計算方法練習題與答案

1、練習題與答案練習題練習題 練習題 練習題a練習題練習題 練習題 土 練習題A練習題答練習題、是非題1. X* - 12. 0326作為X的近似值一定具有6位有效數字，且其 誤差限2 10 用2近似表示COSX產生舍入誤差。02. 對兩個不同數的近似數，誤差越小，有效數位越多3. 一個近似數的有效數位愈多，其相對誤差限愈小。25.3. 14和3. 142作為的近似值有效數字位數相同、填空題y 12，1.為了使計算-4923的乘除法次數盡量少，應將該表達式 改寫為2. x* - 0. 003457是x舍入得到的近似值，它有位有效數字，誤差 限為，相對誤差限為；3. 誤差的來源是；4. 截斷誤差為；

2、5. 設計算法應遵循的原則是。三、選擇題1. x* - 0. 026900作為x的近似值，它的有效數字位數為()。(A) 7；(B) 3；(O不能確定(D) 5. 2.舍入誤差是()產生的誤差。(A) 只取有限位數(B)模型準確值與用數值方法求得的準確值(O觀察與測量(D)數學模型準確值與實際值3.用1+x近似表示ex所產生的誤差是()誤差。(A).模型 .觀測(C).截斷(D).舍入14. 用s = 2 gt2表示自由落體運動距離與時間的關系式(g為重力加速度)，st是在 時間t內的實際距離，則st 7是()誤差。(A).舍入(B).觀測(C).模型(D).截斷5. 1.41300作為，的近

3、似值，有()位有效數字。(A) 3；(B) 4；(C) 5；(D) 6o四、計算題221. 3.142, 3.141,，分別作為的近似值，各有幾位有效數字？2. 設計算球體積允許的相對誤差限為1%,問測量球直徑的相對誤差 限最大為多少？3. 利用等價變換使下列表達式的計算結果比較精確：i x| x | 1/、 2 dt | x |1（1）1 2x 1 x 1八Ixl 1 |n（ 1 x） x11 4.真空中自由 落體運動距離s與時間t的關系式是s=2 gt2 , g為重力加速 度?，F設g是精確的，而對t有0.1秒的測量誤差，證明：當t增 加時，距離的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。5*.采用迭

4、代法計算7 ,取xo 2 z 17 Xk、i2冬）k=0, 1,-,若小是7的具有n位有效數字的近似值，求證2是7的具有2n位有效 數字的近似 值。練習題二一、是非題1. 單點割線法的收斂階比雙點割線法低。（）2. 牛頓法是二階收斂的。（）3. 求方詢x3 x 1 0在區(qū)間1, 2內根的迭代法總是收斂的。（）4. 迭代法的斂散性與迭代初值的選取無關。（）5. 求非線性方程f (x)二0根的方法均是單步法。二、填空題1. 1.用二分法求非線性方程f (x)二0在區(qū)間(a,b)內的根時，二分n 次后的誤差限為；1. 2.設，可微，求方程的牛頓迭代格式是；32. 3.用二分法求方程x3 x 1 0在

5、區(qū)間0,1內的根，進行一步后根 的所在區(qū)間為，要求準確到10 3 ,則至少應二分次；3. 4. (x) x (x2 5),要使迭代格式Xk 1 (xk)局部收斂到x 5 ,貝I的取值范圍是；34. 5.求方程x3 x 4 0根的單點割線法是，其收斂階為；雙點割線 法是，其收斂階為。三、計算題1. 用二分法求方程x2 x 1 0的正根，使誤差小于0.05。試分析每種迭代公式的收斂性，并選取收斂最快的方法求具有4 位有效數X(1)衛(wèi)1k 1 1 2X2 ,迭代公.X 1 ,迭代公式字的近似值。3. 用牛頓切線法求5的近似值。取g 計算三次，保留三位小2求方程x3 x2 1 0在葉附近的一個根，將方

6、程改寫為下列等價形 式，并建立相應迭代公式。數。4. 用割線法求方程x3 3x 1 0的在附近的一個根，精確到小數后第二位四二證明題已知方程3,試導出求根公式2f (xk) f (xk)k 1 -k 2 f (xk) 2 f (xk) f (xk)并證明：當X是方程吋的單根時，公式是3階收斂的。練習題四、是非題31A 231. 矩，具有嚴格對角優(yōu) 31A 132 ，是弱對角優(yōu)勢矩3. 高斯一塞德爾迭代法一定比雅可比迭代法收斂快。(k 1) (k)JIM | 1 _x(k1) Mx(k f 5*.逐次超松弛迭代法是高斯一賽德 爾迭代法的一種加速方法。二、填空題141 S 11. 解方程組1 a

