推薦微分幾何第四版習(xí)題答案梅向明

1、微分幾何主要習(xí)題解答第一章曲線論52向晟函數(shù)3問試數(shù)和)乩冇固定方向的充號(hào)條件是;X尹=0,分析：一卜向量函數(shù)只刀一般可以寫成尺/)二久賢/的形式*扶屮買/)為單位向屋函數(shù) 為數(shù)員曲數(shù).那么鞏刀貝冇同泄方問的充耍條件足買/)具有同定方向*即&為常問毀Ml為Rd的長(zhǎng)度固宦幾證對(duì)丁M賢剛數(shù)凡八，設(shè)貢0為戌單位向量，Wi /(/)-A(/)(/),若FMfW宦方I訕 則買刀対常問皐，那么?(z)=A/，所以卞*m: cEx&)=6反 Z,若 /X/-O 對(duì) 7(/)= A(7)(/)求微麗得 F二；r e +A 0 于是 XF = 則冇K -0或云X歹-O .一0時(shí)，和)=6可與仟意方向平存：H幾豐

2、0(11.冇？x 0=0,向(？X 0尸=0礦-(孑歹尸=刁巴(因?yàn)殒?貝冇固運(yùn)比 E去“).所以0 = 6.即0為常向貞 所 ?(z)M有固i方向，6.向域歯SFf)半行于固定屮面的充復(fù)集件是(r尹產(chǎn))司0分析：向抽函數(shù)亍平行于固定乎面的允要條件是仔在 個(gè)比向向ft?(/) ?= 0 ,所以我們蹩：7求這個(gè)向炭刀及沾兒嚴(yán)的靈系證若孑“)平行于 個(gè)定平面設(shè)喬是平面J1的 傘單位法向最.則習(xí)為常向景* RF0 =0 .兩次求微商f邸戸方=0 , ? J? =0 .即向忙八?戸唯宜于同菲零向戢亦, 因而JVW*即CF尹L) =0 .反之.若(r戶?) -0.則有rXr=0或卞*卞豐0.若rX ?

3、= 0,由上題知只刀 貝有周定方向，自然平再于一尚定半面，若rX? H 6,則存在數(shù)數(shù)A)、H(n，棹嚴(yán)= 2月尹警、則 0,且7(/) S(z).対萬(wàn)=rXr求微商井將式代入得;尹=P t ? X /*) =/j 7/.于是X = 6 .由上題知頁(yè)右H定方向而/(/)丄苑 即7(/) 平行于固;in：而- 3 |由線的概念1. 求圓柱螺線TFOS八r二siiiF,二=/在(hd 0)的切線和達(dá)平面。解 令亡於八匚帥/丸，=0 fl =0,?*(0)- - sill/, cos/.l|_(j -Q.Hhffl線齊(O,L1)WW線為 口 =02*求二次III戲? = 必什.cP在點(diǎn)心的切線和法

4、平面.17解 戸（G = 力於 .弘片,切線為-= -_= -一?2 血03。，公平面為Xr -）十2他U-妬）十3刃（二-加）二0 O3.證明隕1杠線- a cmO,畸mO,創(chuàng) H xyOy+w）的切夕工利乂軸作固宜角0 證明 F = -a siiH3 , a cos6、b h設(shè)切線與2軸夾傅為申趨 cos=- = 為常數(shù)，戰(zhàn)甲為定伶其中為疋軸的單付向量幾llkl JTVy-1.求懸鏈線=f，/coshf Csoy/YW)從D起計(jì)尊的規(guī)血解 /* = 1 , siiih , I / I = Ji + iiuh 訂 =eosh- sJo49 .求曲線二站1；2亡二加件半面眉 v = g&之間的

5、弧艮J 4*5解 曲線的向星衣示為A = U,. ittr面與兩平面.咤 與廠為的空點(diǎn)分別為 3/ 2.r口 與咒二3吐，=I ?a 2t(la r 護(hù)23- f ( + _ )廉二 9打 *10.將0柱蠟線F二bc兒asiu/. b八化為目熟參數(shù)衣示a解 尹= -asin Z, acoa/, h, s= f | 尹0? = J”上 + 方/ 所即丄 $ hV777bsss代入原方程得 7 =a cos J, a bill .J樸+ J + 護(hù) J 口d + 房1L求用極坐標(biāo)方W p二p（刃鉛岀的曲線的弧長(zhǎng)左達(dá)式.解 由 r= p(G)cci9 r=知尸=p(臼)cofi(? - p(fl)s

