立體幾何典型問題的向量解法

1、立體幾何中幾類典型問題的向量解法空間向量的引入為求立體幾何的空間角和距離問題、證線面平行與垂直以及解決立體幾何的探索性試題提供了簡便、快速的解法。它的實用性是其它方法無法比擬的，因此應(yīng)加強運用向量方法解決幾何問題的意識，提高使用向量的熟練程度和自覺性，注意培養(yǎng)向量的代數(shù)運算推理能力，掌握向量的基本知識和技能，充分利用向量知識解決圖形中的角和距離、 平行與垂直問題。一、利用向量知識求點到點，點到線，點到面，線到線，線到面，面到面的距離(1) 求點到平面的距離除了根據(jù)定義和等積變換外還可運用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一個法向量的坐標，再求出已知點P與平面內(nèi)任一點uuirM構(gòu)成的向量MP的

2、坐uJLTr uurMP?cos n,MP標，那么P到平面的距離dr 111 ruuu(2) 求兩點P,Q之間距離，可轉(zhuǎn)化求向量 PQ的模。uuu uuuQB,PQuuu uuurAB 或 PQunr(3)求點P到直線AB的距離，可在 AB上取一點Q，令A(yù)Q的最小值求得參數(shù)uuu，以確定Q的位置，貝y PQ為點P到直線AB的距離。還可以在 AB上.uuur .-任取一點Q先求cos PQ, AB ，再轉(zhuǎn)化為sin PQ, AB，則PQsin PQ, AB為 點P到直線AB的距離。r(4)求兩條異面直線12之間距離，可設(shè)與公垂線段 AB平行的向量n , C,D分別是li,l2上uur rCD?

3、n的任意兩點，貝V h,*之間距離 AB 一rn例 1：設(shè) A(2,3,1), B(4,1,2), C(6,3,7), D( 5, 4,8)，求點 D 到平面 ABC 的距離例2：如圖，正方形 ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面 ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動，點 N在BF上移動，若CM BN a (0 a 2)。例3：正方體 ABCD A1B1C1D1的棱長為1,求異面直線 AQ,與AB,間的距離y面ACD1的距離。所成的角為uuuarccosatuAB? CD(2)設(shè)AB是平面 的斜線，且B ,BC是斜線AB在平面內(nèi)的射影，則斜線AB與例4：如圖，在長方體 ABCD A

4、1B1C1D1中，AB點評：若n是平面 的法向量，AB是平面 的一條斜線段，且B ，則點A到平面 的uuu rAB? n距離d 一r，平行平面之間的距離轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，變?yōu)樾本€在法向量上的射 n影。二、利用向量知識求線線角，線面角，二面角的大小。C, D是直線12上的任意兩點，則11,12(1)設(shè)1(2是兩條異面直線，A,B是11上的任意兩點,uuu uurUJU UJU平面 所成的角為 arccosiUUU|tuur-AB?BC。設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線,luu rUUUarccos-uuu-T2AB?n則AB與平面所成的角為，或者 arcs intuur-TAB?nO

5、ir uu(3)設(shè)是二面角I 的面ir uu的法向量，則m,n2arc cos-trni?n2LT ni?就是PD 底面 ABCD AD=PD E, F 分D.面角的平面角或補角的大小。EF分別是BC, AD的中點,例5：在棱長為a的正方體 ABCD abcd中,(1) 求直線AC與DE所成角；(2) 求直線AD與平面BEDF所成的角，(3) 求平面B EDF與平面ABCD所成的角例6：如圖，四棱錐 P ABCD中，底面ABCD為矩形, 別CD PB的中點.(I) 求證：EF 平面PAB(H)設(shè)AB/2 BC求AC與平面AEF所成角的大小EDB例7：如圖，PA 平面ABC ,AC BC, PA

