平穩(wěn)時(shí)間序列模型及其特征

1、應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 1 第二章 平穩(wěn)時(shí)間序列模型及其特征 v在本章，我們介紹平穩(wěn)時(shí)間序列的三種主要類型 的模型，AR模型、MA模型、ARMA模型，這三 種模型都是線性模型，它們能用有限的參數(shù)刻畫 時(shí)間序列的動態(tài)性。盡管線性關(guān)系的假定在解決 實(shí)際問題時(shí)是一個(gè)比較苛刻的條件，但無疑它是 理論研究的基礎(chǔ)。這三種模型是最基本的時(shí)間序 列模型之一，對這三種模型性質(zhì)的研究有助于研 究更為復(fù)雜的時(shí)間序列模型。 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 2 第一節(jié) 模型類型及其表示 一、預(yù)備知識一、預(yù)備知識 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 3 v一階差分(相距一期的兩個(gè)序

2、列值之間的減法運(yùn)算稱為1階差分運(yùn)算) v 階差p分 v 步差k分 1 ttt xxx 1 11 t p t p t p xxx kttk xx 對1階差分后序列再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱為2階差分2xt=xt-xt-1 依此類推，對p-1階差分后序列再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱為p階差分 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 4 2.滯后算子滯后算子 v滯后算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一 個(gè)滯后算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過去 撥了一個(gè)時(shí)刻 v記B為滯后算子，有 1, pxBx t p pt 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 5 v v v v v ，其中 1 0 B

3、 為任意常數(shù)cxcxBcxcB ttt ,)()( 1 11 )( tttt yxyxB ntt n xxB i n i i n nn BCB 0 ) 1()1 ( )!( ! ! ini n C i n 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 6 v線性差分方程 v齊次線性差分方程 0. 11 ptptt www tawww ptptt . 11 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 7 v 特征方程 v 特征方程的根稱為特征根，記作 v 齊次線性差分方程的通解 不相等實(shí)數(shù)根場合 有相等實(shí)根場合 復(fù)根場合 p , 21 t pp tt t cccz 2211 t pp t dd t

4、d dt cctctccz 111 1 21 )( t pp tititt t ccececrz 3321 )( 0. 1 1 p pp 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 8 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 9 vAR（p）模型 ： vMA（q）模型： vARMA（p，q）模型： tptpttt yyyy . 2211 qtqtttt y . 2211 qtqtttptpttt yyyy . 22112211 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 10 二、自回歸模型 v一階自回歸模型一階自回歸模型AR（1） 0102030405060708090100 -2.5

5、-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ttt yy 1 2 . 0 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 11 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 12 v AR（1）模型的特例）模型的特例隨機(jī)游動隨機(jī)游動 ttt yy 1 2 , 0 WN t 0102030405060708090100 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 13 隨機(jī)游動模型有以下特征： v1）模型有非常強(qiáng)的一期記憶性。 v2）系統(tǒng)的一步超前預(yù)測 。 v3）與AR（1）模型類似，隨機(jī)游動模型可以寫 成 ，可以看出噪聲對yt的影響

6、并不隨著 時(shí)間的推移而減弱。 0i itt y 1 )1( 1 tt yy 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 14 v 一般自回歸模型一般自回歸模型 tptpttt yyyy . 2211 模型的特點(diǎn)有： 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 15 三、 移動平均模型 v一階滑動平均模型一階滑動平均模型MA（1） v用用MA（1）模型作預(yù)測，那么得到的預(yù)測值僅僅）模型作預(yù)測，那么得到的預(yù)測值僅僅 取決于上期系統(tǒng)的隨機(jī)擾動項(xiàng)。取決于上期系統(tǒng)的隨機(jī)擾動項(xiàng)。 11 ttt y 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 16 q階滑動平均模型MA（q） v有限個(gè)白噪聲的和總是平穩(wěn)的，

7、因此通常MA（q） 模型是平穩(wěn)的。 v如果對該模型作向前一步預(yù)測，則有 qtqtttt y . 2211 q i itit y 1 )1( 1 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 17 四、自回歸移動平均模型 qtqtttptpttt yyyy . 22112211 tt ByB q q p p BBBBBB.1,.1 11 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 18 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 19 v當(dāng)q=0時(shí)，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模 型，當(dāng)p=0時(shí)，ARMA（0，q）模型就是MA（q） 模型，因此自回歸模型和移動平均模型都是 ARMA（p，q

