2020-2021高中數(shù)學(xué) 第八章 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用素養(yǎng)檢測新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

1、2020-2021高中數(shù)學(xué) 第八章 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用素養(yǎng)檢測新人教a版選擇性必修第三冊(cè)2020-2021高中數(shù)學(xué) 第八章 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用素養(yǎng)檢測新人教a版選擇性必修第三冊(cè)年級(jí)：姓名：十七一元線性回歸模型及其應(yīng)用(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.(多選題)研究變量x,y得到一組樣本數(shù)據(jù),進(jìn)行回歸分析,以下說法正確的是()a.殘差平方和越小的模型,擬合的效果越好b.用相關(guān)指數(shù)r2來刻畫回歸效果,r2越小說明擬合效果越好c.在回歸直線方程=0.2x

2、+0.8中,當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí),響應(yīng)變量平均增加0.2個(gè)單位d.若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=-0.946 2,則變量y和x之間的負(fù)相關(guān)性很強(qiáng)【解析】選acd.a可用殘差平方和判斷模型的擬合效果,殘差平方和越小,模型的擬合效果越好,故a正確;b用相關(guān)指數(shù)r2來刻畫回歸效果,r2越大說明擬合效果越好,故b錯(cuò)誤;c在經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.2x+0.8中,當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí),響應(yīng)變量平均增加0.2個(gè)單位,故c正確;d若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=-0.946 2,r的絕對(duì)值趨向于1,則變量y和x之間的負(fù)相關(guān)性很強(qiáng),故d正確.2.為研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時(shí)間變化的繁殖情況,得到

3、如表實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù):天數(shù)x/天3456繁殖個(gè)數(shù)y/千個(gè)2.5344.5由最小二乘法得y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x+0.35,則樣本在(4,3)處的殘差為()a.-0.15b.0.15c.-0.25d.0.25【解析】選a.因?yàn)?4.5,=3.5,所以有3.5=4.5+0.35=0.7,當(dāng)x=4時(shí),=0.74+0.35=3.15,所以樣本在(4,3)處的殘差為:3-3.15=-0.15.3.在生物學(xué)上,有隔代遺傳的現(xiàn)象.已知某數(shù)學(xué)老師的體重為62 kg,他的曾祖父、祖父、父親、兒子的體重分別為58 kg、64 kg、58 kg、60 kg.如果體重是隔代遺傳,且呈線性相關(guān),根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得解釋變量x與響

4、應(yīng)變量的回歸方程為=x+,其中=0.5,據(jù)此模型預(yù)測他的孫子的體重約為()a.58 kgb.61 kgc.65 kgd.68 kg【解析】選b.由于體重是隔代遺傳,且呈線性相關(guān),則取數(shù)據(jù)(58,58),(64,62),(58,60),得=60,=60,即樣本點(diǎn)的中心為(60,60),代入=x+,得=60-0.560=30,則=0.5x+30,取x=62,可得=0.562+30=61 kg.故預(yù)測他的孫子的體重約為61 kg.4.某養(yǎng)殖場需要通過某裝置對(duì)養(yǎng)殖車間進(jìn)行恒溫控制,為了解用電量y(kwh)與氣溫x()之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某5天的用電量與當(dāng)天氣溫,并制作了對(duì)照表:氣溫/34567用電量

5、/kwh2.5344.56若利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測x=10時(shí)的用電量為8.25 kwh,則預(yù)測x=12時(shí)的用電量為()a.8.75 kwhb.9.86 kwhc.9.95 kwhd.12.24 kwh【解析】選c.由表中數(shù)據(jù)得=5,=4,設(shè)經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x+,所以,解得=0.85,=-0.25,所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=0.85x-0.25,當(dāng)x=12時(shí),=0.8512-0.25=9.95(kwh).二、填空題(每小題5分,共10分)5.某數(shù)學(xué)老師身高為176 cm,他爺爺、父親和兒子的身高分別是173 cm,170 cm和182 cm.因兒子的身高與父親的身高有關(guān),該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他

6、孫子的身高為cm.【解析】設(shè)父親身高為x cm,兒子身高為y cm,則x173170176y170176182=173,=176,=1,=-=176-1173=3,所以=x+3,當(dāng)x=182時(shí),=185.答案:1856.已知變量x,y線性相關(guān),由觀測數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)=4,=5,經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+中的系數(shù),滿足+=4,則經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.【解析】由題知,點(diǎn)(4,5)在回歸直線上,則4+=5,又+=4,所以=,=,即經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x+.答案:=x+三、解答題7.(10分)光伏發(fā)電是利用太陽能電池及相關(guān)設(shè)備將太陽光能直接轉(zhuǎn)化為電能,近幾年在國內(nèi)出臺(tái)的光伏發(fā)電補(bǔ)貼政策的引導(dǎo)下,某地光伏發(fā)電裝機(jī)量急

7、劇上漲,如表:年份2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年年份代碼12345678新增光伏發(fā)電裝機(jī)量y兆瓦0.40.81.63.15.17.19.712.2某位同學(xué)分別用兩種模型:=x2+;=x+進(jìn)行擬合,得到相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程并進(jìn)行殘差分析,殘差圖如表(注:殘差等于yi-).經(jīng)過計(jì)算得=72.8,=42,=686.8,=3 570,其中ti=,=ti.(1)根據(jù)殘差圖,比較模型,的擬合效果,應(yīng)該選擇哪個(gè)模型?并簡要說明理由.(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,并預(yù)測該地區(qū)2021年新增光伏裝機(jī)量是多少.(在計(jì)算回歸系數(shù)時(shí)精確

