數(shù)列求和專題

1、中高考培優(yōu)專注品牌* 教育五環(huán)教學(xué)案日期： 授課人： 學(xué)生： 科目： 數(shù)學(xué) 今日格言： 柏拉圖說： “數(shù)學(xué)是一切知識中的最高形式 ”課題數(shù)列求和專題教 學(xué) 目 標(biāo)高考對本節(jié)知識主要以解答題的形式考查以下兩個(gè)問題： 1. 以遞推公式或圖、表形式給出條件，求通項(xiàng)公 式，考查學(xué)生用等差、等比數(shù)列知識分析問題和探究創(chuàng)新的能力，屬中檔題 .2. 通過分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為 等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題知 識 點(diǎn) 及 重 難 點(diǎn) 梳 理1 數(shù)列求和的方法技巧(1)分組轉(zhuǎn)化法 有些數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將數(shù)列通項(xiàng)拆開或變形，可轉(zhuǎn)化為幾

2、個(gè)等差、等比數(shù) 列或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并(2)錯(cuò)位相減法 這是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn 的前 n 項(xiàng)和，其中an ，bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列(3)倒序相加法這是在推導(dǎo)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法， 也就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列 (反序 )，當(dāng)它與原數(shù)列相 加時(shí)若有公式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的數(shù)列可用倒序相加法求和(4)裂項(xiàng)相消法 利用通項(xiàng)變形，將通項(xiàng)分裂成兩項(xiàng)或 n 項(xiàng)的差，通過相加過程中的相互抵消，最后只剩下有限項(xiàng)的和這種11 11 1方法，適用于求通項(xiàng)為教育的本質(zhì)意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推

3、動另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂！ 的數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中 an若為等差數(shù)列，則1 1a .anan1anan 1 dan an1常見的拆項(xiàng)公式： 1 1 1 ；n n1 n n 1 1 1(1 1 )；n n k k n nk ；中高考培優(yōu)專注品牌1 1 1 （ 2n 1 2n 1 2 2n 11）；2n1n1 nk1k( nk n)考點(diǎn)一 分組轉(zhuǎn)化求和法例 1 等比數(shù)列 an 中， a1， a2， a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列 .第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1) 求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；考

4、點(diǎn) 訓(xùn) 練(2) 若數(shù)列bn滿足： bnan(1)nln an，求數(shù)列 bn的前 n項(xiàng)和 Sn.在處理一般數(shù)列求和時(shí)，一定要注意使用轉(zhuǎn)化思想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和，在求和時(shí)要分析清楚哪些項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，清晰正確地求解在利用分組 求和法求和時(shí)，由于數(shù)列的各項(xiàng)是正負(fù)交替的，所以一般需要對項(xiàng)數(shù) n 進(jìn)行討論，最后再驗(yàn)證是否可以合并 為一個(gè)公式教育的本質(zhì)意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂！中高考培優(yōu)專注品牌 設(shè)數(shù)列 an 滿足 a1 2，a2a48，且對任意 nN*，函數(shù) f(x)(anan1an2)xan1cos x

5、an 2sin x 滿足 f 2 0.(1) 求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(2) 若bn2an21an，求數(shù)列bn的前 n項(xiàng)和 Sn.考點(diǎn)二 錯(cuò)位相減求和法例 2 設(shè)等差數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且 S4 4S2，a2n 2an 1.(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足ba1ab2abn121n，nN*，求bn的前n項(xiàng)和 Tn.錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和是一類重要方法在應(yīng)用這種方法時(shí)，一定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列的求和問題設(shè)數(shù)列 an 滿足 a12，an1an322n 1.教育的本質(zhì)意味著：一棵樹搖動另一棵樹

6、，一朵云推動另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂！中高考培優(yōu)專注品牌(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)令 bnnan，求數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Sn.考點(diǎn)三 裂項(xiàng)相消求和法例 3 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，滿足 4Sn an2 1 4n 1，nN*, 且 a2，a5，a14 構(gòu)成等比 數(shù)列(1)證明： a2 4a1 5；(2)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(3)證明：對一切正整數(shù)anan1n，有a1aa1a a a1 0)中，a13，此數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為 Sn，對 教育的本質(zhì)意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂！中高考培優(yōu)專注品牌 于

