近三年高考全國卷理科立體幾何真題

1、新 課 標(biāo) 卷 咼 考 真 題 1、 (2016年全國I高考)如圖，在以A, B, C, D, E, F為頂點的五面體中，面 ABEF為正方形，AF=2FD， AFD 90，且二面角 D- AF- E 與二面角 C- BE- F 都是60 (I) 證明：平面 ABEF 平面EFDC; (II) 求二面角E- BC- A的余弦值. 2、( 2016年全國II高考)如圖，菱形ABCD的 對角線AC與BD交于點O，AB 5, AC 6，點E,F分別在AD,CD 上, AE CF EF交BD于點H .將 DEF沿EF折到 DEF位置，OD .10 . (I)證明：DH 平面ABCD ; (U)求二面角

2、 B D A C的正弦值. 3【2015高考新課標(biāo)1,理18】 如圖，四邊形 ABCD為菱形，/ ABC=120 , E, F是平面ABCD同一側(cè)的兩點，BE丄 平面 ABCD, DF 丄平面 ABCD , BE=2DF , AE 丄 EC. (I)證明：平面 AEC丄平面AFC; (U)求直線AE與直線CF所成角的余弦值. 4、2014新課標(biāo)全國卷U 如圖1-3，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)AX 平面ABCD, E為FD的中點. (1) 證明：PB/平面AEC; (2) 設(shè)二面角D-AE-C為60, AP= 1, AD = ；3,求三棱錐E-ACD的體積. 圖1-3 5、20

3、14新課標(biāo)全國卷I 如圖1-5,三棱柱ABC -A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱 形，ABX B1C. 圖1-5 (1) 證明：AC= AB1； (2) 若 AC丄AB1,Z CBB1 = 60, AB= BC,求二面角 A -A1B1 -C1 的余弦值. 6、( 2017?新課標(biāo)H)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面 ABCD , AB=BC= 1 X AD，/ BAD= / ABC=90 , E 是 PD 的中點. (I)證明：直線 CE /平面PAB ; (H)點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45求二面角 M - AB - D的余弦值. A

4、/ 7、( 2017?新課標(biāo)皿)如圖，四面體 ABCD中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形, / CBD , AB=BD . (I)證明：平面 ACD丄平面 ABC ; / ABD= 面角 D P ABCD 中，AB II CD，且/ BAP= / CDP=90 （12 分） (H)過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體 ABCD分成體積相等的兩部分，求二 -AE - C的余弦值. 證明：平面 PAB丄平面 PAD ; 若 PA=PD=AB=DC ，/ APD=90，求二面角 A PB C 的余弦值. 1【解析】 T ABEF為正方形 AF EF / AFD 90AF DF D

5、F I EF=F .AF 面 EFDC AF 面 ABEF .平面 ABEF 平面EFDC 由知 DFE CEF 60 / AB II EF AB 平面 EFDC EF 平面 EFDC . AB II 平面 ABCD AB 平面ABCD /面 ABCDI 面 EFDC CD AB II CDCD II EF 四邊形EFDC為等腰梯形 以E為原點，如圖建立坐標(biāo)系, FD uuu uuuBC EB 0，2a，0 2a， UUU AB 2a，0，0 ur 設(shè)面BEC法向量為m LT uuu m EB 0 ir uura m BC 0 即 2 2a yi 2ayi -Ja 2 設(shè)面ABC法向量為 X2

6、 y2，Z2 r uuu n BC =0 r uuu n AB 0 .即 a 2ax2 2ay2 乜az2 2 X2 y23，Z2 cos 設(shè)二面角E BC A的大小為 .Fl 16 2.19 19 2 19 面角E BC A的余弦值為 19 5 AE CF - 2【解析】證明：4， AE CF AD CD EF II AC . .四邊形ABCD為菱形，. AC BD EF BD EF DH. EF D H . AC 6 ? AO 3 .又 AB 5 AO OB - ? .OB 4 OH AE OD 1 -DH D H ? * * AO 3 ? |OD |2 |OH|2 OH I EF H，.