6、 AC 1, BC . 2，求二面角 A PB C 的大小。點評：如果 AB,CD分別是二面角I兩個面內(nèi)的兩條直線，且A I,C I,uuu uuuAB I,CD I，則二面角的大小為AB,CDC點A , B ,AC l于點C ,AB與CD所成角的大小，(2)直線=BC = 1 , ad -.求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.2點評：用向量知識求二面角的大小時，是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題，(1) 當法向量 山與n的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于法向量IT UU厲與n，的夾角的大小。ur uu(2) 當法向量 門與n2的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)

7、時，二面角的大小等于法向量it urr uu厲與n,的夾角的補角ni,n,。三、利用向量知識解決平行與垂直問題。例9:如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C中，AC= 3, BC= 4, AA= 4, AB 5,點D是AB的中點， (I)求證轉(zhuǎn)化ACL BC;(轉(zhuǎn)化)求證：AiCiC (1)證明：DiE丄AD;(2) 當E為AB的中點時，求點 E到面ACD的距離；(3) AE等于何值時，二面角 Di EC D的大小為一.4四、利用向量知識解決立體幾何中的探索性問題。Ci例 11.如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AC 3, BC 4, AB 5, AA 4 /.A(1)求證AC BC1

8、； (2)在AB上是否存在點D使得AG CD ?A1B1(3)在AB上是否存在點 D使得A1C /平面CDB1五、專題突破：1、如圖：已知二面角 丨 的大小為120 ,BD l于 D，且 AC CD DB 1，求(1)直線AB與CD的距離。2、如圖，在四棱錐 P ABCD中, PD丄底面ABCD底面ABCD為正方形，PD=DC E、F分別是AB PB的中點.(I)求證：EF CD(H)在平面 PAD內(nèi)求一點G,使GF丄平面PCB并證明你的結(jié)論;(川)求DB與平面DEF所成角的大小.3、如圖,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，/ ACB=90 , CB=1,CA=/3, AAi=J6,M 為

9、側(cè)棱 CG上AB一點，AM BA!.C(1)求證：AM 平面A1BC ;(2 )求二面角 B- AM- C的大小;(3) 求點C到平面ABM的距離.4、如圖，ABCD AiBiCiDi是正四棱柱，側(cè)棱長為 3,底面邊長為2, E是棱BC的中點。(I)求證：BD1C1DEC1 DE C BB1 P CP C1DE iC (I)證明：AB 丄 BC;(II )求點B到平面ABCi的距離.(III )求二面角 C ABAi的大小6、( 2006年湖南卷)如圖4,已知兩個正四棱錐 P-ABCD與 Q-ABCD勺高分別為1和2,AB=4.( I ) 證明PQ!平面ABCD;(H )求異面直線AQ與 PB

10、所成的角；I(川)求點P到平面QAD勺距離.AQ圖47、( 2006年全國卷II )如圖，在直三棱柱 ABC- ABC中，AB= BC D E分別為BB、AG 的中點.(I)證明：ED為異面直線 BB與AC的公垂線；(H)設(shè) AA= AC= 2AB求二面角 A AD- C的大小.BiDB參考答案:例1 :解：設(shè)平面ABC的法向量r uuu(x, y, z),Q n?ABr uur0,n?AC 0，所以(x,y,z)?(2, 2,1 ) (x,y,z)?(4,0,6)2x4x2y6z3 z2zz 2,則 n (3,2,2),cosr ujun, AD7) 2(7) 2 732 2 2 ( 2)2

11、 ? ( 7)2(7)2 72所以設(shè)D到平面ABC的距離為d , dimrAD?r ummr cos n, AD49.1749 1717例2：解：建立如圖所示空間直角坐標系O xyz.uuuu a uuu aFeoaBwawMM(1、2)AC 門(o11)uuurBNa2uuu uuurBF, ANuuuuuuuruuuuMNANAMuu a uur AB AF421 _-y=(aJ2 a,0)uuur(2)由 MN/a(3) QaMNA與uu uucos m ,n24uum-=(a,0, a J2) MN V2I 222)uuuuMNuuur (a ；)2 ；(0paJ)舟得auuurMNm