6、infl pe)sin0 + p(e)cose n i尹i = Jp如+ / (e).從片刊e的曲線的弧氏足 T： 3(0)少(”0 -4空剛曲線I.求圓tt螺yS.r-acosz* j-=asiii/. J - b / rti點(diǎn)的密切平面的方程* 解 r = -asin acos/, b,?*=- cosz, - a sin /, 0 所以曲線1枉怠點(diǎn)的密切半而的方e為K-ffCOS/-sin /7COS/一刃COS#7SU1 /匚一切b0=0 . |l(bsiii /)x-bcosZ)y4a2-aht=0 ,tsiiiz, tcosf, t / fl：原點(diǎn)的簫切半面、法平面.從W面、切線.

7、主法2. 求曲線？ 線、劇卡蟲線。餉 原點(diǎn)對(duì)應(yīng) f ()= sin t A co I血兒 H+tF h二ai.l 尹(0)二2cosy+ t cos八 cox-tPiir, 2孑打”/ 二乙刃，刪切紐方秤是0二卡二;法面方程是y I二0 ；T r 2叩 x-y-z-Q ,2 0 2主昨方吋;:羔。VR|J- =7T I從切面方程叢戈誥-丫弋制$蟲線方程式一二上二3. 證明圓社螺線jipcow y -flsill z p二=b/的主沐線和z ttif AHI交-證 / = -a sill Z1 fl cos Z* h),尸 J-H ws人-a sin 心 0 , tl 嚴(yán)丄?)J1 為主汀線的

8、方向向量，(ft ? / = 0斯以主法線與軸亞1；曰去線方程是T- /7COSZ嚴(yán)一刃sin r 二一In 2 cos/sin z0Ij z軸右公以點(diǎn)(6 6 bt).故岡柱螺線的主達(dá)線和2軸匝宜相賓.L di 曲線 X 二 cosOf cost . y = cosCX sint z = twin a 的嗣 S 線的 lE 向取單位 K.求 Jt 蜩點(diǎn)組成的新曲線的密M平面.餉 r = f-cQsoc Sinti cosa cost, siiia -cos cr cost, - cosct sint. Q)解 = -cos Ct si nit cos a cost sina ) .-cos

9、a cost - cosa sint . 0| r I I2-xr .y 二=bina sint .- sina cost , cos aI廠I新曲線r = cos a cost + sinOt sint , cosO! sint- sintf cost , tsinft + cos a J苧一cos 擰 sill fC0S(7 一 Z)sm(7 z)對(duì) J SrllilfE ?*-cosC( sint- sina cost . cos a cost* sinOt sint sin CC =sin(Cf -t), cos(a -t, sitiOf ,7 = -CQS(C( -t)f sin(K

10、 -x),0) . H；希切平面的方稈是J- /siu 盤sill a -00tsincc - cos a M 0 .V-COSriCOSZsill(7-/)一 cos(a - f)即 sin Of sinT-a) x - sin cf cos(x-0f)y + z -5+泌明關(guān)線是埠向曲纔的充嬰條件是ME的所有法平曲通過-崖點(diǎn).i正方Sf=世一曲線為一琢師曲線取球右為坐標(biāo)原點(diǎn).則ilh線的向W；（OHtr固定長(zhǎng)，曲LUF， r=0.即曲線每 點(diǎn)的切線4其向栓垂宜，岡此曲線在每一點(diǎn)的上平面通過這點(diǎn)的向彳包也 就通過其始點(diǎn)球心.U若一曲線的所有法平血逋過一建點(diǎn).以此進(jìn)點(diǎn)為坐標(biāo)悚點(diǎn)建上坐標(biāo)系.則F

11、尹=0、 產(chǎn)貝仃同宦I匕 對(duì)應(yīng)的曲線是球曲線。方認(rèn)二：? = 斥fflilll線0存金定點(diǎn)? （足球面中心的神矢）和常數(shù)R t足球而的半能）便 （F 和2 =用 O 2（r-和r =0 *即廳一和尸=0（*）耐過川I線? = 7（/）上任一點(diǎn)的仏半面方趕為（0 - ?）F二0 C可知法+面過妹商中吐O C * ）成立.微分幾何主要習(xí)題解答所UL (JII紅足球面曲線的充要茱件足曲線的所右法平面通過”立點(diǎn).A證明過原點(diǎn)平打于0拄螺線r二芭cos八a sill / . b/的涮法線的自線軌跡是鏈面 (.1- + 滬)一心.證 產(chǎn)= -e sin t ,a cos/ . h 尹=-a cos/ .-