7、的雅可比迭代格式分量形式)為,該迭代矩陣的譜半徑V ;3xi 5x2 12. 解方程組化的高斯一賽德爾迭代格式(分量形式)為，迭 代矩陣後,該迭代矩陣的譜半徑(B2)；3. 幕法的迭代公式為；4 QR算法是用來求矩陣的全部特征值的一種方法。5雅可比方法是用來求矩陣的全部特征值及特征向量的一種變換 方法。三、選擇題1解方程組Ax b的迭代格式x（k1） Mx (0, 0, 0) T .列表計算三次，保留三位小數。2.用高斯一賽德爾迭代法解線性方程組3x1 X3 5X1 3x2 X3 1X1 X2 4x38取x (0,0,0)T ,列表計算三次，保留三位小數。001 2 13.用幕法求矩陣12按模

8、最大特征值及相應特征向量，列表X心，保留兩位小數。4：取1.46，用松弛法解線性方程組2x1 X2 1X “2 *3 X2 2X3 X4 1就(0, 0, 0)5用雅可比方法求實對稱矩陣位小數計算，o.DoX3 4X4 0保留三位小數。1的特征值及相應特征向量/4rhnn103 16用QR算法求矩陣1 的全部特征練習題五、是非題1. 在求插值多項式時，插值多項式的次數越高，誤差越小。()(xX1)(X X2)2. o-r-o-2表示節(jié)點9處的二次插值基函數。()3. 牛頓插值多項式的優(yōu)點是：在計算時，高一級的插值多項式可利用 前一次插值的結果。()4. 在拉格朗日插值中，插值節(jié)點w 必須按順序

9、排列。()5. 利用等距節(jié)點的牛頓插值公式計算。附近的心，用后插公式。()、填空題1.已知n 3,則三次插值基函數-2oH Ii (X) 2. n+1個節(jié)點的拉格朗日插值基函數瀘的和ioo 3.已知f (x) x4 ,取節(jié)點,用線性插值求f(2.1)的近似f (2. 1) Pi(2. 1)4. 插值不僅要求插值函數和被插值函數在節(jié)點取已知函 數值而且取已知導數值。5. 已知”。28貝I 5 ,f0,2 , f 1,0,2 ,牛頓二次插值多項式Z已知函數y f(x)的數據fyo, f(2) yi, f (1) mo,用基函數 法求H 2(x) 2已知某函數的二階向前差分r為0.15,則其二階向后

10、差分 卩為_。 利用牛頓前插公式計算某點的近似值，應首先確定公式中的t, 其計算公式為t二 O 3 y f (x)在a,b上的n 1個節(jié)點Xi處的函數值yi ,則其三次樣 條扌西值函數 O 已知丿兒(i 1,2,30),其線性擬合的正規(guī)方程組為oX 用形如，ax b的非線性擬合數據i .做變換 后為線性1 2-0.h要給出f(x) J在區(qū)間-2, 2上的等距節(jié)點函數表，用分段三次 Hermi te插值求$的近似值，要使誤差不超過10 8，問函數表的步長h應為多 少？Xi1146. 已知的f(x)函數表f (xi )245(1) 求f (x)的二次插值多項式；(2) 用反插值求x,使f (x)=

11、0o練習題六、判斷題1在等距節(jié)點的情況下，才能計算函數的差分。()2向前差分與向后差分不存在等量關系。()3. 已知觀察值(i 0,1,2r- ,n),用最小二乘法求得的擬合多項式其次數為n次。()4. 利用最小二乘原理對一組數據找出合適的數學公式來擬合，首先應確定公式的類型。()5數據擬合的步驟首先是建立正規(guī)方程組。()、填空題擬合二a bx o三.選擇題1. ()是利用函數的值求自變量的值。(A)三次樣條插值(B)反插值(0分段插值(D)愛爾米特插值2記i小”，最小二乘法原理要求下列哪個為最小()“max i2(C) i 1 (D) i 13. 當線性方程組滿)時稱為超定方程組。(A) (

