合肥工業(yè)大學(xué)電磁場與電磁波孫玉發(fā)版答案

1、第四章習(xí)題解答【4.1】如題 4.1 圖所示為一長方形截面的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為 U 0 ，求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 根據(jù)題意，電位(x,y) 滿足的邊界條件為 (0,y) (a,y) 0 ； (x,0) 0 ； (x,b) U 0 根據(jù)條件和，電位(x, y) 的通解應(yīng)取為題 4.1兩邊同乘以(x,y)Ansinh( n y )sin( n n 1 ax) 由條件，有 anxsin( ) ，并從 0 到 a 對 x 積分， a得到 An故得到槽內(nèi)的電位分布 (x,y) 4U0asin(asinh( n b a) 0 nysinh( )

2、sin( a y d 到 y2U0nx)dx an 1,3,5,L nsinh(n b a)4.2 兩平行無限大導(dǎo)體平面，距離為 b ，其間有一極薄的導(dǎo)體片由n x)ab(解 應(yīng)用疊加原上板和薄片保持電位 U 0 ，下板保持零電位， 求板間電位的解。 設(shè)在薄片平面上， 從 y 0到 y d ，電位線性變化， (0, y) U0y d理，設(shè)板間的電位為存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平面間(電壓為 U 0 )的電位，即1(x, y) U0y b； 2(x,y) 是兩個電位為零的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo) 界條件為：2 ( x,0)2(x,b) 02(x, y) 0 ( x )U02 (0, y)(0, y)1 (

3、0, y)U0d0 yU0b0 yU0b0 y(0 y(d yd)b)根據(jù)條件，可 設(shè) 2(x,y) 的 通 解 為2(x, y)An sin(n y)e n 1 bb x ；由條件有1 Ansin( nby)U0U0dUb0yU0b0 y兩邊同乘以故得到nysin( )，并從 0 到b對 y積分，得到 b(x, y) U02bU01 n d(x, y)0 y 202 sin(b d n 1 n4.4 如題 4.4 圖所示的導(dǎo)體槽，底面保持電位解 根據(jù)題意，n y n x)sin( n y )e b bbU0 ，其余兩面電位為零，求槽內(nèi)的電位的解。(0(dy d)y b)電位 (x,y) 滿足

4、的邊界條件為題 4.4 圖(0,y) (a,y) 0(x,y) 0(y )(x,0) U0，電位 (x,y) 的通解應(yīng)取為(x,y)Ane n y a sin( n x ) ；由條件，有 n 1 anx兩邊同乘以 sin( )，并從 0到 a對x積分，得到 An aU 0An sin( n x )n 1 aanxsin( )dx0a2U02U 0 (1 cosn ) n【 4.5】一長、寬、高分別為 a 、4U 0 n 0， b 、 c 的長方體表面保持零電位，體積內(nèi)填充密度為n 1 ,3,5,n 2, 4, 6, Ly(yb)sin( x )sin( z)c解 在體積內(nèi)，電位 滿足泊松方程長

5、方體表面 S 上，電位 滿足邊界條件；故得到 (x, y)的電荷。求體積內(nèi)的電位4U0n 1,3,5,L ny a n x y a sin( )(x, y, z)0 m 1np1由此可得Amnp 0 ( m1) ；由式( 2)，得2A1n1( )2 an2(nb)2( )2cy0 。由此設(shè)電位1y(y0的通解為mxAmnp sin()sin(anybp122A1n1( )2 aby( y b)sin(nb)2zb)sin( )sin( )cpz)sin( ) ，代入泊松方程 c(c)2sin( nby) y(yn y 4 b 3 nby)d y 4b(nb )3(cosn1)1)，可得b)1)