12、 & sin / , 0 ),? x尸擰“5處O-M為制法線的力向向就，過愎點(diǎn)半荷J制法線的血線的力程叢 一- 三三r消i參數(shù)t得抒氣古+屮)-卻方 511W -蟲 osr 7,求W卜曲面的曲率和搓率 lcosh A a shih z,. r =歸(3/-八)3掙幾夙+ ?)(/7 A 0) 0解 尸=處iuh 人處osli Z, m,嚴(yán)= cosh A siuli z.O，嚴(yán)=fsiuh 人 cosh 打0,TT f u .1 n 才沖/ I 尹nFIcosh z1/xr 二 f7-siiih A cosh A-lj H 所 以# 二二一=二廳T(j2gghiii zcos z-5cossi

13、u z-4，ds r, F 55 一=1 r*(/) 1= 5sill 7cos/, ( S sintcost0) 則 d = =cos/,sin 口0 = - sill 打 eos 打0, |5|由I鬥 55匕嵐擊1,33小a =sm 代cos z,0 *加 ds 5 sill Acosz 55一 445X = J X p = fcosz,sill 、- 35V仃微分幾何主要習(xí)題解答31* 一=1 a 1= X =-sill Z-CO&Z.0 t 由于Z 峙0 方向相25 sin ZCOSZ 25 sm zcosr*4反，所以 r三1x1-25snizcosf精)顯然以上所得二左J匸r滿址二

14、愿=-遠(yuǎn)而 “二 cosz-siiiA0=- + v 也浦足伏雷內(nèi)處式.5snizcosz4證明如果曲線的所有切線郝經(jīng)過的定駄則此曲線處血線-注 方法一：収定點(diǎn)為坐鮭原點(diǎn)程坐標(biāo)系，曲線的方柑設(shè)為r = Nd則啪線在任羸點(diǎn)的 切線方程足0 - r(/)=幾戶(/).由條件切線都過坐杯愎心*所以7(/) = Z7 (/,可虬r 尹， 所以r拭冇同定方向，故r = F(O足Fi線。方法二：収定點(diǎn)為*標(biāo)感點(diǎn)盤電標(biāo)系.曲線的方程設(shè)為?=?(/)-則曲線在件蟲慮的切線 AK；ip-r(/) = ArC/).由糸件叨線都過坐標(biāo)噸點(diǎn).所以刊f) = ；lA(d，于是嚴(yán)一人嚴(yán)* 從而/ X?*=6,由曲率的it

15、s公式知曲傘t=0*所以itU線為d線.方法三：設(shè)定點(diǎn)為曲線的方糧為ruFCO，則HII線連任恿點(diǎn)的切線方程是 p-r(T = Aa(jr),由條件切線那過建心 所以石F(巧二幾a(Q,旖端求導(dǎo)W： -a()= /a3 + JjcB即(川 + 1阪2) + MB = 6，而磯必 無(wú)關(guān)，所rU + l = O, 吋知ZO,AK(J)= O.丙此曲線足11紜10*證明如果Illi線的所rr密切平面邯經(jīng)過一的建點(diǎn)，則此Illi線足平面nil線.uE方法-：取圮戊為坐標(biāo)尿點(diǎn)建坐標(biāo)條，曲線的方程設(shè)7j? = 7(/).則曲線在任意點(diǎn)的 童切半面的方程(p-r(Z)-(rz)xZ-(r)-Ot illfl