12、in1 uuur1uuur(1,0 1),又 MA (0, 1, 1),MB2 21 (0,1, 1)所以可求得平面2iruu平面 MNB的法向量分別為 n ( 1,1, 1),n2(1,1,1),所以1arccos-3y3例4:解：Q BC1/AD1, AD1平面ACD1,BG 平面 ACD1，同理A1B/ 平面 ACD1,又AB I BC1 B,平面ABC,/平面ACD，建立直角坐標系 D xyz，Q ABunrAB4,BC(0,4,y向量，則nrujuu由n BGxAB、12 r 2 1不妨設(shè) z 1, y ,x , n （-，1）233 2二、禾U用向量知識求線線角，線面角，二面角的大

13、小。例5:如圖建立坐標系,A(0,0,a),C(a,a,0), D(0,a,0), E(a,|,0)uurACuuu(a,a, a), DE(a,a 、,0)，cosLuu- uurAC,DEUlJUT UJLT AC ?DE 15-UttF-UJtTAC?DE15故AC與DE所成的角為arccos15（2）Q ADE ADF ,所以AD在平面BEDF內(nèi)的射影在 EDF的平分線上，又BEDF為菱形，DB為 EDF的平分線，故直線 AD與平面 BEDF所成的角為DA ? DBUJJ DA?ULUUDBuuu uuuu3ADB，建立如圖所示坐標系，貝 U A(0,0,0), B(a,0, a),

14、D(0,a,0)uuuuuutuuu ujiuDA (0, a,0), DB (a, a, a) , cos DA, DBa由 A(0,0,0), A(0,0, a), B (a,0,a), D(0,a,0), E(a,-,0)故AD與平面B EDF所成角為arccosmAA(0,0, a)下面求平面BEDF的法向量，設(shè) n (1,y,z)r uurULJTaUUJan?ED0y2rED(a, ,0), EB(0,a),r unrn (1,2,1)22n ?EB0z1所以平面ABCD的法向量為UlTUcosn, mit r m?n，所以平面BEDF與平面ABCD所成的角arccos丄66 6,

15、由C,D是直線12上的任意兩點,點評：（1）設(shè)I1,12是兩條異面直線， A, B是h上的任意兩點，11,12所成的角為 arccos-rmjjTUJTAB?CDUUU UUU（2）設(shè)AB是平面 的斜線，且B ,BC是斜線AB在平面 內(nèi)的射影，則斜線AB與uuu UJU平面 所成的角為 arccou!AB ? BCir uu(3)設(shè)n1,n2是二面角l 的面ur uu的法向量，貝Unn?arc cos -upn1?n2urn1 ?就是(I)證明：建立空間直角坐標系(如圖)設(shè) AD=PD=1 AB=2a (a0),貝V E(a,0,0),1 1uuy1 1C(2a,0,0),A(0,1,0),B

16、(2a,1,0),P(0,0,1),F(a, , ) 得EF(0, ,)，2 22 2uuvuuvuuvuuv1 1uuivuuvPB (2 a,1,1), AB(2a,0,0).由EFAB(0,匚，)(2a,0,0)0 ,得 EF AB ,所以,平面PAB.EF二面角的平面角或補角的大小。例6：即 EF AB, 同理EF PB ,又 ABI PB B ,(n)解：由AB,2BC，得 2a、2，即 a得 E(,0,0)， F22,2,2)，C( 2,0,0).uuyuuv有 AC ( .2, 1,0)，AE(二 1,0)，2uuv EF設(shè)平面AEF的法向量為n(x,y,l),PD解得uuiv

17、EF uuiv AE1 1(x,y,1) (0,?1)0(x, y,1)22, 1,0)12y遷x y2設(shè)AC與面則sin12.(.2, 1,1).AEF所成的角為uuu，AC與n的夾角為uuu/ AC, nuuvcos AC,nI Ac n|(血，1,0)( 2,1,1uuv - AC n210211得arcsin 36所以，AC與平面AEF所成角的大小為arcsi門上色6點評：設(shè)n是平面 的法向量，AB是平面 的一條斜線，則 AB與平面 所成的角為UUU Tarccor-，或者 arcs inAB?n-UtLU-F-AB?nuuuoUULT UUL作AE PB于E，則向量DC與EA的夾角的

