f分布t分布和卡方分布之歐陽(yáng)引擎創(chuàng)編

1、 1.4常用的分布及其分位 數(shù)歐陽(yáng)引擎(2021.01.01)1.卡平方分布卡平方分布.t分布及F分布都是由正態(tài)分布所導(dǎo) 出的分布，它們與正態(tài)分布一起，是試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)中 常用的分布。當(dāng)XI. X2、Xn相互獨(dú)立且都服從N(0,l)時(shí)，Z=ZX-的分布稱為自由度等于n的力2分布，記I作Z力2(n),它的分布密度z 0其他,式中的r(朗廠 皿,稱為Gamma函數(shù)，且r(i)=i,廠丄卜。力?分布是非對(duì)稱分12丿布，具有可加性，即當(dāng)Y與Z相互獨(dú)立，且丫一Z2(w), Z-/2 (/?),貝IJ Y+Z/2(n+w)o證明：先令 XI. X2、“ Xn. Xn+1. Xn+2.“Xn+m相互獨(dú)立且都服從N

2、(0,l),再根據(jù)力2分布 的定義以及上述隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性，令Y二Xf+X；+X爲(wèi)Z二X緒+X：+2+X爲(wèi)，Y+Z= X f+X卄+X汁X材+X仏+X爲(wèi)， 即可得到 Y+Z/2(n+/n)o2t分布若X與Y相互獨(dú)立，且 _X-N(0,l), 丫一/()，則 Z=x/l L 的分布稱 為自由度等于n的t分布，記作乙一15),它的 分布密度“r(i)( Q 卜出P(z)=- 1 + 2 o請(qǐng)注意：t分布的分布密度也是偶函數(shù)，且當(dāng) n30時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,l)的密度曲 線幾乎重疊為一。這時(shí)，t分布的分布函數(shù)值查 N(0,l)的分布函數(shù)值表便可以得到。3F分布若X與Y相互獨(dú)立，且X/

3、(叭丫一力2(加)，則Z=-/-的分布稱為第一自由度等于仏 第二自n / m它的由度等于加的F分布，記作ZF (死,ni), 分布密度n 2 m 2 r|n + mr(H W八込)P(z)=n m0,n + ni(m + nz) 2z0其他請(qǐng)注意：F分布也是非對(duì)稱分布，它的分布密 度與自由度的次序有關(guān)，當(dāng)Z_F (n, /n)時(shí)，1- 乙F (m 加。4t分布與F分布的關(guān)系9若 xt(/i),則 Y=x F(l)o 證：xg), X的分布密度Y=X2 的分布函數(shù) Fr(y) =PYj=PX2jo當(dāng)yWO 時(shí)，F(xiàn)r(y)=O, pr(y)=O; 當(dāng)冋時(shí)，F(xiàn)r(y) =P-a/7XJ7= J_；，

4、7 卩(兀)d x=2Io7 P(兀)d 耳 Y=X，的分布密度與第一自由度等于匚第二自由度等于n的F分 布的分布童度相同，因此Y=X 2 一F(l/)。為應(yīng)用方便起見，以上三個(gè)分布的分布函數(shù)值都可 以從各自的函數(shù)值表中查出。但是，解應(yīng)用問題 時(shí)，通常是查分位數(shù)表。有關(guān)分位數(shù)的概念如 下：4.常用分布的分位數(shù)1)分位數(shù)的定義分位數(shù)或臨界值與隨機(jī)變量的分布函數(shù)有關(guān)，根據(jù) 應(yīng)用的需要，有三種不同的稱呼，即a分位數(shù). 上側(cè)a分位數(shù)與雙側(cè)a分位數(shù)，它們的定義如 下：當(dāng)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x),實(shí)數(shù)oc滿足0 va A =1-F( 2)=a的數(shù)4雙側(cè)a分位數(shù)是使PX A 2=1-F( A 2)=0

5、.5 a 的數(shù);I 2。因?yàn)閘-F(A)=a, F(2 )=1- a,所以上側(cè)a分位數(shù) 人就是1- *分位數(shù)乂1_ a ；F( A 1)=0.5 a , l-F(A2)=0.5a,所以雙側(cè) a 分位 數(shù)2 1就是0.5 a分位數(shù)at 0.5 a ,雙側(cè)a分位數(shù)22就是1-05o(分位數(shù)勺-0.52)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的a分位數(shù)記作0.5 a:數(shù)記作 0.5 a , 1-0.5 a :數(shù)記作 ui-0.5PXviq-o.5 a = F(),i (ui-o.5 a )=1-0 5 a。 根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性， 當(dāng) a =0.5 0, ua=0；當(dāng)a 0.5時(shí)，叫0oua =ul- a o如果

6、在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值表中沒有負(fù) 的分位數(shù)，則先查出町然后得到ua=-ui- a 論述如下：當(dāng) XN（0,l）時(shí)，PX iq- a =!- Fo,i（5- a）= a,故根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性，ua=- 叫- a 例如，u 0.1（）=-u o.9o=i 1.282,U 0.05=-U 0.95=-1.645,u o.oi=-u（）.99=2326，U 0.025=-U 0.975=-1.960,U 0.005=-U 0.995=-2.576。又因?yàn)镻IXI0,當(dāng) X一力2（町時(shí),PX/2 a （n）=a o例如，力2 0005（4）=021,力2 0 025（4）=0.48,X

7、2 0.05 =071,力2 0.95=949,力 2 0.975=111，力 2 0.995(4)=14.9。4) t分布的ex分位數(shù)記作)。當(dāng)X-t(n)時(shí),PX30時(shí)，在比較簡(jiǎn)略的表中查不到t a (n),可用ua作為ta (n)的近似值。5) F分布的a分位數(shù)記作Fa (/I皿)。F a (n ,加)0,當(dāng) XF(n ,加)時(shí)，PXF a (n , /n)= a o另外，當(dāng)a較小時(shí)，在表中查不出F a (n, 須先查Fl _ 匕(加皿)，再求 F a(畀，ZM)= 。FS，n) 論述如下：當(dāng) X-F(m)時(shí),PX=1- a,X F又根據(jù)F分布的定義，l_F(n,/n), PlFa(n,

8、AAm) = a,因此 F a (n, m)= 1。F(m , n )例如，F(xiàn)o.95(3,4)=659, F 0.975(3,4)=9.98,F 0.99(3,4)=16.7, F 0.95(4,3)=9.12,F 0.975(4,3)=15.1, F 0.99(4,3)=28.7,F 0.01(3,4)=!, F 0.025(3,4)二占，F(xiàn)Zo. /13.10.05(3,4)=希?！菊n內(nèi)練習(xí)】1求分位數(shù)才2 0.05(8),z 2 0.95(12)。2求分位數(shù)t(H)5(8),10.95(12)。3求分位數(shù)Fo.O5(7,5),Fo.95(1O,12)。4.由u 0.975=1 960寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分位 數(shù)。5由10.95(4)=2.132寫出有關(guān)的上側(cè)分位數(shù)與雙側(cè)分 位數(shù)。6若X八，PXv0711=005, PX9.49=0.95,試寫出有關(guān)的分位數(shù)。7若XF(5,3), PXv901=095, YF(3,5), Y1.44oi習(xí)題答案：1. 2.73,210。2-1.860, 1782。3占，337。4. 1.960為上側(cè)0.025分位數(shù)，-1.960與1.960為雙側(cè)0.05分位數(shù)。5. 2.132為上側(cè)0.05分位數(shù)，-2.132