結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計第03章(3)

1、P49-1 3.3 多質(zhì)點彈性體系的水平地震反應(yīng) 建筑結(jié)構(gòu)的分析模型 （1）層間模型 剪切模型，彎剪模型 （2）桿系模型 框架結(jié)構(gòu) （3）板殼單元模型 剪力墻；考慮樓板局部不連續(xù) P49-2 層間模型 對于多層或高層建 筑結(jié)構(gòu)，通常將質(zhì)量集 中于樓蓋及屋蓋處，形 成如圖所示的多質(zhì)點彈 性體系。這種多質(zhì)點彈 性體系在地面水平運動 加速度的影響下，多質(zhì) 點均會由于慣性力的產(chǎn) 生而相對于結(jié)構(gòu)底部作 水平運動，即產(chǎn)生地震 反應(yīng)。 P49-3 多質(zhì)點彈性體系的水平地震反應(yīng)的分析方法 P49-4 振型分解法是基于坐標(biāo)變換，把原來耦合的微 分方程組變?yōu)閚個互相獨立的微分方程，從而使原 來多自由度體系的動力計

2、算變?yōu)橐幌盗袉巫杂啥润w 系的問題，當(dāng)然這一方法只限于線性問題。 振型分解反應(yīng)譜法是用來計算多自由度體系地 震作用的一種方法。該法是利用單自由度體系的加 速度設(shè)計反應(yīng)譜和振型分解的原理，求解各階振型 對應(yīng)的等效地震作用，然后按照一定的組合原則對 各階振型的地震作用效應(yīng)進(jìn)行組合，從而得到多自 由度體系的地震作用效應(yīng)。 P49-5 3.3.1 多質(zhì)點彈性體系的無阻尼自由振動 0 0 0 222111 2222221112 1122211111 nnnnnnn nnn nnn xmxmxmx xmxmxmx xmxmxmx 運動方程可寫為： 柔度系數(shù) 第i質(zhì)點的位移，是時間t的函數(shù) 第i質(zhì)點的加速度，

3、是時間t的函數(shù) 第i質(zhì)點的質(zhì)量； ij i m i x i x P49-6 寫成矩陣表達(dá)的形式 ： 0 xMx nnnn n n 21 22221 11211 n m m m M 0 0 2 1 T n xxxx 21 T n xxxx 21 柔度系數(shù)矩陣： 質(zhì)量矩陣：（對角矩陣） 位移列向量： 加速度列向量： P49-7 0 xMxK 將上式各項左乘k=-1得 1 21 22221 11211 21 22221 11211 nnnn n n nnnn n n kkk kkk kkk K 剛度矩陣K為： P49-8 設(shè)解為 ti eAx n AAAA 21 式中： 為振幅列向量。 （.37）

4、將（.37）代入運動微分方程，消去 ，得到 ti e 0 2 AMK（.38） 欲A具有非零解，則必須其系數(shù)行列式的值等 于零。 0 2 MK 展開上式是一個關(guān)于2的一元次方程，解此方程 可得到 n 個頻率1、 2 n P49-9 通常我們會將各頻率按從小到大的次序排列，即 n 21 相應(yīng)的周期為 i i T 2 n TTT 21 i 和Ti 稱為第 i 階頻率與周期。低階的影響比高階 大。 P49-10 將求得的頻率（例如第 i 個頻率i ）代入式 （.38），即可求得體系的振型向量A(i) 令 2)( i i MKL 則有0 )()( ii AL 上式是一個齊次線性方程，它的未知數(shù)比獨 立

5、方程的個數(shù)多1，因此只能有不定解。即只能假 定其中的一個未知數(shù)時，才能從式（.41）中求 出其他的未知數(shù)。也就是說，只能求出 A1(i), A2(i), , An(i) 的相對比值。為此，我們對其進(jìn)行歸 一化。 （.41） P49-11 nk k k k k k k X X X AXAA 2 1 )( 1 )( )( 1 )( 式中： )( 1 )( k k i ik A A X為振型向量的元素（或相對位移） nk k k k X X X X 2 1 )( 為振型向量（或相對位移向量） 并可知 X1k=1 （.42） P49-12 將式（.42）代入式（.41），有： 0 )( )( 1 )(

6、)()( k k kkk XALAL 消去 有： )( 1 k A0 )()( kk XL 展開可寫成： 0 0 01 2 )()( 2 )( 1 )( 2 )( 22 )( 21 )( 1 )( 12 )( 11 nk k k nn k n k n k n kk k n kk x x LLL LLL LLL P49-13 將上面矩陣分塊，得： 0 0 1 )( 0 )( 00 )( 01 )( 10 )( 11 k kk kk XLL LL 展開上式，得： 0 )( 0 )( 10 )( 11 kkk XLL 0 )( 0 )( 00 )( 01 kkk XLL 式（3.46）各項左乘 (L