18、大小為二面角 APBQ A(1,0,0), B(0, ,2,0), C(0,0,0), P(1,0,1),D為PB的中點,(丄，2,1)，在 RtVPAB 中，更222EBAP2AB2UUU1E分PB的比為13e(4#3)uui EA3)ULUDCULU UULT1 UUD,EA_32C的大小。uuirDC1,cosuur uurEA, DC133彳12面角APC C的大小為aTccos33解：如圖建立直角坐標系,UULT1UUTAD (,0,0), SC (1,1, 2UULT所以AD是平面1B(0,1,0), D(,0,0), C(1,1,0),S(0,0,1)2UUU 11),SD(,0

19、,21)，QSA 平面 ABCD , ADSCD的一個法向量nTUULT UULv由nSCn?SC0ATUUL ,T UUU1nSDn?SD0x2令TUULT Tz1,n(2,1,1)，cosAD,nzSAB的一個法向量。設(shè)平面y zx 2zy zUULT TAD ? n _63 ,VUUTTnAD?lnltan平面SAB(x,y,z)luu rAD,nC例7：解：建立如圖所示空間直角坐標系 C xyz，取PB的中點D，連DC,可證DC PB，平面SCD與平面SAB所成的二面角的正切值為 2點評：用向量知識求二面角的大小時， 是將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角問題, LT UL（1）當

20、法向量 厲與的方向分別指向二面角內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于法向量IT LT厲與n的夾角的大小。LT UL）當法向量門與壓的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于法向量IT LTT UU厲與n的夾角的補角n 1,n 。三、利用向量知識解決平行與垂直問題。例9:解：直三棱柱 ABC- A B C底面三邊長 AC= 3, BC= 4, AB= 5AC BG CC兩兩垂直，如圖，以 C為坐標原點，直線 CA CB C C分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角3坐標系，則 C (0,0 , 0), A (3,0 , 0), C (0,0 , 4), B (0,4 , 0), B (0,4

21、, 4), D (,22,0 )(1). AC =(- 3,0 , 0), BG =( 0， 4,0 ), AC ? BC = 0,. AC丄BC .(2)CB與C B的交戰(zhàn)為E ,則E ( 0,2 , 2) . T 轉(zhuǎn)化1 uuuu AC -,20,2 ), AC-i = ( 3,0 ,uuir - DE DE / AC.平面CDB,平面CDB,x, y, z因為 DA-, D - E(1 ,0,1),(1 ,x,0,所以DA-1),AC(1,2,0) AD1(1,0,1) n(a,b,c)r uuir n?AC r uuuu n?ADjaa2bcn(2,1,2)-0E n|2 1 213n

22、(a,b,c)n|n|3r uuuun? D1C0,2b c0CE(1,x2,0), D1C(0,2, 1),DD1(0,0,1),r uurrn?CE0,a b(x2) 0.(2 xA2)-CO迄|n |?|DD1 |uuurx2 2 AE=2 3 時，二面角 D EC-D 的大小為一4四、利用向量知識解決立體幾何中的探索性問題。例 11 解：直三棱柱 ABC A1B1G, AC 3, BC 4, AB 5,AC, BC,CC1 兩兩垂直，以 合。C為坐標原點,直線CA,CB,CC1分別為x軸y軸,z軸，建立空間直角坐標系,則 C(0,0,4), A(3,0,0), G(0,0, 4),B(

23、0,4,0), B1(0,4,4)uuirujur(1) QAC ( 3,0,0), BC1(0,4,4),(2)假設(shè)在AB上存在點D，使得AC1CD ,uuurADx3 ,4ZCiBiAiABDy,0)其中1，則 D(3 3 ,4 ,0)，于是,4,0)uuu由于AG(3,0,4)，且uuiruuu(3)假設(shè)在 AB上存在點D使得AC,/平面CDB,，則AD AB ( 3 ,4 ,0)其中uuunumr01 則 D(3 3 ,4 ,0) ， B,D (3 3 ,44, 4)又 RC (0, 4, 4).由于ujurumuuuurujirAC, ( 3,0,4)，AC,/平面 CDB,， 所以