16、-；(/)*(?(/) x?(/)-0 . l!|J C rFFJmt所以F平行r同定平面，即F = f)a半面Il如方法二t取定點(diǎn)為坐標(biāo)原恵建坐標(biāo)系*血線的方程設(shè)為7 = ?().則曲線在任庖點(diǎn)的密切 半面方樓宦0 只巧)/二0山乂件?W-z=O -兩邊澈莎并用伏雷內(nèi)公比得 -T 只宇)-B = 0 若 HQ 廬二0.又由 r(j) *7 = 0可知 r(T)/ a = r(.r).所以 r = 7( 0 平行于 固宦方向，這的？=鞏巧衣示強(qiáng)線結(jié)論誡立.否則r二Cb從血箭曲線是平而曲線。方法二：収宦點(diǎn)為坐標(biāo)悚點(diǎn)建坐標(biāo)乘* Illi線的方程設(shè)為r = r(f.則曲線住任總點(diǎn)的幣切 平而方 e

17、足(p-r(f)*(rXz)xr*-(/) = ).由條件一?(/)*(?(/) x = 0 ,即 Cr產(chǎn)產(chǎn)) =叭所以r .尹，尹共冏，* r甘十、Wl r = Z(Z)是ft線.沓則可設(shè) 產(chǎn)二;l? + M；二尹“二入尸+M、斯以凡尹；產(chǎn)幾而.所lr=O,軌而知曲線是平而曲紅口 11證明如果 僚曲線的所冇沬平而包含常向駅d 那么加絞是宜統(tǒng)或TifM線-證 方a -t根據(jù)已知a E (b若a足常向址+則k-|a|-0 +這時(shí)血鏡足宜紅。否則 /Ka*? = Of*邊徴分得a R0-即k0(b所以戸壬0, 乂因5-? = 0,所以/7?,血/為單位向.所以可知為常向ft. 是|r|-|z|-O

18、* H|Jr = O. 曲線為半面曲線. 方法二 曲線的方昭殳為r 一Z0.由殺件戶RwD.阿邊做分得戶一 II ,尸【,所以尹.聲，尹加乩 所以（尸科F，=【兒山撓傘的訃&公式口用I二兒戰(zhàn)曲 線為平而曲驅(qū) 當(dāng)尹X尸0時(shí)足11線.方沫三：曲怨的方程由條件兩邊枳金得尹足常數(shù)）.因產(chǎn)V二尹罡平ffi的方#霞 說明曲線7 = 7（/） 6：平曲匕即曲線是平面曲線.片尹有同定方向時(shí) 為IE線，12.訐明初率為常數(shù)的空問HII找的僻率屮心的軌謹(jǐn)仍足關(guān)率為常數(shù)的Illi綺證明 役曲線C）： ； = 7（） HjtHf4. k為朋數(shù).其曲率川貯,的軌跡（?1的力料為: 0 =尺&）+ _0（）. 0為Ill

19、i純（C）的主肚向竝）.對(duì)于Illi線 k=/ r- II .所以a k二 (垃 g r2)a17 .nil 線 r=at-Mni).a(l-co5T)/acos=止那點(diǎn)的 Illi 率半徑 iii 大 解 ? = all-cost,?3iiit-2sii- .r* = a bint,cost,-cos ,| 7 |= 2T | siii -|,322尹 X 產(chǎn)=-2 sin - -2 血3勺二5 sin 2 4 泗rxr IJ_ I , f ,17- p/ n Il 8 I sin-I亠所以在t-（2k+l）.7 . k W數(shù)處曲辛半律最A(yù)s1S. dUiilh線（0丘：心兀）上點(diǎn)鞏）的郭近

20、點(diǎn)刊+乙刃求禮+益）點(diǎn) 到刊$訂點(diǎn)的密切半面、法半面.從W半的趾離（設(shè)點(diǎn)鞏）的備率、撓率分別為55幾?（幾）3 + !卍0）脣 + 寺F（幾）+ * = %Ay + 心久+ 1（-才詛a +佻瓦+心5%+）aA 設(shè)-E&0+氐瓦+ %.其2 0屮 11111 J = 0 則 7（% + Aj） 7（0）dfiO= + 6 （f亠J2區(qū)+ 亍竊蟲廠+才心+亠石（勺5 + /風(fēng)上此屮的二個(gè).系垃的絕對(duì)值分別足點(diǎn)理島+A）到了侃）的汰平而、從岡平而、徨沏湎 的韭離.55 般幌線5. i舊明如果W冇儈沏半面Hi州于周urn線，林么佗是平面円線證法一：巧曲線的密切平而垂直干某固址立線時(shí)，曲線的副法向M：