7、00(k)-1 得： （.46） )( 01 1 )( 00 )( 0 kkk LLX P49-14 或 1 )( 0 )( k k X X 應(yīng)用上述方法可將n個振型向量全部求出來， 排成振型矩陣： )()2()1(n XXXX 因此，第 k 振型向量即為： nnnn n n XXX XXX XXX X 21 22221 11211 P49-15 在結(jié)構(gòu)動力分析中，有時需要按某一標(biāo)準(zhǔn)將振 型歸一化，或稱標(biāo)準(zhǔn)化，給出標(biāo)準(zhǔn)振型或歸一化振 型，通常有三種方法： (1) 特定坐標(biāo)的歸一化方法。指定振型向量中的某一 個值（通常是第1個）為1，其它元素值按比例確定。 (2) 最大位移值的歸一化方法，將振型

8、向量中各元素 除以最大值。 (3) 正交歸一化。 mi ii XXX )()( nn, 2, 1 )()(i T i mi XMXX P49-16 P49-17 自振頻率：特征值 振幅向量：特征向量 第一階自振頻率和振型： 最小的自振頻率及相應(yīng) 的振幅向量 振型（振幅向量） 反應(yīng)的是各質(zhì)點 位移之間的比例 關(guān)系 P49-18 振型的正交性 jiXMX jTi 0 )()( jiXKX jTi 0 )()( n j ijj iTi XmXMX 1 2)()( )()(2)()(iTi i iTi XMXXKX P49-19 振型的正交性的證明 到此，我們求出了 n 個特征對k和X(k)，將其代入

9、 式(3.38)，有 0 )(2 k k AMK 這 n 個式子可合并寫成: 0 2 XMXK 式中: 2 2 2 1 2 0 0 n n （.50） P49-20 將式(3.50)各項右乘2的逆矩陣-2，得: 0 2 XMXK 再以 XT (即X的轉(zhuǎn)置矩陣)左乘上式中的各項，得: 0 2 XMXXKX TT 令 XKXK T XMXM T (稱為廣義剛度矩陣) (稱為廣義質(zhì)量矩陣) （.52） 則式(3.52)變?yōu)? 0 2 MK （.53） P49-21 因為K和M都是對稱矩陣對稱矩陣，所以: 也是對稱矩陣對稱矩陣。再將式(3.53)展開: XKXK T XMXM T 0 0 2 2 2

10、1 21 22221 11211 2 M KKK KKK KKK K n n nnnn n n 則有 22 1 jijrj n r irij KKM 22 1 ijiri n r irji KKM （.54） P49-22 M由于 是對稱矩陣，故有: 22 ijijij KK 當(dāng) 時， 而 故有 ji jiij KK 22 ij )(0 jiKK jiij 從而有 )(0 jiMM jiij 這說明 和 都是對角矩陣，只有主對角 線上的元素不為零。這一性質(zhì)稱為振型矩陣關(guān)于 質(zhì)量和剛度的正交性。 M K P49-23 jiXMX jTi 0 )()( jiXKX jTi 0 )()( n j i

11、jj iTi XmXMX 1 2)()( )()(2)()(iTi i iTi XMXXKX 也就是： 而對于同一個振型，即廣義質(zhì)量矩陣與廣義剛度 矩陣的對角線元素 P49-24 【例題3.2】圖示簡支梁在跨度1/3處有兩個大小相等 的集中質(zhì)量，梁的自重略去不汁，I常數(shù)，試求自 振頻率和振型向量，并驗證振型的正交性。 P49-25 解：計算剛度矩陣 用圖乘法求單位水平力F=1作用在質(zhì)點時的位移 EI lllllll EI243 4 9 2 3 2 3 2 9 2 2 1 9 2 3 2 39 2 2 11 3 11 9 2 3 2 392 1 9 2 3 1 39 2 2 11 12 llll

12、ll EI EI lllllll EI486 7 9 2 3 2 392 1 9 2 4 3 39 1 3 1122 1221 P49-26 所以柔度矩陣為 87 78 486 3 EI l 剛度矩陣為 87 78 15 486 3 1 l EI K m m M 0 0 質(zhì)量矩陣為質(zhì)量矩陣為 P49-27 0 0 0 87 78 15 486 2 3 2 m m l EI MK 特征方程為 即 0 486 15 0 0 87 78 23 EI l m m 令 EI ml 486 15 23 則特征方程變成0 87 78 P49-28 展開得01516 2 解得1 1 15 2 則 23 1 1

13、 96. 5 15 486 ml EI ml EI 23 2 2 22 15 486 ml EI ml EI P49-29 計算振型 2 1 MKL 3 2 3 96. 5 0 0 87 78 15 486 ml EI m m l EI 8 .2268 .226 8 .2268 .226 3 l EI 3 )1( 01 8 .226 l EI L 3 )1( 00 8 .226 l EI L 1)( )1( 00 1)1( 01 )1( 0 LLX 所以第1振型向量 1 1 )1( X P49-30 計算第2振型 2 2 MKL 3 2 3 22 0 0 87 78 15 486 ml EI