12、A)未知數的個數等于方程的個數(B) (B)未知數的個數大于方程的個數(C) (C)未知數的個數小于方程的個數(D) (D)未知數的個數與方程的個數大4. x是超定方程組Ax b的最小二乘解的充分必要條件是().(*)x 是 A Ax A b 的 w”1*解(D)三者都不對* C3 . T. T 丄 rTl5-(評霜軟熱多觸dx(C)大于n次的多項式(B)諄于n次的多項式(D)小于等于n次的多項式四、計算X )的函數表如下，解答下列問題f (Xi )(1列出相應的差分表；分別寫出四次牛頓向前插值公式和牛頓)向后插值公式；用三次插值多項式求f(0. 04)和f (0. 32)的近 似值。2o.f

13、(1.3) 14.8, f (1.6) 17.4, f (2.4) 18.5, f (3.1) 20.0 ,按最小二 乘原理求一次多項式擬合上述數據。3x1 2x2 24xi 5x2 33. 求超定方程組2 ”的最小二乘解Xi210124. 已知觀察” i9，1 a $-4值m f (X)的二次擬合多項式P2(X),求f (0)一、填空題1. ”f 1., 為3341.5. 用形如一的函數擬合下列數據X 1f (Xi )練習題七1 f(2) 1.2 , f1.5 ,則三點式高斯求積公式).“心 13)o2. 已知小，小，則用三點式可求得f (0) ( ) , f (0.5) ( ) , f (

14、1)(),且 f (x)()。3. 復合梯形求積公式為a(),當f (x) C2a,b時，其余項()o4. 數值積分代數精確度的定義是()o bn a f (x) dx Akf (Xk)5. 求積公式*的代數精度以()求積公式為最高，具有()次代數精度，其節(jié)點稱為()點。二、選擇題1-求積公式研究的誤差為()。A.觀測誤差B.模型誤差C.舍入誤差D.截斷誤差h b a2.已知在a, b上，s,且f (x) C2a, b,步長* n ,則復合梯 形求積公式的誤差限為()o33(b a)3 (b a)3A. 6B. 6ba2h3hD. 6C. 6n階N C求積公式的代數精度分別至少為)。A 1,2

15、, n B. 2, 3, n C.1,3. n D. 1,4, n+14. 數值微分的二點公式中，其誤差限為 (X0 XI( ) B2 h maxA 0(用)XXXD.201f()f (x)45.已知 f (x) C (x) 12* 0 2 在J 0 “有兩位整0, 2內合拋物線求積公式計算要保證有數步長最多應為 5位有效數字，A. 0. 1 B. 0.2C. 0.3D. 0.41v、判斷題bn f (x) dx Ak f (xk )2、高斯求積公式a的代數精度為相應地求積公式的穩(wěn)3、2n+1。梯形求積公式和拋物線求積公定性4、式都是高精度方法在使用插值型求積n+1次代數精度。（公式時，勿須進

16、行誤差分析。n越大，N C求積公式的代數精確度就越高，也越好。o14 x dxK分別用梯形公式和拋物線公式 計算積分誤差。rn 們八絲0#2、n=4,用復合梯形公式求心門八的近似值，取四位小數，并估計誤差*dx103、用復合拋物線公式要使截斷誤差不超過應至少計算將區(qū)間0, 1.55、真肴各節(jié)點的插值型求積公式至少具有四、計算題azO 叫*0 5*0M2 9 S Ao, Al, A2*“精度盡量高。5、利用二次插值推導出數值微分的三點公式，并由此計算 一2在 x 1.0,1.1和1.2處的導數值。練習題八一、填空題 y y x 11. 用Euler方法解常微分方程初值問題的，步長h 0.1，計算

17、格式為1二（）,m=（ ）o2求解常微分方程初值問題改進的歐拉公 式為03. 常微分方程初值問題的數值解法一般分為（）法和（）法。4. 求解常微分方程初值問題的Adams公式是（）步法。5. 求解常微分方程初值問題的四階R-K方法的局部截斷誤差為（）。二、選擇題1、已知一個求解常微分方程的差分公式的局部截斷誤善為山，則該方 法的階是（）oA. 1B. 2C 0 D. 32、求解一階常微分方程初值問題的梯形公式為（）步法。A.多B. 2C. 3 D. 13、梯形公式是求解常微分方程的（）階方法。A. 2B. 4C 3D. 54、四階R-K方法每步要計算（）次，的值。A. 4B. 5C 2D. 3

