2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題江蘇卷

1、2013年普通高等學(xué)校統(tǒng)一考試試題(江蘇卷)參考公式:樣本數(shù)據(jù)x1,1 n_1 nX2，Xn 的方差 S2 = 7 (Xi - X)2，其中 X = 7 Xi . n i二n i1棱錐的體積公式：V Sh，其中S是錐體的底面積，h為高3棱柱的體積公式： V二sh，其中S是柱體的底面積，h為高.一、填空題：本大題共 14小題，每小題 5分，共計(jì)70分。請把 答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上。兀1、 函數(shù)y =3sin(2x )的最小正周期為2、設(shè)z = (2 -i )2( i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的模為 2 23、 雙曲線Xy1的兩條漸近線的方程為1694、 集合 -1,0,1共有 個子集5、 右圖是

2、一個算法的流程圖，則輸出的n的值是 6、 抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動員的5次訓(xùn)練成績(單位：環(huán))， 結(jié)果如下：/輸出片/運(yùn)動員第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892則成績較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動員成績的方差為結(jié)東- *(第5理)7、現(xiàn)在某類病毒記作 XmYn，其中正整數(shù) m , n ( m w 7, n w 9 )可以任意選取,則m, n都取到奇數(shù)的概率為8、如圖，在三棱柱 A&O - ABC中，D, E, F分別是AB, AC, AA, 的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐 F -ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1 - ABC的體 積為 V2，則 V1 : V2 二

3、 9、 拋物線y = x2在x =1處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形區(qū)域?yàn)镈 (包含 三角形內(nèi)部與邊界)。若點(diǎn)P(x, y)是區(qū)域D內(nèi)的任意一點(diǎn)，則x 2y的取值范圍是110、設(shè)D, E分別是 A B C勺邊AB, BC上的點(diǎn)，AD AB ,2BE =2BC ,3若DE二1AB 2AC( 1, 2為實(shí)數(shù))，則2的值為 211、 已知f (x)是定義在R上的奇函數(shù)。當(dāng) x 0時(shí)，f(x)二x - 4x，則不等式f(x)x的解 集用區(qū)間表示為2 212、 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為= 1(a b 0)，右焦點(diǎn)為F ,a b右準(zhǔn)線為I，短軸的一個端點(diǎn)為 B，設(shè)原點(diǎn)到直線 BF的距離為

4、d1 , F到I的距離為d2,Ji若d2二6d1，則橢圓C的離心率為 一 1 一13、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，設(shè)定點(diǎn) A(a,a) , P是函數(shù)y ( x 0)圖象上一動點(diǎn)，x若點(diǎn)P, A之間的最短距離為 2、2，則滿足條件的實(shí)數(shù) a的所有值為114、在正項(xiàng)等比數(shù)列an中，a5,a6a7= 3，則滿足aia2 an-aia2an的2最大正整數(shù)n的值為 二、解答題：本大題共 6小題，共計(jì)90分。請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證 明過程或演算步驟。15、(本小題滿分14分)已知向量 a=(cos： ,sin： )， b 二(cos I,sinl-)， 0 ： -：:二(1)

5、若 | a b i：2，求證：a _ b ;(2) 設(shè) c = (0,1)，若 a b = c，求：，F(xiàn)；的值。(常36臉)16、(本小題滿分14分)如圖，在三棱錐 S-ABC中，平面SAB_平面SBC， AB _ BC， AS = AB，過 A作 AF _ SB，垂足為 F， 點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)。求證：(1)平面EFG/平面ABC ；(2) BC _ SA。I戲IK翹17、(本小題滿分14分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線丨：y =2x - 設(shè)圓C的半徑為1，圓心在丨上。(1) 若圓心C也在直線y =x -1上，過點(diǎn) A作圓C的切線， 求切線的方程；(2

6、) 若圓C上存在點(diǎn)M，使MA =2MO，求圓心C的橫坐 標(biāo)a的取值范圍。18、(本小題滿分16分)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑。一種是從A沿直線步行到 C，另一種是先從 A沿索道乘纜車到 B， 然后從B沿直線步行到C?，F(xiàn)有甲、乙兩位游客從 A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50m/min。在甲出發(fā)2min后，乙從A 乘纜車到 B，在B處停留1min后，再從 B勻速步行到 C。假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為12 3130m/min，山路 AC 長為 1260m，經(jīng)測量，cosA ， cosC -。13 5（1）求索道AB的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最