7、所有大于 1 的正整數(shù) n 都有 Sn f(Sn1)(1)求數(shù)列 an的第 n1 項(xiàng)；11(2)若 bn是， 的等比中項(xiàng)，且 Tn 為 bn 的前 n 項(xiàng)和，求 Tn.an1 an1 數(shù)列綜合問題一般先求數(shù)列的通項(xiàng)公式，這是做好該類題型的關(guān)鍵若是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接 運(yùn)用公式求解，否則常用下列方法求解：S1 n 1 (1)an.Sn 教育的本質(zhì)意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂！n 1 n 2 (2)遞推關(guān)系形如 an1 an f(n) ，常用累加法求通項(xiàng)(3) 遞推關(guān)系形如 an 1f(n)，常用累乘法求通項(xiàng)an(4) 遞推關(guān)系形如 “an1 pan

8、q(p、q 是常數(shù)，且 p1，q0)” 的數(shù)列求通項(xiàng)，此類通項(xiàng)問題，常用待定 系數(shù)法可設(shè) an1p(an)，經(jīng)過比較，求得 ，則數(shù)列 an 是一個(gè)等比數(shù)列(5) 遞推關(guān)系形如 “an1panqn(q，p 為常數(shù)，且 p 1， q 0)”的數(shù)列求通項(xiàng)，此類型可以將關(guān)系式兩 邊同除以 qn 轉(zhuǎn)化為類型 (4) ，或同除以 pn1 轉(zhuǎn)為用迭加法求解2 數(shù)列求和中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型： (1)錯(cuò)位相減法求和時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題求解 (2)并項(xiàng)求和時(shí)，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和(3) 分組求和時(shí)， 將問題轉(zhuǎn)化為能用公式法或錯(cuò)位相減法或裂項(xiàng)相消法或并項(xiàng)法求和的幾個(gè)數(shù)列的和求解 提醒：運(yùn)用

9、錯(cuò)位相減法求和時(shí)，相減后，要注意右邊的n1 項(xiàng)中的前 n 項(xiàng)，哪些項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，以及兩邊需除以代數(shù)式時(shí)注意要討論代數(shù)式是否為零3 數(shù)列應(yīng)用題主要考查應(yīng)用所學(xué)知識分析和解析問題的能力其中，建立數(shù)列模型是解決這類問題的核心， 在試題中主要有：一是，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；二是， 通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識求解 .中高考培優(yōu)專注品牌1 在一個(gè)數(shù)列中，如果 ? n N* ，都有 anan1an2k(k 為常數(shù) )，那么稱這個(gè)數(shù)列為等積數(shù)列，稱 k為這個(gè)數(shù) 列的公積已知數(shù)列 an 是等積數(shù)列，且 a1 1， a22，公積為 8，則 a1a2a3 a12 .2

10、秋末冬初，流感盛行，特別是甲型 H1N1 流感某醫(yī)院近 30天每天入院治療甲流的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列an，已知 a11，a22，且 an2 an 1 (1) n(n N *)，則該醫(yī)院 30 天入院治療甲流的人數(shù)為 3 已知公差大于零的等差數(shù)列 an的前 n 項(xiàng)和 Sn，且滿足： a2a465，a1a518. (1)若 1i21，a1，ai，a21是某等比數(shù)列的連續(xù)三項(xiàng)，求i 的值；(2) 設(shè) bnn2n 1 Sn是否存在一個(gè)最小的常數(shù)m 使得 b1 b2 bn0， S160，則在 S ，S ， S 中最大的是 a1 a2a15* 1 1 1 16 數(shù)列 an 滿足 a1 1，且對任意的 m，n

11、N*都有 amnamanmn，則 .a1 a2 a3a2 012n2 n為奇數(shù) ，7 已知函數(shù) f(n) 2且 anf(n)f(n1)，則 a1a2a3 a2 012 . n2 n為偶數(shù) ，8 數(shù)列 an 中，已知對任意 nN *，a1a2a3 an3n1，則 a12 a22 a32 a2n .1思 維 拓 展9 已知數(shù)列 an滿足 3an1an4(n1)且 a1 9，其前 n 項(xiàng)之和為 Sn，則滿足不等式 |Snn6|0)，求數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和 Sn.教育的本質(zhì)意味著：一棵樹搖動另一棵樹，一朵云推動另一朵云，一個(gè)靈魂喚醒另一個(gè)靈魂！中高考培優(yōu)專注品牌1 1 111將函數(shù) f(x)sin 4xsin 4(x2)s2i(nx 3在)區(qū)間 (0， )內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列 an(nN*)(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；(2)設(shè) bn2nan，數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，求 Tn的表達(dá)式3*12.已知首項(xiàng)為 2的等比數(shù)列 an的前 n項(xiàng)和為 Sn(nN*)，且 2S2，S3，4S4成等差數(shù)列 .(1)求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；1 13(2)證明 SnS1 163(nN*).學(xué)生對于本次課的評價(jià)： 特別滿意 滿意 需要優(yōu)化