18、5、改進的Euler公式的局部截斷誤差為（）。a. 0（h2） B 0（h3）c. 0（h4）D.0（h5）三、判斷題K R-K法是一類低精度的方法。（）2、求解微分方程初值問題的二階R-K方法是多步法。（）3、梯形方法是一種隱式的多步法。（）4、求解微分方程初值問題的向后Euler法是隱式方法。（）5、求解常微分方程初值問題的預估一校正公式的局部截斷誤差o（）四、計算題1 用Euler法求解y 2x yy(0) 1(0x1)h 0.2，保留兩小數。2、用Euler法求y (x | dt在x 0.5,1.0,1.5, 2.0處的近應值，保留5位小數3、用改進的Euler法(梯形公式)解初值問題

19、y 8 3y心(1x2)取步長h 0.2,至少保留5位小數。4、用預估一校正公式求初值問題2y xy. 0 x 1)的數值解，取步長h 0.2 ,以四位有效數字計算五S證明題對常微分方程初值問題y y 0y(0) 1nF證明梯應公式求得的近似解為n2 h ,并進一步證明當步長h 0 yn e x .計算方法練習冊答案 習題一略略V 1 -3.4.三5C:A酩2 9C3.2.；3.；4.y 12 (3 ( 4 9t)t)t, t22X2.3.arctan1 x(x 1)5略.x x 3）九馬!沐4 I n ( x? 1 x)4.略;習題二34.1 baXn f (Xn)1、2n2Xn 1n1 f

20、(Xo ).33 -2；1, 10 1w4 5Xn 1 XnXnXn 4(Xnxo).455.31,Xn XnXO3Xn 4*n 1*n3 3 n(XB.n n 11.61XnXn Xn1Xn18三、1.1.59375；2.(1)收斂,(2)收斂，（3）收斂速發(fā)散，（2）快,x* 1.467 ；3.2.236 ；4. 1.88 度四、略.1.1.1002101100d,L?0AAAAA333 4；2 & 7, 56 ；2 012 301?1A LU2.3. 2.3.T)z1)/2 x=3.5.習題 # 1(k 1)1(k)621.2(k)5(k)1*9s329019(k 1)1(k 1)f5

21、26(k 1)“八1?yk Axk 1 mk max ( yk)Xk yk3.?;4.任意實的非奇異；5.實對稱.三、1 D；2. A ；3. A； 4. C； 5. B.四、1. x=( 2.444, 0.333, -2.531) T； 2 x= ( 2.399, 0.401, 2.499 )3.1 s m 4.略；5.略；6.略.習題五 1.;2.；3.；4.；5.(X X0 )(X X1)(X X3)二、 1. 遼 o2 “嚴2 3 ;2. 1 ；3. 22.5；221, 1, , 2 (x1) (x1)x4.Hermite；53 3三 1. A；A ;3. D； 4.A； 5. C四N

22、2(x)155 21 1 2 (x 1)(x 1) (x 1) xx 5t 0. 12533222-J2xx 1口“w.f V2八、w. fv25. 0. 03；e X23x *716. (1)1515 ,21習題六、1 ；5.9QAXXO二、1. 0. 15； h； 3.略;3.3030打i 1304.i1ZZ. 1. B；2.四1011 3 44 10，rU 5yaox.習題七0. 530841 nC 3.2 ai30rii1305C： 4. A ；. B.12. 36 2. 53x3.x= ( 1.6530,2. 93748)x1.3. 24.略;二、1.三、1.(f.6612 ) To

23、o5859n1(X0) f (Xn)X X 咼斯(Gauss )2. C；3. C；2.;3.；2 4t Ot 4,f()2n 1,咼斯(4. D；5 D.4.； 5.i TsO. 22316, R 0. 40691 10 4 , S4 0. 18595, R 0.3179 1A3 9；5.D;Gauss ).24小小.3 8 4 5 0 247, 0. 217,0. 1870 3*1 3習題八-.1 0.9 yn 0.1 xn 0.1, 1t2 n1 3.單步,多步；4.多；5.二、1. A； 2. D； 3. A； 4. A； 5. B.二、1 ； 2. ； 3.； 4. ； 5. 四、1.