21、z是常向吃即7 = 6 Illi線的撓率的絕對(duì)俏尊Hz為雪、所以線為平面Illi線。ill a二：設(shè)牙是固宦血線“向赴.則F 丸.枳仆存R辦f說明曲線在以萬(wàn)為眩向 托的個(gè)平面上，因而為平面衛(wèi)線證a三；桜亓兄固龍It線 向托，則尹萬(wàn)=0 .再微好丫昌產(chǎn)炕丸，產(chǎn)“日）.所以產(chǎn)， S尹三向hutiT 于是（尸戸戸-）=0，山撓傘的計(jì)舜公式知二0因此曲線為平m Illi 孤二如來兩曲線在對(duì)竝點(diǎn)有公真的劇法線則它們是半面關(guān)線.證i殳 曲線為r： ? = 7s）.則列一曲線1的MA式燈 p = 7v） + At5）zW - z（yj 為iFh線I /點(diǎn)S的主法向宣，也應(yīng)為r在對(duì)應(yīng)*的刷法線的方向向雖O 了

22、 = & AY- Ar P /止交.即 =叭 r 足 2-0, 2 人ffi 敵.0-u =人 r 0, a，=kpff B-2 r f-kti+r z 也U 7 正龍，即 p“ F 二-久 r-0, Ku A H （b 所以 nr =0 *曲線溝半面曲線冋理曲線r為平両曲*匕8.如*曲線r：三利罰為般駆、(；、0為的切向和主法向出kyrrmPtTio虛明r； puRff JB叢也址股螺線口證 因?qū)?為-股摞筑艸何仔在 誹苓常向吊？俛；4?成固足ft/hhll戲rJWJ向 蚩0 = yte +蘇fi-0二能 與丘冥線個(gè)此也與非亦常向雖五成固建ft*胃以r也為址明曲線r = 7V)為 似螺線的允

23、裂條件為(7,7,7) = 0liT 7 -kP . r = -N.-a + h：p + KTiy, r = -? + jc - Fcr + (2kt + ?i：t)Zp(77J) = ?(2ir十:門一3芒石=肚:一行)=芒3 = /(上)其中k H o.KKr - 7(s) / -股螺線的充孌*(1為匸 為常數(shù).叩(二0.也就是(頭丸；)二0 .KK方法一*療) = 0,即依依雋)= 0曲線F-F(巧為般螺線.則存在常向眾E kd e=常數(shù).斫u(iE = o応Q = o&v = a所以佞成典而*從而(石丘J =L U Z,桿(舟伐方 20則平f固:平而，設(shè)I甜匸平面的濃天為5則h(i-

24、= 0.加陌U &工P(常數(shù)h所以；：=r(s)為 股ts線方進(jìn)三:曲線F = ；v)為亠般螺線 O心圧常向&便卩丄G即pd二OoB屮行， IW走半面(W云為注向?4的呼冊(cè))0?平行嗣疋半潮0疔匸-7)二0 .疔弘卩U； ” =艮 =珂可為股線、存住常向晟運(yùn)f史療+巨=常數(shù).即=堆 -1+ J L J* h H + 續(xù)三次求峨商厲產(chǎn)0 = 0,產(chǎn)戶=0, FG = O .所：!(?.?) = 0片=1月為丘靈力二0 所以？半行于內(nèi)定平面，設(shè)內(nèi)疋半而的法火為喬(常向議h urij 7丄方，血B 月二0丄乳比以仙線為一般摞線。1山址明 條曲線的所甘切哉小“能冋討都是坍一糸曲線的仙線。而II是41“

25、琨合的【10所以作溝卄|丫線的苗親mt設(shè)iiHiuqr在對(duì)應(yīng)點(diǎn)冇公我的切線* H的衣達(dá)代為，/ - r(s).則r： P - r(j) + Z(j) afj). aH 0, Jt切向扯為 0 = 5 十 Aa 十 Ak0 應(yīng)勺 平行.所W fc 0 .從血曲線廠為卍H同理曲線r為訂給 不同的刖線不町龍U冬真購(gòu)切線.11. a/L兩條刖線廠、r的點(diǎn)之間建立了 - 們件茁應(yīng)點(diǎn)的主法線以R制注錢也遼相半行. 般檢線.則r也為 般曙?線、M尊關(guān)系，tt匚們?cè)趯?duì)應(yīng)點(diǎn)的切絨平彷 證叩它H它們的撓率和曲率都成比例*岡此01果為ill： t殳曲線I 7 = 7Xs) /T ： r - 7(7)點(diǎn)建；打 對(duì)亦