8、到0.01)附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:=,=-.【解析】(1)選擇模型.理由如下:根據(jù)殘差圖可以看出,模型的估計(jì)值和真實(shí)值比較相近,模型的殘差值相對(duì)較大一些,所以模型的擬合效果相對(duì)較好.(2)由(1)可知,y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x2+,令t=x2,則=t+.由所給數(shù)據(jù)可得=ti=(1+4+9+16+25+36+49+64)=25.5.=yi=(0.4+0.8+1.6+3.1+5.1+7.1+9.7+12.2)=5,所以=0.19,=-5-0.1925.50.16,所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=0.19x2+0.16預(yù)測該地區(qū)2021年新增光伏發(fā)電裝機(jī)量為=0.191

9、02+0.16=19.16(兆瓦).(20分鐘40分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知變量x,y的取值如表:x12345y1015304550由散點(diǎn)圖分析可知y與x線性相關(guān),且求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=x-3,據(jù)此可預(yù)測:當(dāng)x=8時(shí),的值為()a.63b.74c.85d.96【解析】選c.由題得=3,=30.故樣本點(diǎn)的中心的坐標(biāo)為(3,30),代入=x-3,得=11.所以=11x-3,取x=8,得=118-3=85.2.兩個(gè)線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:x99.51010.511y1110865其經(jīng)驗(yàn)回歸方程是=x+40,則相對(duì)

10、應(yīng)于點(diǎn)的殘差e為()a.0.1b.0.2c.-0.1d.-0.2【解析】選b.=10,=8,所以8=10+40,所以=-3.2,故=-3.2x+40.當(dāng)x=11時(shí),=-3.211+40=4.8,故e=5-4.8=0.2.3.(多選題)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系.根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(i=1,2,n),用最小二乘法建立的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中正確的是()a.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系b.回歸直線過樣本中心點(diǎn)(,)c.若該大學(xué)某女生身高增加2 cm,則其體重約增加1.70 kgd.若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可斷定

11、其體重必為58.79 kg【解析】選abc.根據(jù)y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為=0.85x-85.71,其中0.850說明y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,a正確;回歸直線過樣本中心點(diǎn)(,),b正確;由回歸直線方程知,若該大學(xué)某女生身高增加1 cm,則其體重約增加0.85 kg,那么若該大學(xué)某女生身高增加2 cm,則其體重約增加1.70 kg,故c正確;若該大學(xué)某女生身高為170 cm,則可預(yù)測其體重為58.79 kg,不可斷定其體重必為58.79 kg,d錯(cuò)誤.4.以模型y=cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí),為了求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程,設(shè)z=ln y,將其變換后得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程=0.2x+3,則c,k的值分別是

12、()a.e2,0.6b.e2,0.3c.e3,0.2d.e4,0.6【解析】選c.因?yàn)閥=cekx,等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得ln y=ln(cekx)=ln c+ln ekx=kx+ln c,設(shè)z=ln y,則上式可化為z=kx+ln c,因?yàn)閦=0.2x+3,則k=0.2,ln c=3,所以c=e3,k=0.2.二、填空題(每小題5分,共10分)5.某公司調(diào)查了商品a的廣告投入費(fèi)用x(萬元)與銷售利潤y(萬元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),如表:廣告費(fèi)用x(萬元)2356銷售利潤y(萬元)57911由表中的數(shù)據(jù)得經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程為=x+,則當(dāng)x=7時(shí)銷售利潤y的估值為萬元.【解析】由題表中數(shù)據(jù)可得=4,=8,所

13、以=1.4,所以=-=8-1.44=2.4,故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=1.4x+2.4,所以當(dāng)x=7時(shí),=1.47+2.4=12.2.答案:12.26.在研究兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),觀察散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)集中于某一條曲線y=ebx+a的周圍,令z=ln y,求得經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.25x-2.58,則該模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.【解析】由經(jīng)驗(yàn)回歸方程=0.25x-2.58得ln =0.25x-2.58,整理得=e0.25x-2.58,所以該模型的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為=e0.25x-2.58.答案:=e0.25x-2.58三、解答題7.(10分)生物學(xué)家預(yù)言,21世紀(jì)將是細(xì)菌發(fā)電造福人類的時(shí)代.說起細(xì)菌發(fā)電,可以追溯

14、到1910年,英國植物學(xué)家利用鉑作為電極放進(jìn)大腸桿菌的培養(yǎng)液里,成功地制造出世界上第一個(gè)細(xì)菌電池.然而各種細(xì)菌都需在最適生長溫度的范圍內(nèi)生長.當(dāng)外界溫度明顯高于最適生長溫度,細(xì)菌被殺死;如果在低于細(xì)菌的最低生長溫度時(shí),細(xì)菌代謝活動(dòng)受抑制.為了研究某種細(xì)菌繁殖的個(gè)數(shù)y是否與在一定范圍內(nèi)的溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了該種細(xì)菌的6組觀測數(shù)據(jù)如表:溫度x/212324272932繁殖個(gè)數(shù)y/個(gè)71121245877經(jīng)計(jì)算得=550,=3 946,線性回歸模型的殘差平方和=345.其中xi,yi分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度與繁殖數(shù),i=1,2,3,4,5,6.參考數(shù)據(jù):e7.4461 713,e8.06053 167,(1)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程=x+a(精確到0.1);(2)若用非線性回歸模型求得y關(guān)于x回歸方程為=0.075e0.219x,且非線性回歸模型的殘差平方和=319.()用決定系數(shù)r2說明哪種模型的擬合效果更好;()用擬合效果好的模型預(yù)測溫度為34時(shí),該種細(xì)菌的繁殖數(shù)(結(jié)果取整數(shù)).附:一組數(shù)據(jù),其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)為=,=-;決定系數(shù)r2=1-【解析】(1)由題意得=xi=26,=yi=33,=84,=6.5,