6、2)8b2(n )30n 1,3,5,L ； 故n 2,4,6,L(x, y, z)8b250n【 4.6】如題 4.6圖所示的一對無限大接地平行導(dǎo)體板，板間有一與解 由于在 (0, d ) 處有一與 z 軸平行的線電荷11 n 1 sin( )sin( 1,3,5, L 3 1 2 n 2 1 2 a 1,3,5,L n3( )2 ( )2 ( ) 2abcny nby)sin(z 軸平行的線電荷 ql ，其位置為 (0,d) 。求板間的電位函數(shù)。 ql ，以 x 0 為界將場空間分割為 x 0 和 x 0 兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位1(x,y) 和 2(x,y) 都滿足 拉普拉斯方 程

7、。而在 x 0 的分界面 上，可利用函 數(shù) 將 線 電 荷 ql 表 示 成 電 荷 面 密 度(y) ql ( y y0)。 電位的邊界條件為由條件和，可 由條件，有題 4.6 圖1(x,0)=1 (x,a) 0 ，2(x,0)=2(x, a) 01(x, y)0 (x ) ，2( x, y)0( x)1(0, y)2(0, y) ，(21)x 0ql ( y d )xx0設(shè)電位函數(shù)的通解為An sin( nn1y)nyBn sin()n11)由式( 1)，可得 An BnAn na sin(nay) n 1 a aBn na sin( nay) aaql ( y0d)2)3)；將式( 2)

8、兩邊同乘以 sin(m y)，并從 0到a對 y積分，有由式( 3)An Bn n 和( 4)解得2qla1(x,y)ql4.7數(shù)。2ql(y d)sin( n y)dy2ql sin(n da n 0 a1 sin( n d)e n x a sin(n y)1 n a a0n如題 4.7 圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電荷由 于 在 (x0 ,y0 ) 處 有 一 與 z 軸 平 行 的 線 電 荷 ql ， 以 x x0 和 x0 x a 兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)域中的電位 函數(shù)將線電荷方程。而在 x x0 的分界面上， 電位的邊界條件為1(0, y)=0 ， 2(a,y)

9、可利用0，1(x,0)=(x 0)4)ql 。求槽內(nèi)的電位函x01(x,y)和 2(x, y) 都滿足拉普拉斯 ql 表示成電荷面密度 (y) ql (y y0) ，1(x,b) 0 ，2(x,0)= 2(x,b) 0 1(x0,y)2(x0,y) (2x 由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為 由條件，有1)xx x0ql (y y0)0n1nyAn sin()sinh(bn x0b)n1n n yAnsin( ) cosh(n 1 b bx0)nnBnsin(b由式( 1)，可得 An sinh( n x0) Bn sinh n bb將式( 2)兩邊同乘以 sin(m y)，并從 0到b對 y積分

10、，有b(ax0) 0n x0An cosh(0nb 由式( 3)和( 4)解得n) Bn cosh (ab2ql1(x,y)2ql2(x,y)0n2qlx0 ) n 0(yn sinh (a n sinh(n a b)b1x0)為界將場空間分割為題 4.7 圖Bn sin(n y )sinh nb(a x0)1)n) cosh b (ax0)ql (y0y0)2)3)nyy0)sin( b )dysin( n by0 )sinh( nn y0n2ql0 sin( b 0)bx)sin(nby)，(04)x0)n x0sinh( 0 )n sinh(n a b)b b by0 和 y0 y b

11、兩個區(qū)域，則可類似地得到0 exE0 中垂直于電場方向放置一根無限長導(dǎo)體圓柱，圓柱的半徑為sin(n y0n n y0 )sinh(a x)sin( ) ，b(x0x a)若以 y y0 為界將場空間分割為 0 y *4.8 如題 4.8 圖所示，在均勻電場 E 位 和電場 E 以及導(dǎo)體表面的感應(yīng)電荷密度解 在外電場 E0 作用下，導(dǎo)體表面產(chǎn)生感應(yīng)電荷，圓柱外的電位是外電場E0的電位 0 與感應(yīng)電荷的電位柱為無限長，所以電位與變量 z 無關(guān)。在圓柱面坐標(biāo)系中，外電場的電位為0(r, )E0x CE0r cos參考點確定) ，而感應(yīng)電荷的電位 in (r, ) 應(yīng)與 足的邊界條件為a 。求導(dǎo)體圓

