2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 2.1 二階矩陣與平面向量 2.1.2 二階矩陣與平面列向量的乘法教學(xué)案選修-2

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精21。2二階矩陣與平面列向量的乘法1二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則(1）行矩陣與列矩陣的乘法規(guī)則： ；(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則: 。一般地，前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算2二階矩陣與平面列向量乘法的幾何意義（1）一個(gè)列向量左乘一個(gè)22矩陣m后得到一個(gè)新的列向量，如果列向量表示一個(gè)點(diǎn)p(x，y），那么列向量左乘矩陣m后的列向量就對(duì)應(yīng)平面上的一個(gè)新的點(diǎn)(2)對(duì)于平面上的任意一個(gè)點(diǎn)（向量）(x，y),若按照對(duì)應(yīng)法則t，總能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)點(diǎn)（向量)（x，y)，則稱t為一個(gè)變換，簡(jiǎn)記為：t：（x,y）（x，y)或t：.(3）一般地，對(duì)于平面向量

2、變換t,如果變換規(guī)則為t：，那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則可以改寫為t： 的矩陣形式，反之亦然（a、b、c、dr)（4）由矩陣m確定的變換,通常記為tm，根據(jù)變換的定義，它是平面內(nèi)點(diǎn)集到自身的一個(gè)映射，平面內(nèi)的一個(gè)圖形它在tm的作用下得到一個(gè)新的圖形二階矩陣與平面列向量相乘例1設(shè)a,z，y，求az和ay。思路點(diǎn)撥利用二階矩陣和平面列向量的乘法公式求解精解詳析az ，ay 。若矩陣a，列向量為，則a ,其結(jié)果仍是一個(gè)列向量，同時(shí)應(yīng)注意，給出點(diǎn)的坐標(biāo)可寫成列向量的形式1計(jì)算:(1) ;(2) ；(3) ；（4） 。解：(1） ;（2) ；（3) ；（4) .2給定向量,矩陣a,b,c，d，

3、計(jì)算a,b,c，d。解:根據(jù)矩陣與向量的乘法，得a ,b ，c ，d 。坐標(biāo)變換與矩陣乘法的互化例2(1)已知變換 ，試將它寫成坐標(biāo)變換的形式；（2)已知變換，試將它寫成矩陣的乘法形式思路點(diǎn)撥直接應(yīng)用二階矩陣與向量乘積的規(guī)定精解詳析(1）.故它表示的坐標(biāo)變換為。（2） .對(duì)于 ，首先由二階矩陣與平面列向量乘法得 ,再由向量相等，得3已知，試將它寫成二階矩陣與平面向量相乘的形式解：因?yàn)樗约?.故 .4解下列用矩陣表達(dá)式表示的方程組（1） ;（2) .解:(1)由 ，得，即解得（2)由 ，得，即解得求變換矩陣?yán)?已知變換t：平面上的點(diǎn)p（2，1）,q(1，2)分別變換成點(diǎn)p1（3，4），q1（0

4、,5)，求變換矩陣a.思路點(diǎn)撥由題意可知,變換矩陣a為二階矩陣，根據(jù)二階矩陣與列向量的乘法，可列出方程組，解方程組即可求出二階矩陣中的各元素精解詳析設(shè)所求的變換矩陣a。依題意可得 ， ，即解得所以所求的變換矩陣a。求變換矩陣的常用方法是待定系數(shù)法，要正確利用條件，合理準(zhǔn)確計(jì)算5若點(diǎn)a(1，1）在矩陣m對(duì)應(yīng)變換的作用下得到的點(diǎn)為b(1，1),求矩陣m.解：由m，得，所以即所以m.6設(shè)矩陣m對(duì)應(yīng)的線性變換把點(diǎn)a（1，2)變成點(diǎn)a（2,3),把點(diǎn)b(1，3)變成點(diǎn)b(2,1)，那么這個(gè)線性變換把點(diǎn)c（5,10）變成什么?解：設(shè)變換矩陣m，m 。m 。解得m.m .該線性變換把點(diǎn)c（5,10）變成了點(diǎn)

5、c(6,1）1給定向量，利用矩陣與向量的乘法,試說(shuō)明下列矩陣把向量分別變成了什么向量（1)；（2）；（3)。解：(1） .(2） 。(3) 。2求點(diǎn)（x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)解： ，所以點(diǎn)（x，y)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，2y）3(1)已知 ，試將它寫成坐標(biāo)變換的形式；（2)已知,試將它寫成矩陣的乘法形式解：(1)。(2） 。4計(jì)算 ，并解釋計(jì)算結(jié)果的幾何意義解： .幾何意義：表示點(diǎn)（3,1)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變成點(diǎn)(5,1)5已知在一個(gè)二階矩陣m對(duì)應(yīng)的變換作用下，點(diǎn)a（1，2)變成了點(diǎn)a(7，10)，點(diǎn)b（2,0）變成了點(diǎn)b（2,4)，求矩陣m。解:設(shè)m,則 ， ,即解得所以m.6已知點(diǎn)（x,y）在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)辄c(diǎn)（1，1),試求x，y的值解：由 ,得解得7已知矩陣t，o為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)a(1，0）在矩陣t的變換下得到點(diǎn)p。設(shè)b0,當(dāng)poa的面積為，poa時(shí)，求a，b的值解:由 ,得點(diǎn)p坐標(biāo)為（a，b）又b0，所以spoa1b。所以b2.又poa,所以a2。即a2，b2.8。已知圖形f表示的四邊形abcd如圖所示，若由二階矩陣m確定的變換t，使f上點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半而橫坐標(biāo)不變求矩陣m。解：圖形f對(duì)應(yīng)的矩陣為，變換后的圖形f對(duì)應(yīng)的矩陣為，設(shè)m，