《等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)一、設(shè)計(jì)理念讓學(xué)生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)，因?yàn)榻?gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過程在教學(xué)過程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和的求法通過設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路，并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí)，通過生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式，讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)同時(shí)根據(jù)我校的特點(diǎn)，為了促進(jìn)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展，還設(shè)計(jì)了選做題

2、和探索題，進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解 決問題的能力，達(dá)到了分層教學(xué)的目的二、背景分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書必修 5（ 北師大）中第二章的第三節(jié)內(nèi)容本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問題同時(shí)，求數(shù)列前 n 項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問題，通過對(duì)公式推導(dǎo)， 可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問題方法三、學(xué)情分析1、 學(xué)生已掌握的理論知識(shí)角度：學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，掌 握了等差數(shù)列的基本性質(zhì)，有了一定的知識(shí)準(zhǔn)備。2、 學(xué)生了解數(shù)列求和歷

3、史角度：大部分學(xué)生對(duì)高斯算法有比較清晰的認(rèn)識(shí)，并且知道此算法原理，但在高斯算法中數(shù)列 1，2，3，100 只是一個(gè)特殊的等差數(shù)列， 對(duì)于一般的等差數(shù)列的求和方法和公式學(xué)生還是一無所知。3、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律角度：本節(jié)課采取了循序漸進(jìn)、層層深入的教學(xué)方式，以問題解答的形式，通過探索、討論、分析、歸納而獲得知識(shí)，為學(xué)生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺(tái)，讓學(xué)生去感悟倒序相加法的和諧對(duì)稱以及使用范圍。四、教學(xué)目標(biāo)1、 類比高斯算法，探求等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式，理解公式的推導(dǎo)方法；2、 能較熟練地應(yīng)用等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式解決相關(guān)問題；3、 經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體會(huì)層層深入的探索方式，體驗(yàn)從特殊到一般

4、、具體到抽象的 研究方法，學(xué)會(huì)觀察、歸納、反思與邏輯推理的能力；4、 通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功； 五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)1、 教學(xué)重點(diǎn)： 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用2、 教學(xué)難點(diǎn)： 公式推導(dǎo)的思路3、 重難點(diǎn)解決的方法策略：本課在設(shè)計(jì)上采用了從特殊到一般、從具體到抽象的教學(xué)策略。利用分類討論、類比歸納的思想，層層深入。通過學(xué)生自主探究，分析、整理出推導(dǎo)公式的不同思路，同時(shí)，借助多媒體的直觀演示，幫助學(xué)生理解，通過教師的點(diǎn)撥引 導(dǎo)、師生互動(dòng)、講練結(jié)合，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)

5、。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情景，提出問題欣賞圖片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 17 世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建。它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細(xì)致令人叫絕。傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖 案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有 100 層，奢靡之程度，可見一斑。問題 1：你能計(jì)算出這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？教師活動(dòng)： 利用多媒體，展示泰姬陵的圖片，并截取出三角形寶石圖案，引導(dǎo)學(xué)生觀察 寶石數(shù)目變化情況。學(xué)生活動(dòng)： 欣賞之余觀察三角形中寶石變化情況并嘗試解決問題 1.活動(dòng)預(yù)設(shè)：（1）能得到的信息：從上到下，寶

6、石數(shù)目以 1 為公差依次遞增，構(gòu)成等差數(shù)列。 （2）需要解決的問題：100 層中究竟共有多少顆寶石？【設(shè)計(jì)意圖】（1）教師先用多媒體展示彩圖呈現(xiàn)的問題，使學(xué)生進(jìn)入問題情境，激發(fā)學(xué) 生的興趣，并使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生產(chǎn)生活。（2）以問題的提出作為引入方式，使學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)新課，更有目的性。 （二）探究等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式教師活動(dòng)： 指出此數(shù)列的求和方法在 1787 年已被高斯解決，讓學(xué)生講高斯故事。學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)課前的搜集簡(jiǎn)介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小學(xué)四年級(jí)時(shí)，一次數(shù)學(xué)老師布置了一道數(shù)學(xué)習(xí)題：把從 1 到 100 的自然數(shù)加起來，和是多少？年僅 10 歲的小高斯略一思索就得到

7、答案：5050，這使老師非常吃驚。問題 1：高斯是采用了什么方法來巧妙地計(jì)算出答案的呢？教師活動(dòng)： 指導(dǎo)學(xué)生快速找出規(guī)律。學(xué)生活動(dòng)： 高斯算法解決：1 + 2 + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100=？ 活動(dòng)預(yù)設(shè)： 高斯算法：1+100=101,2+99=101，50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050問題 2：在高斯算法中實(shí)際上利用了等差數(shù)列通項(xiàng)的哪種性質(zhì)？教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生思考高斯算法的技巧性及理論依據(jù)。學(xué)生活動(dòng)： 利用高斯算法計(jì)算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隱藏的等差數(shù)列 項(xiàng)的何種性質(zhì)?；顒?dòng)預(yù)設(shè)： 構(gòu)造數(shù)列： a =1, a =2,

