導(dǎo)數(shù)微積分綜合

1、導(dǎo)數(shù)】1)(u v )=uv2)(uv )= uvu v記憶方法： uvu v ,分別在“ u”上、“V”上加)3)(cu )= cu(把常數(shù)提前)4)廠1U1uv u v(V工0)11 V丿v2關(guān)于微分】 左邊： d 打頭 右邊： dx 置后 再去掉導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可微分】設(shè)函數(shù)U= U (x),v= v (x)皆可微，則有:1)d(uv) du dv2)d(uv) du v + u dv廠U、du v u dv3)d-1 (v工0)V丿v25) 復(fù)合函數(shù)(由外至里的“鏈?zhǔn)椒▌t”)dy=f( u) 0 (x)dx其中 y = f (u), u =O( x)6) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù):1f -1( y)f(

2、 x )其中，f(x)M 0【導(dǎo)數(shù)】注:【】里面是次方的意思( 1 )常數(shù)的導(dǎo)數(shù):(c )=0(2) x的a次幕：1】1 XI=J丿a x3)指數(shù)類：廠【x】、【 x】I aI=aIna（其中 a 0,1）01）xlna1(Inx )=x( 5 )正弦余弦類：(sinx )=cosx(cosx )= si nx【微分】注：【】里面是次方的意思1）常數(shù)的微分：dC 02）x 的 a 次冪：【a 】【a 1】dxa xdx3 )指數(shù)類：【x】【 x】a In adx（其中 a 0,1）x】【 x】dxde4 )對(duì)數(shù)類：1 1dlog x=log e = dx(其中 a 0,1)axaxlna1dl

3、nx = dxx5 正弦余弦類：dsinx =cosxdxdcosx = sinxdx導(dǎo)數(shù)】6)其他三角函數(shù)：1(tanx )= = sec2xcos2x1(cotx )= = csc2xsin2x(secx )= secx tanx(cscx )= cscx cotx7 )反三角函數(shù)：1(arcsinx )= ( 1 v x v 1)/V 1 x21(arccosx )= ( 1 v x v 1)/V 1x2arctanx1 x2arccotx )1x2微分】6）其他三角函數(shù)：dta nx=dcotx =dsecx =dcscx =7)反三角函數(shù)：darcsinxdarccosxdarcta

4、nxdarccotx導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）1 = sec2xdxcos2x1=csc2xdxsin2xsecx tanxdxcscx cotx dx1=dx ( 1 v x v 1)/V 1 x21= dx ( 1 v x v 1 )/V 1x21= dx1 x21= dx1 x2中值定理特殊形式拉格朗日中值定理】 拉格朗日中值定理】【羅爾定理】如果函數(shù)y = f (x)滿足：(1) 在閉區(qū)間a , b上連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間(a , b)上可導(dǎo)。貝9：在(a ，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) E( a v E v b ),使得f( b) f(a)f( E )=b a羅爾定理】如果函數(shù)y = f (x)滿足：(

5、1) 在閉區(qū)間a , b上連續(xù)；(2) 在開(kāi)區(qū)間(a , b)上可導(dǎo)；(3) 在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f (a)= f (b)。貝9：在(a , b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) E ( a v E v b ),使得f ( E ) = 0。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(二) 求單調(diào)性、極值(輔助作圖) 【單調(diào)性】(1) 如果 x ( a , b )時(shí)，恒有 f( x)0則f (x)在(a , b)內(nèi)單調(diào)增加；(2) 如果 x ( a , b )時(shí)，恒有 f( x)v 0則f (x)在(a , b)內(nèi)單調(diào)減少。【極值】若函數(shù)f (x)在點(diǎn)x?處可導(dǎo)，且f (x)在x?處取得 極值，則 f( x? )=0。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(三) 曲

6、線的凹向與拐點(diǎn)(輔助作圖 ) 【凹向】設(shè)函數(shù)y = f (x)在區(qū)間(a , b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(1) 若當(dāng) x( a , b)時(shí)，恒有 f ( x)0,則曲線y = f (x)在區(qū)間(a , b)內(nèi)上凹;(2) 若當(dāng) x( a , b)時(shí)，恒有 f ( x)v 0,則曲線y = f (x)在區(qū)間(a , b)內(nèi)下凹。【拐點(diǎn)】曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)。第一類：常數(shù)的積分/ 0dx = C/ dx = x + C（1 的積分）/ kdx = kx + C第二類：X的a次幕的積分【 a 】1【 a 1】jxdx =X+ C（ a豐 1）a 1第三類：倒數(shù)的積分、，、.、【注意：絕對(duì)值】1jdx l