26、使：們劉應(yīng)點(diǎn)的切哉鬥丁. 丹斥一-則込巧選擇參數(shù)町他負(fù)對(duì)二帀厲人陰瑞m 求微筒需5 =壓一叩邙Gr尸和.這5 話一匸一竺aO,所以荷0 = 0.即i法線平廳，乩耐73 = ;丁(勾.關(guān)購(gòu)刑線的測(cè)法線也T行. -rZr P K必(hthKT. KK或=.1KT ITK = K. rk =0,消去EG-F2得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為Edu2=Gdv2.9 .設(shè)曲面的第一基本形式為 錯(cuò)誤!未找到引用源。=du2 (u2 a2)dv2，求曲面上三條曲線u = av, v =1相交所成的三角形的面積。解三曲線在平面上的圖形(如圖)所示。曲 線圍城的三角形的面積是0 S= Ju2aa21du dv

27、uaaVu0a21du dvuaa =2 Ju02 2 J2 =aT 1a2du dv=2 (10a2du3a2)2u Ju2a2 a21n(uln(1V2)。10.求球面 r =a cos sin,a cos sin,asin的面積。解 r = asin cos , asin sin , a cosr = a cos sin,a cos cos ,0E=r2=a,F= r r = 0 , G =a2 cos2.球面的面積為:S =d22 7a4 cos2 d 2 a02 cos22 a2 sin |242r11.證明螺面 r =ucosv,usinv,u+v和旋轉(zhuǎn)曲面r =tcos,tsin

28、,Jt2 1(t1, 02 )之間可建立等距映射y 2=arctgu + v , t= Vu 1 .1)(du1 udv)22 1)du2u亠du21 u22dudv (u21)dv2=2du2+2 dudv+( u2+1) dv2=錯(cuò)誤!分析 根據(jù)等距對(duì)應(yīng)的充分條件，要證以上兩曲面可建立等距映射=arctgu+ v , t=Ju21 ,可在一個(gè)曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對(duì)應(yīng)點(diǎn)有相同的參數(shù)，然后證明在新的參數(shù)下，兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為 錯(cuò)誤！未找到引用源。=2du2+2 dudv+( u2+1) dv2,t 2旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為 錯(cuò)誤!未

29、找到引用源。=(1二)dt2 t2d ,在旋轉(zhuǎn)曲 t21面上作一參數(shù)變換=arctgu + v , t =Ju2 1 ,則其第一基本形式為：2 彳 2u 1. u .2,2(1 一 )du (uu u 1未找到引用源。所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射=arctgu + v , t = Ju21 . 3曲面的第二基本形式1.計(jì)算懸鏈面r =coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 ru =sinhucosv,sinhusinv,1,rv=-coshusinv,coshucosv,0ruu =coshucosv,coshus inv, 0,治=-s in hu

30、s inv,sin hucosv,0.2 2 2 2rvv=-coshucosv,-coshusinv,0, E ru = cosh u, Fru 5=0,6 rv =cosh u.所以錯(cuò)誤！未找到引用源。=cosh 2u du2+ cosh 2udv2 .n = J E= cosh u cosv, cosh u s in v,s in hus inv, Veg F 2 cosh ucoshucoshuL=1, M=0, N=- =1 .Jsinh2 1Jsinh21所以錯(cuò)誤!未找到引用源。2 2du +dv2.計(jì)算拋物面在原點(diǎn)的2X3 5X12 4X1X2 2x1第一基本形式,第二基本形式.

31、c解 曲面的向量表示為r Xi, x2 xf 2xiX2 X；,rx11,0,5x12X2(0,0)h。,。 ,rx2 0,1,2x1 2x2 (0,0)O,1,0,rx1X1O,0,5,X1rx1X20,0,2 , r0,0,2, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,X2X2錯(cuò)誤!未找到引用源。=dx12 dx；,錯(cuò)誤!未找到引用源。=5dx12 4dx1 dx2 2dx|.3.證明對(duì)于正螺面 r=ucosv,usinv,bv,-Xu,v X處處有 EN-2FM+GL=0)解 u cos v, sinv,0,v u sin v, ucosv

