黑龍江省哈爾濱市2013屆高三數學第一次聯考試題 理

1、黑龍江省哈爾濱市六校2013屆高三第一次聯考理科數學試題第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：(共12小題,每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)1.如圖所示的韋恩圖中，、是非空集合，定義*表示陰影部分集合若，則*B=（ ）A B C D 2.下列命題正確的個數 （ ） A1 B2 C3D4（1） 命題“”的否定是“”；（2）函數的最小正周期為”是“”的必要不充分條件；（3）“在上恒成立”“在上恒成立”（4）“平面向量與的夾角是鈍角”的充分必要條件是“”。開始z=zz0n=n+1n= 1結束n2013Y輸出zN3.已知各項為正數的等差數列的前20項和為100，那么的最

2、大值為 ( )A25B50C100D不存在4、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的復數是（ ）A B C1 D5對于函數（）有以下幾種說法:(1)是函數的圖象的一個對稱中心；(2)函數的最小正周期是；(3)函數在上單調遞增.(4)y=f(x)的一條對稱軸： 其中說法正確的個數是（ ）A B 1 C 2 D36實數對（x，y）滿足不等式組則目標函數z=kxy當且僅當x=3，y=1時取最大值，則k的取值范圍是（ ）A B C D7.三棱錐的外接球為球，球的直徑是，且、都是邊長為1的等邊三角形，則三棱錐的體積是（ ）A B C D8.設函數的最小正周期為，且則( )A. 在單調遞增 B. 在單調遞增C.

3、 在單調遞減D. 在單調遞減9、若在曲線f（x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”。下列方程：；，；對應的曲線中存在“自公切線”的有（ ）ABCD10.設雙曲線 的右焦點為，直線:x= 與兩條漸近線交于兩點，如果是等邊三角形，則雙曲線的離心率的值為（ ）A B. C D. 11已知四棱錐的三視圖如圖1所示，則四棱錐的四個側面中面積最大的是( )A B C D 12已知函數，若函數有唯一零點，函數有唯一零點，則有（ ） A.B。C. D。第II卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第13題第21題為必考題，每個試題考生都必須作 答.第

4、22題第24題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題：本大題共4小題,每小題5分.13.設函數，其中，則展開式中的系數為14. 第十五屆全運會將在哈爾濱市舉行. 若將6名志愿者每2人一組，分派到3個不同的場館，則甲、乙兩人必須分在同組的概率是_15 已知、是拋物線上的點，它們的橫坐標依次為、，F是拋物線的焦點，若，則_16下列命題中，正確的是 （1）平面向量與的夾角為，則（2）在的對邊分別為，若成等差數列則（3）是所在平面上一定點，動點P滿足：，則直線一定通過的內心設函數其中表示不超過x的最大整數，如=-2，=1，則函數不同零點的個數2個三、解答題：第1721題每題12分，解答應在答卷的相應各

5、題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17 （本小題滿分12 分）已知各項都不相等的等差數列的前項和為，且為和的等比中項（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，且，求數列的前項和18（本小題滿分12分）現有4個人去參加春節(jié)聯歡活動，該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇. 為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯歡，擲出點數為1或2的人去參加甲項目聯歡，擲出點數大于2的人去參加乙項目聯歡.（）求這4人中恰好有2人去參加甲項目聯歡的概率；（）求這4個人中去參加甲項目聯歡的人數大于去參加乙項目聯歡的人數的概率；（）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙項目聯歡的人

6、數，記，求隨機變量的分布列與數學期望.19.（本小題滿分12 分） 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB丄平面PAD,PD=AD, E為PB的中點，向量，點H在AD上，且(I)：EF/平面PAD. (II)若PH，AD=2, AB=2, CD=2AB,(1)求直線AF與平面PAB所成角的正弦值. （2）求平面PAD與平面PBC所成二面角的平面角的余弦值.20（本小題滿分12 分）已知雙曲線的焦距為4，以原點為圓心，實半軸長為半徑的圓和直線相切.() 求雙曲線的方程； （）已知點為雙曲線的左焦點，試問在軸上是否存在一定點，過點任意作一條直線交雙曲線于兩點，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點的

7、坐標；若不存在，請說明理由21（本小題滿分12 分）已知函數（1）若函數在區(qū)間上存在極值點，求實數的取值范圍；（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；（3）求證：（，為自然對數的底數）三選一試題：請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時用 2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑22（本題滿分10分) 選修41：幾何證明選講如圖,已知四邊形ABCD內接于,且AB是的直徑,過點D的的切線與BA的延長線交于點M.(1)若MD=6，MB=12,求AB的長；(2)若AM=AD，求DCB的大小.23.(本題滿分10分)選修44 ：坐標系與參數方程將圓上各點的