7、 DH 面 ABCD . DH H xyz -DH OH ? * * 建立如圖坐標(biāo)系 0 D 0 , 0 , 3 A1, uuu AC uiuuuur AB 4 , 3 , 0 AD 設(shè)面ABD法向量n uu uiu 口 AB 0 4x ui UUJIl 由厲AD 0得 x 3y 3y 0 3z LT ni3 , uu 同理可得面ADC的法向量n2 LT n LU n2 -1 cos 9 57 5 521025 sin 2 95 25 3, 【答案J(I)見解析()33 【解析】 試題分析i (門連接孑二設(shè)連接三G, FG詁在賽呢中？不妨設(shè)耳4易證工丄.兒 通過計算可證EG丄FG根據(jù)線面垂直判

8、定定理可知王丄平面.疔心由面而垂直判定定理知平E.C平 面一曲 (II)以G為坐標(biāo)原昱 分別以G.GC的方向為疋軸，軸正芳向，GB為單位畏度坐立空間 直角坐標(biāo)系Gm 利用向壘法可求出異面宜銭與t?F所成靂的余狂值. if 試融解析1 I )連播眇，設(shè)無IOG.連捲EG, FGEG在覿腫8中，不妨設(shè) (H)解：四棱錐 P- ABCD中， 側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD , AB=BC= AD , / BAD= / ABC=90 ,E是PD的中點. 取AD的中點 O , M在底面 ABCD上的射影 N在OC上,設(shè) AD=2 ,貝U AB=BC=i , OP= / PCO=60 ,直線B

9、M與底面ABCD所成角為45 可得： BN=MN , CN=MN , BC=1 , 2也 逅 可得： 1+ BN2=BN2, BN=, MN=, 作NQ丄AB于Q,連接 MQ , 所以/ MQN就是二面角 M AB L反 -D的平面角，MQ= 一 ? 面角M - AB - D的余弦值為：= 7、【答案】(I)證明：如圖所示，取AC的中點0,連接BO , OD . / ABC是等邊三角形， 0B丄AC . ABD 與厶 CBD 中，AB=BD=BC，/ ABD= / CBD , ABD CBD , AD=CD . ACD是直角三角形， 1 AC 是斜邊，/ ADC=90 . D0= AC . d

10、o2+bo2=ab2=bd2 . / BOD=90 . OB 丄 OD . 又DOH AC=O , OB丄平面 ACD .又OB?平面 ABC，平面 ACD丄平面 ABC . 如DE (H)解：設(shè)點 D, B到平面ACE的距離分別為 hD , hE .貝U=. J平面AEC把四面體 ABCD分成體積相等的兩部分, 匹井D 壯 二：、匸=粽= =1. 點E是BD的中點. 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè) AB=2 . 則 O (0, 0, 0), A (1 , 0, 0), C ( 1, 0, 0), D (0, 0, 1), B (0, o器.4 ,0), E -=(-1 , 0,1), 一

11、 1 r AE = ，貝U = (- 2, 0, 0). 一二=0 設(shè)平面ADE 的法向量為=(x,y,z),則 丁十耳二=,取4 3. 同理可得：平面 ACE的法向量為=(0, 1 , cos = = = . 二面角D - AE - C的余弦值為. 8、【答案】 (1)證明：J/ BAP= / CDP=90 , PA 丄 AB , PD 丄 CD,/ AB II CD , AB 丄 PD , 又 PAO PD=P ,且 PA?平面 PAD , PD?平面 PAD , AB丄平面 PAD ,又AB ?平面 PAB , 平面 PAB丄平面 PAD ; 由(1 )知 AB丄平面 PAD，二AB (2)解：J AB II CD , AB=CD，四邊形 ABCD為平行四邊形， 為矩形， ，/ APD=90，可得 PAD為等腰直角三角形, 丄AD ,則四邊形ABCD 在厶APD中,由PA=PD 取AD中點O, BC中點 以O(shè)為坐標(biāo)原點，分別以 設(shè) PA=AB=2a，貝U AD= E，連接 PO、OE, OA、OE、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系, 則：D （ J-B （-，-，）, P （0, 0, J- ）, C （ J- ） 而=（-岳a-鼻）丙=（屆加-辰、BC = -2y2 ，取 y=i，得一匸