32、,b , g =0,0,0,2ruv =-uucosv,cosv,0, 仏=-ucosv,-usinv,0, E ru1 , Fr. rv 0 ,G rv2u2 b2 , L= 0, M =I* b , N = 0 .所以有 EN - 2FM + GL= 0 .14.求出拋物面z -(ax2by2)在(0,0)點(diǎn)沿方向(dx:dy)的法曲率.解 rx 1,0, ax(0,0)1,0,0 , ry O,1, by(0,0)0,1,0 , rxx0,0,a , rxy 0,0,0ryy 0,0,b ,E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向 dx:dy 的法曲率人 adX bdydx

33、2 dy25. 已知平面 到單位球面(S)的中心距離為d(0d1),求 與(S)交線的曲率 與法曲率.解 設(shè)平面 與(S)的交線為(C),則(C)的半徑為d2 ,即(C)的曲率為Jl d2 ,所以1k =,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于V1 d2 (C)的法曲率為kn k Jl d2 = 1 .6.利用法曲率公式kn y,證明在球面上對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基本量成比例。證明 因?yàn)樵谇蛎嫔先我稽c(diǎn)處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對(duì)于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dvk 72 2Ldu2 2Mdudv Ndv2Edu2

34、 2Fdudv Gdv21或-R，所以i rR)，即第一、第二8.求曲面z xy2的漸近線.解 曲面的向量表示為r x,y,xy2,rx 1,0, y2,ry 0,1,2xy, rxx0,0,0,rxy 0,0,2y, q 0,0,2x, Erx2 1 4y4, F x ry2xy2,G2 , 2 2ry 1 4x y .L 0,M=2y, NJ1 4x2y2 y42x& 4x2y2 y4漸近線的微分方程為L(zhǎng)dx22Mdxdy Ndy2 ,即4ydxdy2xdy20, 一族為dy=0,即類基本量成比例。7 求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一族是螺旋線。證明對(duì)于正螺面 r=ucosv,usi

35、nv,bv, ru cos v,si n v,0,v u si nv,ucosv,b， ruu=0,0,0 ， rvv=-ucosv,-usi nv,0L JeG F2族曲線是直線,(rurvruuf =晉呂=0 -所以u(píng)族曲線和v族曲線都是漸近線。而u v族曲線是螺旋線。y Ci,Ci為常數(shù).另一族為c,c為常數(shù).2 22ydx=-xdy, 即 In x y C2,或 x y9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線的主法向量所確定的平面 法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線rr(s)，它的主法線曲面為S:r(s,t)r(s)rt (s)，rs r(s) t&(s) r t(rr r r

36、)(1 t ) t ， t(1 t )r在曲線上，t = 0 , rsr,曲面的單位法向量Jeg fr，即 n r證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上，沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C),與曲線(C)的密切平面重合，所以每一條曲線(C)在它的主所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù)，y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為r =x,y, f(x)+g(y),x= 常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。rx 1,0, f , ry0,1, g. L 0,0, f, L 0,0,0, L 0,0, g,r rx=常數(shù),y=常數(shù)因?yàn)镸 L : r

37、y0,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族VEG F2構(gòu)成共軛網(wǎng)。11.確定螺旋面r =u cosv,u sinv,bv上的曲率線.r vv解rucos v, sin v,0, rv u sin v, u cos v, bruu=0,0,0=-ucosv,-us inv,02ruv =-si nv,cosv,0, Eg 1 ，F(xiàn)rurv0 ，2 2rvub2，rn M=命,N=0曲率線的微分方程為dv210dudv0b/22Vubdu2u2 b200,即 dv評(píng).，積分得兩族曲率線方程：ln(uVu2 b2)G 和 v ln(Ju2b2u)C2.12.求雙曲面z=axy上的曲率線.dy21 a2x22 L22y ,F a x,Ga x ,L 0,M0壽,N=0 .2 2a ydxdy2 2 2a x ya2 2 2 2 a x a ydx2a2x=0 得(1 a2y2)dx2(1a2x2)dy2 ,積分得兩族曲率線為ln(ax V1 a2x2)ln(ay J1 a2y2)c.13.求曲面r |(u v),b(uv),uv上的曲率線的方程.2,2 2解 Ea一b一 , F42 , 2 2,2 2 a b uv c a b u ,G 44,L0,ab/M= ,2J EGF尹=0.