7、n|x|+ C（x 工 0）x第四類：指數(shù)的積分【x】1【x】jadx a+ C（a0,1）lna【x】【x】jedx eC第五類：三角函數(shù)的積分j sinxdx cosx Cj cosxdx sinx Cj tanxdx ln|cosx| C【選記】j cotxdx ln|sinx| C【選記】j sec2xdx tanx Cj csc2xdx cotx C第六類：結(jié)果為反三角函數(shù)1j dx arcsinxC arccosxC?/V1 x21j dx arctanxC arccotxC?1x2f dx = In+cxCOSX +cot x + C(10)(13)arctan x + Csec

8、x y=v * uAv * Inu + u * uA(v-1 ) * v引用的常用公式在推導(dǎo)的過(guò)程中有這幾個(gè)常見(jiàn)的公式需要用到：1. y=fg(x),y=fg(x) g(x )fg(x)中 g(x )看作整個(gè)變量，而g(x )中把x看作變量2. y=u/v,y=( uv-uv ) M23. y=f(x )的反函數(shù)是x=g(y )，則有 y=1/x編輯本段推導(dǎo)過(guò)程證：1.顯而易見(jiàn)，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是 平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c, y=c-c=0,lim x0y/ x=0。2這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證，因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)推導(dǎo)的話就不能 推廣

9、到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況。在得到 y=eAx y=eAx 和y=lnx y=1/x 這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。3. y=aAx, y=aA(x+ x) - aAx=aAx(aA x -1 ) y/ x=aAx(aA x -1 ) / x如果直接令 x 0,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù) B =aAx -1通過(guò)換元進(jìn)行計(jì)算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：x=loga(1+ B ) 所以(aAx -1 ) / Ax= B /loga (1+ B ) =1/loga (1+ B )八1/ p顯然，當(dāng)厶x0時(shí)，B也是趨向于 0的。而lim B 0 (1+ B )八1/ B =e， 所

10、以 lim B 01/loga ( 1+ B )八1/ B =1/logae=lna 。把這個(gè)結(jié)果代入lim xf OAy/ x=lim 0aAx(aA x -1 ) / x 后得至U lim xf OAy/ x=aAxIna。可以知道，當(dāng) a=e時(shí)有y=eAx y=eAx 。4. y=logax y=loga(x+ x) - logax=loga(x+ x)/x=loga(+ x/xFx/x y/ x=loga (+ x/x)A(x/ x)/x因?yàn)楫?dāng) xf0時(shí)， x/x趨向于0而x/ x趨向于x,所以lim xf Ologa (+ x/x)A(x/ x)=logae，所以有l(wèi)im xf 0y

11、/ x=logae/x?？梢灾?，當(dāng) a=e時(shí)有y=lnx y=1/x。這時(shí)可以進(jìn)行 y=xAn y=nxA(n-1)的推導(dǎo)了。因?yàn)?y=xAn，所以y=eA ln(xAn)=eA nlnx,所以 y=eAnlnx ( nlnx)=xan n/x=nxA(n-1 )。5. y=s inx y=s in(x+ x) -sin x=2cos(x+ x/2 ) sin ( x/2 ) y/ x=2cos(x+ x/2 ) sin ( x/2 ) / x=cos(x+ x/2 ) sin ( x/2 ) / ( x/2)所以 lim xf 0y/ x=lim xf 0cos(x+ x/2 ) lim

12、xf 0sin( x/2 ) / ( x/2 ) =cosx6. 類似地，可以導(dǎo)出y=cosx y=-si nx。7. y=ta nx=s in x/cosxy=(si nx)cosx-si nx(cos)/cosA2x=(cosA2x+si nA2x)/cosA2x=1/cosA2x8. y=cotx=cosx/s inxy=(cosx)si nx-cosx(si nx)/si nA2x=-1/si nA2x9. y=arcs inxx=s inyx=cosyy=1/x=1/cosy=1/ Vi - sinA2y=1/ Vi 幟八210. y=arccosxx=cosyx=-si nyy=1

