)。內、外的電位分別為(匚0)和卩(幾&),則邊界條件為: (0,0)為有限值:2(A&)t0 (r - oo)解以細導線惻環(huán)所在的球ifii r = a把場區(qū)分為兩部分,分別寫出兩個場域的通解并利用5函數(shù)將細導線惻環(huán)上的線電荷0表示 成球面r = a上的電荷面密度再根據(jù)邊界條件確定設球面r = aX (%) = 02 坨巒-勢L

15、廣島泌根據(jù)條件和.可得0|(八&)和(廠,0)的通解為(r,&) = /W(cos&)(1) .(p2(r,6) = 2Plt(cos0) (2)“()口代入條件,有 Anan = Bn(r1 (3) &加1+優(yōu)( + 1)八7 比(cos&)= _ J(cos) (.4)n=02 隔X將式(4)兩端同乘以匕(cos&)sin&,并從0到兀對6進行積分,得:+ 呼J(cos0)Pn(cos0)sin060 =:+ 撃 E(0)47T()cr(5)n = 1,3,5,0(_1)/2 1 32 4 6畀由式(3)和,解得An=/;r(0)t耳=纟一代(0),代入式和(2),即得到4碣。4磯1 一秒 G ) P, (COS 6) 4-其中 (0)=n = 2,4,6,3巳(COS&) +中=亠4疋(Z2 = 4(【】如題圖所示,一個點電荷g放在60的接地導體角域內的點(1, i,o)處。求:(1)所有鏡像電荷的位宜和大?。海?)點 x = 2.y = 1處的電位。解(1)這是一個篡重鏡像的問題,共有5個像電荷,分布在以點電荷g到角域頂點的距離為半徑的圓周上并且關于導體平面對 其大小和位宜分別為x: = V2cos75 =0.366,6,廠02=6y; = V2sin 75 = 1.366x; = V2cosl95 =-1.366 丄=sin 195 =0.366 Jx; =

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