14、m m l EI 8 .2268 .226 8 .2268 .226 3 l EI 3 )2( 01 8 .226 l EI L 3 )2( 00 8 .226 l EI L 1)( )2( 00 1)2( 01 )2( 0 LLX 所以第2振型向量 1 1 )2( X P49-31 驗證正交性 )2()1( XKX T 1 1 87 78 1 1 15 486 3 T l EI 0 )2()1( XMX T 1 1 0 0 11 m m 0 P49-32 聯(lián)立方程組的解耦 因為振型線性無關(guān)，質(zhì)點系的任一位移x可分解 為振型的線性組合。 )()()()( )( 2 )2( 1 )1( tqXt

15、qXtqXtx n n 或 )(YXtx 式中 )( )( )( 2 1 2 1 tq tq tq Y Y Y Y nn 稱為廣義位移 把振型看成廣義坐標(biāo)軸 （.55） P49-33 0 xMxK 運動微分方程為 將廣義位移代入得 0YXMYXK 左乘 XT 得 0YXMXYXKX TT XKXK T XMXM T 考慮到 可得 0 YMYK （.55） （均為對角矩陣） P49-34 展開上式得 0 0 0 0 0 2 1 1 2 1 2 1 n n n n n Y Y Y m m m Y Y Y k k k 即有n個式子，它們互相獨立非藕聯(lián): ), 2 , 1(0 nkYmYk kkkk

16、式中 n j k jj kTk k XmXMXm 1 2)()()( )( )()(2)()(kTk k kTk k XMXXKXk （.58） P49-35 可以看出，只要我們求出了多質(zhì)點彈性體系 的n個特征對(k和X(k) ,k=1,2,.n)，則可以利用 振型向量關(guān)于剛度K和質(zhì)量M的正交性，將體 系分解為n個獨立非耦聯(lián)的單自由度體系，求出各 個單自由度體系的廣義位移Y，再通過振型組合， 即可求出原體系的位移x。從而使得一個復(fù)雜的 多質(zhì)點體系振動求解問題得以簡化成單自由度體 系求解問題。 P49-36 式中： x 位移列向量 M 質(zhì)量矩陣 3.3.2 多質(zhì)點彈性體系的地震反應(yīng) T n xx

17、xx 21 3.3.2.1 多質(zhì)點彈性體系的一般受迫振動 a FxKxCxM 受迫振動的運動微分方程： n m m m M 0 0 2 1 P49-37 K 剛度矩陣 C 阻尼矩陣 nnnn n n kkk kkk kkk K 21 22221 11211 F 干擾力列向量 nnnn n n ccc ccc ccc C 21 22221 11211 T anaaa FFFF 21 P49-38 瑞利阻尼 21 KMC 其中1和2為兩個待定常數(shù)，通常利用測定的第 一振型的阻尼比z1和第二振型的阻尼比z2 來確定 1和2 ： 2 1 2 2 122121 1 2 zz 2 1 2 2 1122 2

18、 2 zz 為了計算方便，假定 式中：1 ，2 為第一、二振型時結(jié)構(gòu)的自 振頻率 P49-39 下面我們用矩陣按振型分解法求解式（3.60）。 a FxKxCxM （.60） 將 XT 前乘式（3.60）中各項，有： a TTTT FXxKXxCXxMX 從前面推導(dǎo)可知有： )()(tYXtx 式中： 稱為廣義位移，它是 時間的函數(shù)。 T n YYYY 21 那么也應(yīng)有 )()(tYXtx )()(tYXtx P49-40 將它們代入式（3.64），有 a TTTT FXYXKXYXCXYXMX XCXC T XMXM T 令 a T a FXF XKXK T 稱為廣義阻尼矩陣，可知也 是一對

19、角矩陣。 則上式可寫成 a FYKYCYM P49-41 展開上式得到n個獨立的（非耦聯(lián)）二階微分方程： ajjjjjjj FYkYcYm 式中 n i j ii jTj j XmXMXm 1 2)()()( )( jj jTj j mXKXk 2)()( )()(jTj j XCXc )( a Tj aj FXF 稱作對應(yīng)于廣義振型的廣義剛度、廣義質(zhì)量、廣義 阻尼和廣義干擾力，它們只與本振型的振型向量有 關(guān)。 （.70） P49-42 比較單自由度體系的振動微分方程可知，我將 一個多自由度體系分解為n個單自由度體系來求解， 每個單自由度體系對應(yīng)于第 j 振型： 圖 3.15 相應(yīng)于振型j的單

20、振子 廣義位移Yj 可由杜哈美積分求 出： z dte m F tY j t t jj aj j jj )(sin )( )( )( 0 分別將n個Yj全部求出后， 則可由下式求出原體系的位移。 )()(tYXtx P49-43 2、多質(zhì)點彈性體系在水平地震作 用下的反應(yīng) T 1111 地震時地面產(chǎn)生一個水平運 動，其加速度為 。各質(zhì)點相 對于結(jié)構(gòu)底部也有一個加速度 。 那么，作用在質(zhì)點上的總慣性力 是 g x x 1 g xxMF 體系的振動微分方程是 式中： 01xKxCxxM g P49-44 或?qū)懗?1 g xMxKxCxM 對照式（3.60）可知，我們可將上式的右端項 看作干擾力Fa，即： n g n gga m m m x m m m xxMF