12、柱外的電in 的疊加。由于導(dǎo)體圓 C (常數(shù) C 的值由 0(r, ) 一樣按 cos 變化，而且在無限遠處為 0。由于導(dǎo)體是等位體，所以(r, )滿(a,)C(r,)E0r cosC (r)由此可設(shè)(r,)E0r cos1A1r cosC由條件，有E0acos A1a1 cos CC2于是得到 A1 a2E0 ， 故圓柱外的電位為 若選擇導(dǎo)體圓柱表面為電位參考點，即 導(dǎo)體圓柱外的電場則為(r , ) (a, ) 0，則 C(r0。21a r )E0 cosC導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為(r , )0r* 4.11 如題 4.11 圖所示， 一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為 計算空間各部分的電位。解a2

13、0 E0 cosa 、介電常數(shù)為，在距離軸線 r0(r0 a) 處，有一與圓柱平行的線電荷 ql，p(r,在線電荷 ql 作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位 即 (r, ) l (r, )p (r ,( r , ) 均為線電荷 ql 的電位 l (r , ) 與極化電荷的電位 )線電的加lnRqll (r ,疊2題 4.11 圖ql ln r 2 r02 2 rr 0 cos 0 而極化電荷的電位p (r , ) 滿足拉普拉斯方程，(r, ) 滿足的邊界條件為分別為1(0, ) 為有限值； r a 時， 11)且是 的偶函數(shù)。介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位1(r,)和將式(1)( 3)帶入條件，

14、當(dāng)r帶入式2(r,l (r, )(r由條件和可知， 1( r ,1( r , )2(r,可得到n1r0時，將 ln R 展開為級數(shù)，有l(wèi)n5)，得n( An nann1Bn 0na)和r2(r,l (r, )l(r,nAn a cosn(Ann1n1naln r0n1)cosn由式( 4)和( 7)，有An a nBn a n由此解得Aql (0 )An2 0 (n0) nr0nBnql(2 0 (討論：其中 R1(r,2(r,0r) 的通解為0nar0(0 )ql2 0 r02na0)0) nr0nnAnr cos n1(0a)2)BnnBnr cos n1na cos n)cos n( a

15、 )n 1 cosn1 r0(ar)3)0)2ql00lnRra5)6)7)故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為2ql 0ln r2 r02 2rr0cosql (0)2 0 ( 0)ql ln r 220r02 2rr0 cosql (0)2 0 (0) n1 ( r ) n cosn r02an( ) cosn r0r1n8)1n9)利用式( 6)，可將式( 8)和( 9)中得第二項分別寫成為r2 (a2 r0)2 2r (a2 r0 )cos 。因此可將 1(r,)和 2(r, ) 分別寫成為由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于(r0, 0)的線電荷ql的電位相同，而介質(zhì)圓柱外的電位相當(dāng)于三根

16、線電荷所產(chǎn)2生，它們分別為：位于( r0, 0)的線電荷 ql ；位于 (a ,0)的線電荷 0 ql ；位于 r 0的線電荷 0 ql。r0 0 0*4.13 在均勻外電場 E0 ezE0 中放入半徑為 a的導(dǎo)體球，設(shè)( 1)導(dǎo)體充電至 U 0 ；(2)導(dǎo)體上充有電荷 Q 。試分別計算兩種情 況下球外的電位分布。解 (1)這里導(dǎo)體充電至 U0 應(yīng)理解為未加外電場E0 時導(dǎo)體球相對于無限遠處的電位為U 0 ，此時導(dǎo)體球面上的電荷密度0U0 a ，總電荷 q 4 變化，但總電荷 q 仍保持不變，導(dǎo)體球仍為等位體。 設(shè) ( r , ) 產(chǎn)生的電位。0 (r , ) 電位 (r ,時，0aU 0 。