7、短？（3）為使兩位游客在 C處互相等待的時(shí)間不超過 3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？19、（本小題滿分16分）nSn*設(shè)an是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列（d = 0）， Sn是其前n項(xiàng)和。記bn2 - ， N ,n +c其中c為實(shí)數(shù)。（1 ）若 c=o,且 b1, b2，b4 成等比數(shù)列，證明：Snk = n Sk（ k,n N）；（2 ）若bn是等差數(shù)列，證明：c = 0。20、（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù) f （x） = In x -ax，g（x） =：ex ax，其中 a為實(shí)數(shù)。（1 ）若f （x）在（1, ：）上是單調(diào)減函數(shù)，且 g（x）在（1, ：）上有最小值，求a的取值范圍

8、;（2）若g（x）在（-1, ：）上是單調(diào)增函數(shù)，試求f（x）的零點(diǎn)個數(shù)，并證明你的結(jié)論。、填空題:1.二 2. 5數(shù)學(xué)I試題參考答案本題考查基礎(chǔ)知識、基本運(yùn)算和基本思想方法，每小題208. 1:24 9.633.4. 8 5.3 6. 2 7.5分，共70分。.-2,1110. 11.2二、解答題15.本小題主要考查平面向量的加法、減法、數(shù)量積、三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識, 考查運(yùn)算求解能力和推理論證能力，滿分14分.解: (D 由題意得 | a - b |2 = 2，即(a - b)2 = a2 - 2a b b2 = 2 ,二 b2 =| a |2 =| b |2 = 1，

9、所以 2 - 2a b = 2，即 a b = 0 ,(-5,0) U (5,：)12.313.-1,3,1014. 12又因?yàn)閍2 故 a _ b.cos。+cosP =0,sina +sin B = 1,=cos(理一 2),由 0二，得 0 :：二-二，又 0 :：:二，故：=二 1 5代入 sin ： 亠 sin ： =1 得，sin = sin，而 l ：,，所以，：=一。2 6616.本小題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想像力和推理論 證能力，滿分14分。證明：(1)因?yàn)锳S= AB AF丄S,垂足為F,所以F是SB的中點(diǎn)，又因 為E是SA的中點(diǎn)，

10、所以EF/ AB因?yàn)镋F平面 ABC ABu平面ABC所以EF/平面 ABC.同理EG/平面ABC又EFP EGE,所以平面 EFG/平面ABC因?yàn)槠矫?SABL平面SBC且交線為 SB又AF 平面SAB AFL SB 所以AFL平面SBC因?yàn)锽C 平面SBC所以AFL BC 又因?yàn)锳EL BC AFP AB= A, AF, AB 平面SAB所以BC丄平面SAB 因?yàn)镾Au平面SAB所以BCL SA(2)因?yàn)閍 b由此得，cos:=(cosa + cosP,sina +sin P) = (0,1)，所以 17.本小題主要考查直線與圓的方程，考查直線與直線、 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識

11、，考查運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法分析解決問題的能力。滿分解：(1)由題設(shè)，圓心 C是直線y=2x-4和y=x-1的交點(diǎn)，解得點(diǎn) 必存在.設(shè)過A( 0, 3)的圓C的切線方程為y = kx 3,3 =1，解得k = 0或-.4y =2x -4上，所以圓C的方程為214分。C(由題意，|3k1| Jk2 +1(2)因?yàn)閳A心在直線2 2(x-a) y-2(a-2)=1.設(shè)點(diǎn) M (x,y)，因?yàn)?MA = 2 MO ,所以x2 (y -3)2 = 2 x2 y2 ,化簡得 x2 y2 2y - 3 = 0 ,2 2x (y 1) -4，所以點(diǎn)M在以D (0, 1)為圓心，2為半徑的圓上.

12、由題意，點(diǎn) M ( x, y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2 1 | CD 2+1,即 1 a2(2a -3)2 0,得 a R；2 12 由 5a -12a 0,得 0 a 1.令 g (x) = ex a = 0 , 得 x = In a.當(dāng) x : In a時(shí)，g (x) : 0 ；當(dāng) x lna時(shí)，g (x) 0.又 g(x)在(1, + ：)上有最小值， 所以ln a 1,即a e.綜上，有 a (e, ：).(2)當(dāng)a w 0時(shí)，g(x)必為單調(diào)增函數(shù)；當(dāng) a 0時(shí)，令g (x) =ex -a 0,解得a：ex,即x In a,因?yàn)間(x)在(-1,+ ：)上是單調(diào)增函數(shù)