13、/x=-1/siny=- 1/Vi -cosA2y=- 1/V 1幟八211. y=arcta nxx=ta nyx=1/cosA2yy=1/x=cosA2y=1/secA2y=1/1+ta nA2x=1/1+xA212. y=arccotxx=cotyx=-1/si nA2yy=1/x=-si nA2y=-1/cscA2y=-1/1+cotA2y=-1/1+xA213聯(lián)立: ( ln(uAv)=(v * lnu)ln(uAv)=ln(uAv) * (uAv)=(uAv) / (uAv)另外在對(duì)雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù) arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)

14、合函數(shù)求導(dǎo)時(shí)通過(guò)查閱導(dǎo)數(shù)表和運(yùn)用開(kāi)頭的公式與4. y=u 土 v,y=u 土 v5. y=uv,y=uv+uv均能較快捷地求得結(jié)果。編輯本段公式1. y=f【g(x )】，y=f【g(x )】 g(x )f【g(x )】中 g(x )看 作整個(gè)變量，而 g(x )中把x看作變量2. y=u/v,y=uv-uv/vA23. y=f(x )的反函數(shù)是 x=g(y )，則有 y=1/x證：1.顯而易見(jiàn)，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是 平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,/y=c-c=0,lim /x0/y/ /x=0。2這個(gè)的推導(dǎo)暫且不證，因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定

15、義來(lái)推導(dǎo)的話就不能 推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況。在得到 y=eAx y=eAx 和y=lnx y=1/x 這兩個(gè)結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。3. y=aAx,/y=aA(x+ /x) -aAx=aAx(aA /x -1 )/y/ /x=aAx(aA /x -1 ) / /x如果直接令/ x 0,是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個(gè)輔助的函數(shù) B =aA/x -1通過(guò)換元進(jìn)行計(jì)算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：/ x=loga (1+ B )。所以(aA/x -1 ) / /x= B /loga (1+ B ) =1/loga (1+ B )八1/ B顯然，當(dāng)/x0時(shí)，B也是趨向于 0的。而lim

16、B 0 (1+ B )八1/ B =e， 所以 lim B 01/loga ( 1+ B )八1/ B =1/logae=lna 。把這個(gè)結(jié)果代入lim /x0/y/ /x=lim /x0aAx(aA /x -1 ) /x 后得到 lim /x0/y/ /x=aAxlna。可以知道，當(dāng) a=e時(shí)有y=ex y=eAx 。4. y=logax/ y=loga(x+ / x) - logax=loga(x+ / x)/x=loga【(1+/x/xx 】/x/ y/ /x=loga【(1+/x/x)a(x/ /x)】/x因?yàn)楫?dāng)/x0時(shí)，/ x/x趨向于0而x/ /x趨向于,所以lim /xOloga

17、 (1+/x/x)a(x/ /x)=logae，所以有l(wèi)im /x0/y/ /x=logae/x?？梢灾?，當(dāng) a=e時(shí)有y=lnx y=1/x。這時(shí)可以進(jìn)行 y=xAn y=nxA(n-1)的推導(dǎo)了。因?yàn)?y=xAn，所以y=eA ln(xAn)=eA nlnx,所以 y=eAnlnx ( nlnx)=xan n/x=nxA(n-1 )。5. y=s inx/ y=s in(x+ / x) -sin x=2cos(x+ / x/2 )sin (/ x/2 )/y/ /x=2cos(x+ /x/2 )sin (/ x/2 ) / /x=cos(x+ /x/2 ) sin (/ x/2 )/ (/x/2)所以 lim /x0/y/ /x=lim /x0cos(x+ /x/2 ) lim /x 0sin(/x/2 ) / (/x/2 ) =cosx6. 類似地，可以導(dǎo)出y=cosx y=-si nx 。7. y=ta nx=s in x/cosxy=【(sinx)cosx-sinx(cos)】/cosA2x=(cosA2x+si nA2x)/cosA2x=1/cosA2x8. y=cotx=cosx/s inxy=【(cosx)sinx-cosx(sinx)】/sinA2x=-1/s