17、將導(dǎo)體球放入均勻外電場 E 0中后，在in (r, ) ，其中 0(r, )E0zE0r cos) 滿足的邊界條件為E0r cos ； r a 時， (a,E0 的作用下，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球面上的電荷密度發(fā)生是均勻外電場E 0 的電位，in(r, ) 是導(dǎo)體球上的電荷C0 ，0 ? dSSr(r,0。(r , )E0r cos2A1r cosB1r 1若使 C0U 0 ，可得到( r , )E0r cos(2)導(dǎo)體上充電荷Q 時，令 Q4 0 aU利用( 1)的結(jié)果，得到(r , )E0 r cos其中 C0 為常數(shù)，若適當(dāng)選擇0) 的參考點，可使 C0 U 0 。由條件，可設(shè)C1 代入條件，

18、可得到A13 2 1a E0r cos aU 0r，有 U 0 4 Q40aa3E0，B1 aU 0 ，C1 C 0 U 0a 3 E0 r 2 cosQ4 0rE 為外加電場 E0 與極化電荷的電場 E p的疊加。設(shè)空腔內(nèi)、外的電位分別為1(r, ) 和 2(r, ) ，則邊界條件為r時， 2(r , )E0r cos ； r 0時， 1(r, ) 為有限值； r a時， 1(a, )2(a, ) ， 0 1 rE0r cos A1r c2r os ， 2(r , )E0 r cos2A2 r cos帶入條件，有A1aA2 a ， 0 E00A1E02a3A2由此解得 A10 E0 ， A2

19、0 a3E02 0 0 220所以1(r , )空腔內(nèi)、外的電場為E0r cos04.14 如題 4.14 圖所示，無限大的介質(zhì)中外加均勻電場 E0 ezE0 ，在介質(zhì)中有一個半徑為 a 的球形空腔。求空腔內(nèi)、外的電場 E 和空腔表面的極化電荷密度(介質(zhì)的介電常數(shù)為 )。解 在電場 E0 的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場3E11(r , )E020E22(r, ) E0 ( 2 0)0E0 (ar )3er 2cose sin 空腔表面的極化電荷面密度為4.17 一個半徑為 R 的介質(zhì)球帶有均勻極化強度 P1）證明：球內(nèi)的電場是均勻的，等于2）證明：球外的電場與一

20、個位于球心的偶極子P 產(chǎn)生的電場相同，4 R33 解 （ 1）當(dāng)介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會形成極化電荷分布，本題中所求的電場即為極化電 是均勻極化，介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球面上有極化電荷面密度，球內(nèi)、外的 程，可用分離變量法求解。建立如題 4.17 圖所示的坐標(biāo)系，則介質(zhì)球面上的極化電荷面密度為介質(zhì)球內(nèi)、外的電位 1和 2滿足的邊界條件為1（0, ） 為有限值；2(r, ) 0(r）；1(R, )2(R, ) ； 0( 1r2 ) r R Pcos因此，可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為1(r, ) A1r cos2(r, ) rB21 cosr荷所產(chǎn)生的場。由于 電位滿足拉普拉斯方由條件，有A

21、1RB12B1解得A1R2P0 (A13 )RPR3于是得到球內(nèi)的電位30B11(r,30Pr cosPz，30故球內(nèi)的電場為E1Pez 3 00302）介質(zhì)球外的電位為2(r, ) 3PR 32 cos 0r20r4 R3P cos20r2cos其中4 R 為介質(zhì)球的體積3。故介質(zhì)球外的電場為 E22(r,er r可見介質(zhì)球外的電場與一個位于球心的偶極子4.20 一個半徑為 a 的細導(dǎo)線圓環(huán)，環(huán)與 位為解 以細導(dǎo)線圓環(huán)所在的球面 成球面 r a 上 的 電rrP 產(chǎn)生的電場相同。 xy 平面重合，中心在原點上，P3 (er 2cos0r環(huán)上總電荷量為r a 把場區(qū)分為兩部分，分別寫出兩個場域的通解，并利用 荷面密度根據(jù)條件和，可得(cos )系數(shù)。外的電位分別為 1（r, ） 和sin )Q ，如題 4.20 圖所示。證明：空間任意點電函數(shù)將