8、縱坐標壓縮至原來的，所得曲線記作; 直線l:(I)寫出直線與曲線C的直角坐標方程(II)求上的點到直線的距離.最大值24 (本小題滿分10分)選修45：不等式選講設不等式的解集與關于的不等式的解集相同（）求，的值；（）求函數的最大值，以及取得最大值時的值.數學（理科）參考答案與評分參考說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則.二、對解答題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答末改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴

9、重的錯誤，就不再給分.三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分一、選擇題123456789101112參考答案CBACCCDDBDAD二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分13.60 14. 15. 2023 16.（1）（2）（3）三：解答題17解：（1）設等差數列的公差為()，則 解得 5分 (2)由， ， 8分 12分18 解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲項目聯歡的概率為，去參加乙項目聯歡的概率為.設“這4個人中恰有人去參加甲項目聯歡”為事件，則. （）這4個

10、人中恰好有2人去參加甲項目聯歡的概率-4分 （）設“這4人中去參加甲項目聯歡的人數大于去參加乙項目聯歡的人數”為事件， 故. 這4人中去參加甲項目聯歡的人數大于去參加乙項目聯歡的人數的概率為.-8分 (III)的所有可能取值為0,2,4. ，所以的分布列是024 .-1219 (本小題滿分12分)（） 取PA的中點Q，連結EQ、DQ， 則E是PB的中點，,四邊形EQDF為平行四邊形， ，(3分)（）解法一：證明: , PHAD, 又 AB平面PAD，平面PAD,ABPH,又 PHAD=H, PH平面ABCD; -(4分)連結AE 又且 (5分)由（）知 (6分) , 又 在 又 (8分)(2)

11、延長DA，CB交于點M，連接PM，則PM為平面PAD與平面PBC所成二面角的交線。9分因為,所以點A,B分別為DM,CM的中點，所以DM=4，在中：， ,(10分)又因為，所以，即為所求的二面角的平面角(11分)所以在中：(12分)解法二：（向量法）（1）由（）可得 又在平面ABCD內過點,以H為原點，以正方向建立空間直角坐標系 設平面PAB的一個法向量為 ， 得y=0 令 得x=36分設直線AF與平面PAB所成的角為則 （8分 ）(2) 顯然向量為平面PAD的一個法向量，且設平面PBC的一個法向量為，,， 由得到由得到，令，則，所以， -10，所以平面PAD與平面PBC所成二面角的平面角的余

12、弦值為（12分 ）20.解：() 所以雙曲線的方程為； 4分（）解法一：當直線為時， 5分當直線不是時，可設代入整理得 7分由得設方程的兩個根為滿足 9分當且僅當時，為定值，解得，不合題意，舍去，而且滿足；綜上得：過定點任意作一條直線交雙曲線于兩點，使為定值. 12分解法二： 前同解法一，得 9分由 得，解得，下同解法一. 12分解法三： 當直線不垂直軸時，設代入整理得 7分由得設方程的兩個根為滿足9分當且僅當時，為定值，解得，不合題意，舍去，而且滿足； 10分當直線軸時，代入得 11分綜上得：（結論同解法一） 12分（注：第（II）題有一般性結論）21（1）函數定義域為，由，當時，當時，則在

13、上單增，在上單減，函數在處取得唯一的極值。由題意得，故所求實數的取值范圍為3分 (2) 當時，不等式 令，由題意，在恒成立。 令，則，當且僅當時取等號。所以在上單調遞增，因此，則在上單調遞增，所以，即實數的取值范圍為 7分（3）由（2）知，當時，不等式恒成立，即， 8分令，則有分別令，則有， 將這個不等式左右兩邊分別相加，則得故，從而12分22. 選修41：幾何證明選講解：(1)因為MD為的切線,由切割線定理知,MD2=MAMB，又MD=6，MB=12，MB=MA+AB , 2分，所以MA=3， AB=123=9. 5分(2)因為AM=AD，所以AMD=ADM,連接DB，又MD為的切線,由弦切角定理知,ADM=ABD， 7分又因為AB是的直徑,所以ADB為直角，即BAD=90-ABD.又BAD=AMD+ADM=2ABD,于是90-ABD=2ABD,所以ABD=30,所以BAD=60. 8分又四邊形ABCD是圓內接四