曲面及空間曲線PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 曲面及空間曲線曲面及空間曲線 3. 球面方程： 球面的標(biāo)準(zhǔn)方程：以M0(x0,y0,z0)為球心，R為半徑 的球面方程為 (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 例例2：求x2+y2+z2+2x-2y-2=0表示的曲面 解解：整理得： (x+1)2+(y-1)2+z2=22 故此為一個球心在（-1,1,0)，半徑為2的球。 球面方程的特點：平方項系數(shù)相同；沒有交叉項。 球面的一般方程： x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 第1頁/共20頁 一般我們將動直線l沿定曲線c平行移動所形成的軌跡 稱為柱面。其中直線l稱為柱面的母線，定曲線c稱為柱面 的準(zhǔn)線。本章中我們只

2、研究母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程。 此時有以下結(jié)論： 分析：母線平行于坐標(biāo)軸的柱面的特點為：平行于某軸，則在其方程中無此坐標(biāo)項。其幾何意義為：無論z取何值，只要滿足F(x,y)=0，則總在柱面上。 若柱面的母線平行于z軸，準(zhǔn)線c是xOy面上的一條曲線，其方程為F(x,y)=0，則該柱面的方程為F(x,y)=0; 同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空間中分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面。 4.母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程： 第2頁/共20頁 222 ayx 圓柱面； 1 2 2 2 2 b y a x 橢圓柱面； 1 2 2 2 2 b y a x 雙曲柱面； pyx2 2 拋物柱面。 以

3、上所舉例均為母線平行于z軸的情況，其他情況類似。 幾種常見柱面：x+y=a 平面； 第3頁/共20頁 4.旋轉(zhuǎn)曲面： 一般情況下我們將一平面曲線c繞同一平面內(nèi)的定直 線l旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。其中c稱為母線， l稱為其軸。本章中我們只研究繞坐標(biāo)軸放置的曲面。此 時有以下結(jié)論： 設(shè)yOz平面上有一已知曲線c 其方程為f(y,z)=0，將c繞 z軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的以z軸 為軸的放置曲面的方程為： 0),( 22 zyxf 第4頁/共20頁 同理，曲線c繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面方程為： 0),( 22 zxyf 同理,以xOy面上曲線f(x,y)=0為母線繞x軸得曲面 0),( 22 zyxf

4、 繞y軸為 0),( 22 yzxf 以xOz面上曲線f(x,z)=0為母線繞x軸得 曲面 0),( 22 zyxf 繞z 軸得曲面 0),( 22 zyxf 例例3 求頂點在原點，旋轉(zhuǎn)軸為z軸， 半頂角為a的圓錐面方程。 解解：將yOz面上的直線z=yctg 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周即得圓錐曲面 ctgyxz 22 整理后得： )( 2222 yxaz 其中a=ctg 第5頁/共20頁 二.空間曲線及其方程： 1.空間曲線的一般方程： 空間曲線一般可看作兩個曲面的交線，若兩個曲面的方程分別為F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，則易知其交線c的方程為 0),( 0),( zyxG zyxF 稱此

5、方程組為曲線c的一般方程。 例例4：方程組 2 5 222 z zyx 表示怎樣的曲線？ 解解：平面z=2上以(0,0,2)為圓心的單位圓。 第6頁/共20頁 表示母線平行于Z 軸，準(zhǔn)線在xoy面上 半徑為1的上半球面 例 方程 表示怎樣曲線 222 222 ) 2 () 2 ( a y a x yxaZ 22 yxz 解： 表示中心在原點， 222 ) 2 () 2 ( a y a x 半徑為1的圓柱面它們的交線是xoy面上的一個圓， 其圓心在 ，半徑為 )0 , 2 ( a 2 a 第7頁/共20頁 2.空間曲線的參數(shù)方程： 方程組 )( )( )( tzz tyy txx 稱為空間中曲線