24、存在實數(shù) m,n,使AC, mB,D nBC成立，1m(3 3 )3,m(44) 4n 0, 4m 4n 4,所以 ?，所以在 AB上存在點D使得AC, /平面CDB,，且D使AB的中點。總結(jié)：向量有一套良好的運算性質(zhì)，它可以把幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運算，實現(xiàn)了數(shù)與形的結(jié)合，在解決立體幾何的距離與夾角、平行與垂直、探索性等問題中體現(xiàn)出巨大的優(yōu)越性，請同學們認真領(lǐng)會。五、專題突破：uuuQ AB(1)uuur r uur r uur rAC a,CD b,DB c, a晶 b c)2一a2 b2 c21, a,coo90 , a,c 60 ，uuu uuur cos AB, CDuuu uuu

25、-uuu-tutu-AB?CDa(ac)?bc ?bb22 1AB,CD所成的角為60o(2)設(shè)與AB,CD都垂直的非零向量 nxaybzc,uuu r AB,nuuu CD得r a r a X Xrc rc z z?(ac)3x2y03z0，令x1,得z1, n設(shè)AB與CD的距離為d，yr r r (a c)?ad.(ac)22、解：以DA DC DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖)，設(shè) AD=aaa a a則 D( 0，0，0)、A( a,0,0 )、B(a,a,0)、C(0,a,0) E(a,0)、F(, ,)、P(0,0,a).22 2 2 a a(I) EF DC

26、 (,0,) (0,a,0)0, EF DC.2 2(n)設(shè)G(x,0, z),則G 平面 PAD.uur(xaaa、FGJ,z),222uuruuua aaFGCB(x2 , 2,z2)(a,0,0)a(xuuruuua aa2 aFGCP(x,z)(0, a,a)2 222aa-)0，x -；22(川)設(shè)平面 DEF的法a a(z )0, z 0.2G點坐標為(a,0,0),即G點為AD的中點.2az2(x即2aax y2z)0.0,取x2,z1,ruuu rn (1, 2,1).cos BD,nuuirBD -UtUF |BD| n|、2a6DB與平面DEF所成角大小為2V3 /日仃ar

27、ccos(即6arcs/).6向量為n (x, y, z).r UULT 由n DF 田 r uuu0,得(x,y,z)(2,寫)2 2 20,n DE0(x,y,z)/ a(a, ,0)0,3、證明：(1)在直三棱柱 ABC- AB1C1中，易知面 ACCA1丄面ABC/ ACB=90 , BC!面 ACCA1,： AM面 ACCA1,. BCL AM AM BA1，且 BCI BA1 B , AM 平面 A1BC解：(2)如圖以C為原點,CA, CB CC1所在直線分別為 x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標uuur uuir系，貝U A(J3,0,0), A(J3,0,(6), B(0,1

28、,0)，設(shè) M(0,0,乙)t AMBA1, AM BA 0 即06乙 0,故乙，所以M。,一6)ituuuuulltmAM0AB ,則LTuuu即mAB02 2urir uuuu ur,3x -z20，令x=1，的平面AMB的一個法向量為設(shè)向量m (x, y,z)為平面AMB的法向量，則m AM ,muruuum (1, . 2,、3)，顯然向量 CB是平LT UUD_面AMC勺一個法向量,疔暮 m CB 2 cos m, CB-ur uuu-|m|CB|2LT UUL易知，m與CB所夾的角等于二面角B- AM- C的大小，故所求二面角的大小為45.LT UUUU UUU(3)向量CB在法向量m上的投影的長|mUCB|即為所求距離， |mUCB| 32| m|m |-/62點C到平面ABM的距離為_224、( I)建立空間直角坐標系D xyz，如圖，則又D(0,