13、，類似(1)有Ina w -1,1 1即0 : a w e .結(jié)合上述兩種情況，有 a w e .1(i) 當(dāng)a=0時(shí)，由f(1) =0以及f (x)二一 0，得f (x)存在唯一的零點(diǎn)；x(ii) 當(dāng) a : 0時(shí)，由于 f (ea)二 a - aea = a(1 -ea) ： 0 , f (1) = -a 0，且函數(shù) f (x)在ea,1上的 圖象不間斷，所以f(x)在(ea,1)上存在零點(diǎn).1另外，當(dāng)x 0時(shí)，f (x) a 0，故f(x)在(0, + ：)上是單調(diào)增函數(shù)，所以f (x)只有一個x零點(diǎn).1AIAAA(iii) 當(dāng) 0 a w e 時(shí)，令 f (x) a = 0,解得 x

14、= a .當(dāng) 0x b 0,求證:2a3 -b3 2ab2 -a2b.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文 字說明、證明過程或演算步驟.22.(本小題滿分10分)如圖，在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中，AB_AC , AB = AC =2 ,(1) 求異面直線 A1B與C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值.23.(本小題滿分10分)設(shè)數(shù)列，an ?： 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,， k個k 二Ai A = 4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).(1)k-1k( 1) k-1k 即

15、當(dāng)(k -1)kk(k 1)*(-1) k,(-1) k,即當(dāng)n w(k N)時(shí)，k i*an =(-1) -k .記 Sn = a1 a2 an ( n N ).對于義集合R = ：n | &是an的整數(shù)倍，n 二N *，且1 b 0，所以 a -b 0, a b 0, 2a b 0 ,從而(a -b)(a b)(2a b) 0,即 2a3 -b3 2ab2 -a2b .22.【必做題】本小題主要考查異面直線、二面角、空間向量等基礎(chǔ)知識以及基本運(yùn)算，考查運(yùn)用空 間向量解決問題的能力.滿分10分.解：(1 )以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，貝yA(0,0巴,B(2,0,

16、0) , C(0,?,0) , D(1,1,0), A(0,0,4) , C1(0f,4),所以 A1(2,0, 4) GD =(1,-1,-4).因?yàn)?cos =I0,所以異面直線AB與GD所成角的|AB|GD|阪沒尿 10余弦值為1.10T(2)設(shè)平面ADC1的法向量為n1=( x, y,z),因?yàn)锳D =(1, 1, 0,)AC(0,2,4),所以n1 AD = 0, n1 AC1 = 0 ,即 x y = 0 且 y 2z=0 ,取 z=1 ,得 x=2 ,y = 2 ,所以，n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一個法向量.取平面ARB的一個法向量為n2=(0,1,0),設(shè)平面ADC

17、1與平面ABA1所成的二面角的大小為二.聯(lián)立方程組丿B, Ci D18(第22題)由 |cos日 1= | ni.n2 | =2=2，得 sin =晅.|n i| n?|爲(wèi)需 3323.【必做題】本小題主要考查集合、數(shù)列的概念和運(yùn)算、計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識，考查探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法的推理論證能力.滿分10分.解：(1)由數(shù)列an的定義得a1,a2=-2,a3=2,a3, a5 =3,a3,a-4,= V, a? = -4,= -4,a =5,所以 S = 1, S? = T, S3 =-3, S4=0, S5=3,Se =6, S7 =2, S8- -2, - -6, S10 - -10, S

18、1 一 -5,從而 S二印，S4 =0a4,S5 =a5, S6 =2比，S1 =an,所以集合P1中的元素的個數(shù)為 5.(2)先證：S(2i 1)= -i(2i 1)( r N*)事實(shí)上，當(dāng)i =1時(shí)，S 1)=S3-3， -i(2i 1-3,故原等式成立； 假設(shè)i =m時(shí)成立，即 Sm(= -m)( n2+1 )則當(dāng)i=m + 1時(shí)，2 2S：m 1)(2 m 3) = Sn(2m 1) (2 m 1) - (2 m 2)2=m( 2m 1 ) -m 4-3 =m -( 2m 5 m3 - m( 1)(2綜合可得Si(2i 1)=i(2i 1).于S(i 十)(2f =S(2M +(2i +1)2 =T(2i +1) + (2i +1)2 =(2i+1)(i+1).由上可知Si)是2i 1的倍數(shù)，而ai(2i 1).j = 2i 1( j =1,2，,2 i 1),所以S(2i i).j = Si(2i 1)j(2 i 1) 是 a .1).j = 2i 1( j = 1,2，,2 i 1) 的 倍 數(shù) ， 又,十目刁(P1+)