高中物理競(jìng)賽基礎(chǔ)：質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)

1、rdl1222.4 質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)241、質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)(1)勻速圓周運(yùn)動(dòng)如圖 2-4-1 所示，質(zhì)點(diǎn) p 在半徑為 r 的圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的位置可用角度 表示（習(xí)慣上以逆時(shí)針轉(zhuǎn)角正，順 時(shí)針轉(zhuǎn)角為負(fù)），轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢用角速度表示：dqw = limdt 0 dtyovdq2v1px質(zhì)點(diǎn) p 的速度方向在圓的切線方向，大小為圖 2-4-1v =limdt 0dldtr q=lim 0 =wr dt 0 dt （或 v）為常量的圓周運(yùn)動(dòng)稱為勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這里的“勻速”是指勻角速度或勻速率，速度的方向時(shí)刻在變。因此，勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)具有加速度， 其加速度沿半徑指向圓心，稱為

2、向心加速度（法向加速度）。w =vn2/ r =w2r =wv向心加速度只改變速度的方向，不改變速度的大小。(2)變速圓周運(yùn)動(dòng) （或 v）隨時(shí)間變化的圓周運(yùn)動(dòng)，稱為變速圓周運(yùn)動(dòng)，描述角速度變化快慢的物理量為角加速度dwb = limdt 0 dt質(zhì)點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度的大小和方向都在變化。將速rv2rdvrdv/rvrv1rv1r r r r r度增量 dv 分解為與 v 平行的分量 dv 和 v 垂直的分量 dv ，如圖/r r r2-4-2。 v1 相當(dāng)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)個(gè)的 dv , dv11 的大小為dqdqrpdv =v -v =wr -wr 12 2 1 2 1=rdw圖 2-4-

3、2質(zhì)點(diǎn) p 的加速度為rr dva = lim = lim dt 0 dt dt 0rdvdt/+ limdt 0rdvdtr r=a +atn其中r ra , ar nr就是切向加速度和法向加速度。 a =btra =vn2/ r =w2r為常量的圓周運(yùn)動(dòng)，稱為勻變速圓周運(yùn)動(dòng)，類似于變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有w =w +bt0q=w t + 012bt2v =w r0 0v =wr =v +brt =v +a t0 0 r(3)圓周運(yùn)動(dòng)也可以分解為二個(gè)互相垂直方向上的分運(yùn)動(dòng)。參看圖 2-4-3 一個(gè)質(zhì)點(diǎn) a 在 t=0 時(shí)刻從 x 正方向開始沿圓周逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在 x 方向 上x =

4、r coswtyvvyv =-vsin wt =-wrsin wt xa =-acos wt =-w2rcos wt xovxwtravx在 y 方向上：p)y =r sin wt =r cos(wt -2p)v =v coswt =-wrsin(wt -y2a =-asin wt =-w2r cos(wt - yp2)圖 2-4-3從 x 和 y 方向上的位移、速度和加速度時(shí)間 t 表達(dá)的參數(shù)方程可以看出：勻速圓vap周運(yùn)動(dòng)可以分為兩個(gè)互相垂直方向上的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，它們的相位相差 2242、剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體平面平行運(yùn)動(dòng)的特征是，剛體上的任意質(zhì)點(diǎn)都作平行于一個(gè)固定平面的運(yùn)動(dòng)。如圓柱沿斜面的滾

5、動(dòng)，即為平面平行運(yùn)動(dòng)。可取剛體上任意平行于固定平 面的截面作為研究對(duì)象。剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)，常有兩種研究方法：一種是看成隨基點(diǎn)（截面上任意一點(diǎn)都可作為基點(diǎn)）的平動(dòng)和繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)；另一種是選取截面上的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心 s（簡(jiǎn)稱瞬心）為基點(diǎn)。瞬心即指某瞬間截面上速度為零的點(diǎn)。這樣， 剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)看成僅作繞瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)。確 定 瞬 心 的 方 法 有 兩 種 ： 如 圖s2-4-4(a) 所示，若已知截面上兩點(diǎn)的速ava度，則與兩速度方向垂直的直線的交點(diǎn)即為瞬心?；蛉鐖D 2-4-4(b)所示，已知vaabvbsv / wa（a）（b）截面轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度及截面上某一點(diǎn)a圖 2-4-4的速度 ，則

6、在與速度垂直的直線上，與 a 點(diǎn)距離為v /aw的點(diǎn)即為瞬心。注意，瞬心的速度為零，加速度不一定為零。243、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體上或其延展部分有一根不動(dòng)直線，該直線稱為定軸，剛體繞這一軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上各點(diǎn)都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，各點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，在某一時(shí)刻，剛體上所有各點(diǎn)的角位移、角速度和角加速度都是相同的。而各點(diǎn)的線位移、線速度和線加速度則隨各點(diǎn)離開轉(zhuǎn)軸的jxy垂直距離不同而不同。244、一些求曲率半徑的特殊方法x 2 y 2+ =1先看橢圓曲線 a 2 b 2 ，要求其兩頂點(diǎn)處的曲率半徑。介紹以下兩種方 法：(1)將橢圓看成是半徑 r=a（設(shè) ab

7、）的圓在 d 平面上的投影，圓平面yqpx如圖 2-4-5和 d 平面的夾角 滿足關(guān)系式（如圖 2-4-5）b bcosj =r a設(shè)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)以速率 v 在圓上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則向心加速度a =v 2a，從上圖中可以看出，當(dāng)頂點(diǎn)的投影在橢圓的長(zhǎng)軸（x 軸）上的 p 點(diǎn)時(shí)，其速率和加速度 分別為：bv =v c o sj = v x a，a =xv 2a當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的投影在橢圓的短軸（y 軸）上的 q 點(diǎn)時(shí)，其速率和加速度分別為：v =vya =a c o fs=b yv 2a 2。因此橢圓曲線在 p、 q 的曲率半徑分別為：rrpqv 2 b 2= =a axv 2 a 2= =a byxyy0和x

8、 o x (2)將橢圓看成是二個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成，可以把y橢圓的參數(shù)方程（設(shè) ab）（如圖 2-4-6）qx =a cos q y =b sin q可改寫為ba pxx =a c o wstpy =b c o swt( - )2即可進(jìn)一步寫出 x， y 二個(gè)方程的速度 v 和加速度 a：圖 2-4-6v =-awsin wt a =-aw2 cos wt xpv = -b w sin( wt - )2pa = -b w 2 cos( wt - )2那么在長(zhǎng)軸端點(diǎn) p 處（wt =00）的曲率半徑：r =pva2pp=( bw) 2 b 2 =aw2 a在短軸端點(diǎn) q 處（wt =p2）的曲率半徑r =qv 2qaq=( aw)bw22=a 2b再把拋物線 y=ax 2 ，要求其任意一點(diǎn)的曲率半徑（如圖 2-4-7）因?yàn)閽佄锞€可以寫作參數(shù)方程yanqaatvyvvxx =v t 1y = at 22圖 2-4-7x其中a2 vo=a，這樣就可以導(dǎo)出v =v a =0 v =at a =ay y對(duì)任意一個(gè) t 值： v=v2x+v2y= v20+（at）2a n =acosq=avxv=v20av0+（at）2所以這一點(diǎn)的