8、）模型的特例 。 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 20 第二節(jié) 格林函數(shù)和平穩(wěn)性 v一、一、ARMA（p，q）的格林函數(shù)）的格林函數(shù) v（一）（一）ARMA（p，0）系統(tǒng)的格林函數(shù)）系統(tǒng)的格林函數(shù) v 若一個(gè)系統(tǒng)被表示為若一個(gè)系統(tǒng)被表示為yt= ，則系數(shù)，則系數(shù) 函數(shù)稱為格林函數(shù)或記憶函數(shù)。函數(shù)稱為格林函數(shù)或記憶函數(shù)。 0j jtj G 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 21 MA（q）過程格林函數(shù)為 . 1 * ij j i ij GG 1 0 G qj qj j G jj 0 1 01 pi pi i ii 0 1 01 * AR(P)AR（P）過程格林函數(shù)為 應(yīng)用時(shí)

9、間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 22 ARMA（p，q）的格林函數(shù) qjG qjG G ij j i j ij j i jj j , 1, 1 * 1 * pi pi i ji 0 1 01 * qj qj j j 0 1 * 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 23 例例2 求模型求模型 的格林函數(shù)的格林函數(shù) v 對比等式左右兩邊有 v 因此模型的格林函數(shù) 11 3 . 02 . 0 tttt yy BBGB j j j 3 . 012 . 01 0 . 2 . 002 . 0 . 04. 002 . 0 2 . 002 . 0 1 . 03 . 02 . 0 1 11 323

10、 212 101 0 iiii GGGG GGG GGG GGG G 12 . 0 00 1 j j G j j 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 24 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 25 二、系統(tǒng)的平穩(wěn)性 v （一）（一）AR(p)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件 外的根全在單位圓 0)(:,., 21 )( B p p 平穩(wěn)域： 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 26 例例3 求一階自回歸模型求一階自回歸模型 的平穩(wěn)域的平穩(wěn)域 v解： ttt yy 11 01)( 1 BB 即平穩(wěn)域?yàn)椋?11: 11 1 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 27

11、例例4 求二階自回歸模型求二階自回歸模型 的平穩(wěn)域的平穩(wěn)域 v解： 特征方程 v需滿足： v即： tttt yyy 2211 0 21 2 011 011 21 21 1 01 01 2 21 21 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 28 (二) ARMA(p,q)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件 vARMA模型平穩(wěn)性完全取決于模型中的AR部分， 如果模型中的AR部分是平穩(wěn)的，則ARMA模型是 平穩(wěn)的。 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 29 第三節(jié)第三節(jié) 逆函數(shù)和可逆性 v一、一、MA（q）模型的可逆域）模型的可逆域 v逆函數(shù)形式逆函數(shù)形式: vI（B）稱為逆函數(shù)）稱為逆函數(shù) 01j j

12、tj j jtjtt yIyIy 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 30 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 31 例例5 判斷判斷MA（2） 模型模型 是否可逆是否可逆 v 解：特征方程， v 可逆域?yàn)椋?v 滿足可逆條件，因此可逆。 21 4 . 02 . 0 tttt y 04 . 02 . 0 2 vv 1 1 2 12 4 . 0, 2 . 0 21 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 32 二、MA（q）模型的逆函數(shù) 1,.,2 , 1, 0 1 * IjII ij j i ij qi qi i i i 0 1 01 * 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)

13、劃教 材 33 例例6 求模型求模型 的逆函數(shù)的逆函數(shù) v解： 21 4 . 02 . 0 tttt y t j jtj yyIBB 0 2 4 . 02 . 01 08. 04 . 02 . 04 . 02 . 02 . 004 . 02 . 0 36. 04 . 02 . 004 . 02 . 0 2 . 002 . 0 1 2 3123 2 2012 101 0 IIII IIII III I 1 0 I ,.2 , 1,4 . 02 . 0 21 jIII jjj 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 34 三、ARMA（p，q）的可逆域與逆函數(shù) pjI pjI I ij j i

14、 j ij j i jj j , 1, 1 * 1 * qj qj j j 0 1 * 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 35 第四節(jié) 平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征 v一、自相關(guān)函數(shù)一、自相關(guān)函數(shù) ),cov( kttk yy ktt ktt k yDyD yy ),cov( 0 k k 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 36 pkpkk 11 k pp kk k fcfcfc 2211 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 37 ttt yy 1 8 . 0 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 38 ttt yy 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 39 v（二）（二） MA（q）的自相關(guān)函數(shù)）的自相關(guān)函數(shù) qk qk q qkqkk k 0 0 .1 . 22 1 110 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 40 21 2 . 06 . 0 tttt y 應(yīng)用時(shí)間序列分析”十一五“國家級規(guī)劃教 材 41 二、偏相關(guān)函數(shù) 2 ttt kt k kk t kt k E