8、 a =99, a1 2 99 100=100 ，則有性質(zhì)：等差數(shù)列 a 中，若 m +n =p +q ，則 a +a =a +a 。n m n p q【設(shè)計(jì)意圖】高斯算法首尾組合的思想揭示了等差數(shù)列“角標(biāo)和相等，對(duì)應(yīng)的項(xiàng)和相等”的特征，為等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)的“倒序相加法”做好鋪墊，開啟了更深入、 更細(xì)致的研究大門。n2問題 3：你能否利用高斯算法解決一般等差數(shù)列的求和問題？方法：倒序相加法 （借助幾何圖形之直觀性，把這個(gè)“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成 平行四邊形， 由此引入倒序相加法）教師活動(dòng)：sn= a + a12+ a3+ + an - 2+ an -1+ ansn= an+

9、 an -1+ an - 2+ + a3+ a2+ a12 s =( a +a ) +( a +an 1 n 2n -1) +( a +a 3n -2) +( an -2+a ) +( a 3n -1+a ) +( a +a ) 2 n 1由性質(zhì)“若 m +n =p +q ，則 a +a =a +a ”可得：m n p q2 sn= n ( a + a ) s1 nnn ( a + a ) = 1 n2（等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式）【設(shè)計(jì)意圖】（1）數(shù)學(xué)問題的解決講究最優(yōu)化原則，因此引導(dǎo)讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)方法的 多樣性，但需要尋求高效率的方法；（2）倒序相加求和法是數(shù)列求和常用方法之一，方法比公式

10、本身更為重要，也為以后數(shù) 列求和的學(xué)習(xí)做好鋪墊；（三）公式理解和深化n公式一、 s = ( a +a )1 n問題 1：此公式中有哪些變量，已知哪些量可求另外量？教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生找出變量學(xué)生活動(dòng)： 觀察公式，找出變量?；顒?dòng)預(yù)設(shè)： 此公式中，共有四個(gè)變量： s , n, a , a ，可知三求一。n 1 n【設(shè)計(jì)意圖】 讓學(xué)生從變量上理解公式，從形式上初步了解如何由已知探求未知，在頭 腦中初步建構(gòu)公式的適用情況。問題 2：此公式還可進(jìn)行怎樣的變形？教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生從 a 下手對(duì)公式進(jìn)行變形，投影學(xué)生的變形過程。n學(xué)生活動(dòng)： 嘗試對(duì)公式進(jìn)行變形?；顒?dòng)預(yù)設(shè)： 公式二、s =na +n 1n(

11、n -1) d2【設(shè)計(jì)意圖】（1）讓學(xué)生學(xué)會(huì)在舊知與新知之間搭建橋梁，運(yùn)用舊知鞏固新知，利用舊 知得出新知；（2）體會(huì)知識(shí)之間的整體性和關(guān)聯(lián)性，感受運(yùn)用舊知推導(dǎo)新知的成功和喜悅。問題 3：觀察、對(duì)比公式一、二，你能得出什么結(jié)論有利于你解題時(shí)對(duì)公式進(jìn)行篩選？ 教師活動(dòng)： 引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)公式中的變量進(jìn)行總結(jié)。學(xué)生活動(dòng)： 總結(jié)出兩公式的區(qū)別及適用情況?；顒?dòng)預(yù)設(shè)：（1）在兩個(gè)公式，五個(gè)變量中： a , n, d , a , s ，可知三求二1 n n（2）若已知 a ，優(yōu)先選用公式一，若已知 d ，優(yōu)先選用公式二。n【設(shè)計(jì)意圖】 通過兩公式的對(duì)比研究，可進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)公式的記憶，公式一、二的 區(qū)別可

12、提高學(xué)生的做題速度和質(zhì)量，再一次體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和精準(zhǔn)性。（四）公式應(yīng)用、反饋評(píng)價(jià)課堂練習(xí)之“爭(zhēng)分奪秒”：例1、在等差數(shù) 列中：(1)已知 a = 14.5 ， d = 0.7 ， a = 32，求 s ;1 n n(2)已 知 d = 3， a = 20， s = 65，求 a 和 n ；n n 1五個(gè)元素 a , a , n, d, s ，知 三 求 二1 n n你能自己構(gòu)造一個(gè)類似的題目并自己解決嗎？變式訓(xùn)練：(1) a =20, a =54, s =999, 求d , n1 n n例 2.等差數(shù)列 10，6， 2，2，前多少項(xiàng)和是 54?解：a =-10,d=-6 (-10)=41-

13、10n+n(n-1) 2 4=54解得 n=9，n=-3(舍)前 9 項(xiàng)的和是 54變式訓(xùn)練：求等差數(shù)列 13，15，17，81 的各項(xiàng)和1nn(n -1)例 3 已知一個(gè)等差數(shù)列的前 10 項(xiàng)的和是 310，前 20 項(xiàng)的和是 1220，由此可以確定求其 前 n 項(xiàng)和的公式嗎？s =na +n 1n ( n -1) 2d又s =310, s =1220 10 2010a +45d =310 20 a +190d =1220 1 a =41d =6s =4n +26 =3n 2 +n教師活動(dòng)：分析解決問題，組織學(xué)生交流、討論，再進(jìn)行公式的應(yīng)用?！驹O(shè)計(jì)意圖】 透過此題，培養(yǎng)學(xué)生 熟練地選取恰當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行求解。 六、布置作業(yè)1.課本 p 習(xí)題 2.3，第 1 題（1）（3）46七、板書設(shè)計(jì)3.3 等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和一、等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和：四、課堂練習(xí)s =a +a + +a n 1 2二、公式的推導(dǎo) 方法：倒序相加法 三、深化公式 公式 1、公式 2、變形：n（主板書）（副板書）（輔助性板書）八、教學(xué)反思“等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和”的推導(dǎo)不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì)，可以