6、的參數(shù)方程。 設(shè)空間曲線方程 如果選定一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù) x=x（x）代入上述方程組 并有它解出y=（x），Z=Z（x）得 例 如果空間一點M在圓柱面 x2 +y2 =a2 上以等角速度 繞z周旋轉(zhuǎn)，同時，以等速度v沿平行于Z軸的正方向 移動，則點M運動的軌跡叫螺旋線，求其參數(shù)方程 第8頁/共20頁 zvtMN t M N vtz ty tax sin cos Rz y ax sin cos 螺旋線有一個重要性質(zhì)，當(dāng) 從 變到 時，Z由 變到 這說明當(dāng) 轉(zhuǎn)過角 時， 點沿螺旋線 升了高度 ，即上升的高度與 轉(zhuǎn)過角度成正比。 00 0 bbb 0 MoM bMo 第9頁/共20頁 三.空間曲線在坐標(biāo)

7、面上的投影： 0),( 0),( zyxG zyxF 在該方程組中消去z得H(x,y)=0，此為一個通過曲線L 母線平行于z軸的柱面，稱為曲線c關(guān)于xOy面的投影柱面。 此投影柱面與xOy平面的交線即為c在xOy平面上的投影曲 線，簡稱投影，其方程為 0 0),( z yxH 同理可得L在yOz面及xOz面上投影方程為 0 0),( y zxT 0 0),( x zyR 和 第10頁/共20頁 解 消去Z得1-y2=3x2+y2 投影柱面方程為3x2+2y2=1 例 求曲線L： 在三個坐標(biāo)面上的投影曲線 2 22 1 3 yz zyx 0 13 22 z yx 投影曲線方程 0 1123 2

8、y zx 投影曲線方程 消去x得Z=1-y2 0 1 2 x yz 投影曲線方程 消去y得3x2+1-2Z=0 投影柱面方程為3x2-2Z-1=0 投影柱面方程為Z=1-y2 第11頁/共20頁 的交線是一條空間曲線 例 兩個柱面 和 222 azx 222 ayx 第12頁/共20頁 例例5：求曲線 1) 1() 1( 1 222 222 zyx zyx 在xOy面上的投影方程。 解解：上式減下式得z=1-y，代回上式得投影柱面方程為 022 22 yyx 從而曲線在xOy面上的投影方程為 0 022 22 z yyx 第13頁/共20頁 四 二次曲面 通過截痕法，了解二次曲面的全貌 1.橢

9、球面 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 與三個坐標(biāo)面的交線均為橢圓 0 1 2 2 2 2 z b y a x 0 1 2 2 2 2 y c z a x 0 1 2 2 2 2 x b y a z 若a=b,則 旋轉(zhuǎn)橢球面 1 2 2 2 2 2 2 c z a y a x 第14頁/共20頁 2 單葉雙曲面 為正數(shù)）cba c z b y a x ,(1 2 2 2 2 2 2 Z=h 截,截痕為一橢圓。 hz c h b y c h a x 1 )1 ()1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 第15頁/共20頁 hx a h c z a h b y 1 )1 ()1

10、( 2 2 2 2 2 2 2 2 x=h ，或y=h截,截痕為一雙曲線。 hy b h c z b h a x 1 )1 ()1 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2）當(dāng) 時，截痕為一對直線 bb 1）當(dāng) 時，曲線為雙曲線，實軸平行與x軸，虛軸平 行與z軸，當(dāng) 由零增大到b時，曲線的兩半軸縮小至零。 bb b 3）當(dāng) 時，曲線仍為雙曲線，但實軸平行于z軸，虛 軸平行與x軸，當(dāng) 由 b增大時，曲線的兩半軸也增大。 bb b 第16頁/共20頁 同樣用平行于yoz的平面相截時截痕也是雙曲線，可用 同樣的方法討論。 這是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面。 當(dāng)a=b時，方程變?yōu)?1 2 2 2 22 c z a yx 3 雙葉雙曲面 為正數(shù)）cba c z b y a x ,(1 2 2 2 2 2 2 雙葉雙曲面對稱于坐標(biāo)原點及三個坐標(biāo)面 Z=h截，截痕為 hz c h b y c h a x 1 ) 1() 1( 2 2 2 2 2 2 2 2 第17頁/共20頁 當(dāng)x=h，或y=h截，截痕為雙曲線 4 橢圓拋物