2021年微積分1章微商

1、重點(diǎn)：極限的計(jì)算重點(diǎn)：極限的計(jì)算 難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的運(yùn)用難點(diǎn)：兩個(gè)重要極限的運(yùn)用 等價(jià)無窮小的運(yùn)用等價(jià)無窮小的運(yùn)用 分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的性質(zhì)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的性質(zhì) 1.1 微積分研究什么？微積分研究什么？ 1.1.1 微積分與初等數(shù)學(xué)研究對象的比較微積分與初等數(shù)學(xué)研究對象的比較 1.1.2 微積分研究的兩類典型問題微積分研究的兩類典型問題 1.2 預(yù)備知識預(yù)備知識 : : 1.2.4 數(shù)列極限數(shù)列極限 數(shù)列極限的精確定義數(shù)列極限的精確定義(P6),(P6),用數(shù)列極限的精確用數(shù)列極限的精確 定義可以證明后面的運(yùn)算法則和性質(zhì)及以下結(jié)論定義可以證明后面的運(yùn)算法則和性質(zhì)及以下結(jié)論. . 數(shù)列極限

2、的運(yùn)算法則數(shù)列極限的運(yùn)算法則 數(shù)列極限的性質(zhì)數(shù)列極限的性質(zhì) 定理定理( (唯一性唯一性) ) 收斂數(shù)列的極限是唯一的收斂數(shù)列的極限是唯一的. . 定理定理( (有界性有界性) ) 收斂數(shù)列是有界的收斂數(shù)列是有界的. . 判斷一個(gè)有界數(shù)列是發(fā)散的方法：設(shè)法找出判斷一個(gè)有界數(shù)列是發(fā)散的方法：設(shè)法找出 它的兩個(gè)極限不同的收斂子序列它的兩個(gè)極限不同的收斂子序列. . 數(shù)列極限存在的法則數(shù)列極限存在的法則 單調(diào)有界法則單調(diào)有界法則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. . 用單調(diào)有界法則可以證明用單調(diào)有界法則可以證明 存在存在. . 1.3 函數(shù)函數(shù) 1.3.1 函數(shù)概念函數(shù)概念 基本初等函數(shù)基本

3、初等函數(shù) 三角函數(shù)：三角函數(shù)：y = sinx, ,cosx, , tanx, ,cotx, , secx, ,cscx 反三角函數(shù)：反三角函數(shù)：y = arcsinx, ,arccosx, , arctanx, ,arccotx 其它函數(shù)其它函數(shù) 符號函數(shù)符號函數(shù)：sgn x = 分段函數(shù)分段函數(shù)：自變量在不同的范圍內(nèi)時(shí)：自變量在不同的范圍內(nèi)時(shí), ,函數(shù)關(guān)函數(shù)關(guān) 系由不同的解析式子給出系由不同的解析式子給出. .如如sgn x. . 整變量函數(shù)整變量函數(shù)(數(shù)列數(shù)列)：y = f (n). . 隱函數(shù)隱函數(shù)：y = f (x)由方程由方程F(x, y) = 0確定確定. . 參數(shù)方程函數(shù)參數(shù)方

4、程函數(shù)：y = f (x)由由確定確定. . 注意注意: :一般不要去將隱函數(shù)或參數(shù)方程函數(shù)表一般不要去將隱函數(shù)或參數(shù)方程函數(shù)表 示為示為顯函數(shù)顯函數(shù) y = f (x). . 1.3.2 函數(shù)的運(yùn)算函數(shù)的運(yùn)算 1.3.4 復(fù)合運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) 1.3.5 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性 1.3.6 函數(shù)模型函數(shù)模型 指數(shù)增長模型指數(shù)增長模型 N(t) = N0ert tO N N0 經(jīng)濟(jì)管理中的函數(shù)模型經(jīng)濟(jì)管理中的函數(shù)模型 O pp0 需求函數(shù)需求函數(shù) D(p) 供給函數(shù)供給函數(shù) S(p) 均衡價(jià)格均衡價(jià)格 O xx0 C0 成本函數(shù)成本函數(shù) C(x) 收益函數(shù)收益函數(shù)R(x) 保

5、本點(diǎn)保本點(diǎn) 收益函數(shù)收益函數(shù)R(x) = xp(x) = pD(p) 利潤利潤函數(shù)函數(shù)P(x) = R(x) C(x) 1.4 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 函數(shù)極限的精確定義函數(shù)極限的精確定義(P29),(P29),用函數(shù)極限的精用函數(shù)極限的精 確定義確定義, ,可以證明后面的運(yùn)算法則和性質(zhì)及以下可以證明后面的運(yùn)算法則和性質(zhì)及以下 結(jié)論結(jié)論. . 左右極限左右極限 定理定理 函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充分必要條件函數(shù)在某點(diǎn)極限存在的充分必要條件 是它在該點(diǎn)左右極限都存在且相等是它在該點(diǎn)左右極限都存在且相等. . 無窮大量與垂直漸近線無窮大量與垂直漸近線 1.4.2 函數(shù)極限的運(yùn)算與性質(zhì)函數(shù)極限的運(yùn)算與性質(zhì)

6、 四則運(yùn)算中的不定式極限四則運(yùn)算中的不定式極限 ( (-型不定式型不定式) ) ( (x1近乎近乎x = 1) ) 對于對于-型不定式極限型不定式極限, ,先通分變型后再求解先通分變型后再求解. . 四則運(yùn)算法則的應(yīng)用四則運(yùn)算法則的應(yīng)用 函數(shù)極限的基本性質(zhì)函數(shù)極限的基本性質(zhì) 定理定理( (唯一性唯一性) ) 函數(shù)有極限則必唯一函數(shù)有極限則必唯一. . 兩邊夾法則也是計(jì)算函數(shù)極限的一種重要方法兩邊夾法則也是計(jì)算函數(shù)極限的一種重要方法. . 1.4.3 第一個(gè)重要極限第一個(gè)重要極限 ( (這里這里x以弧度為單位以弧度為單位) ) 練習(xí)練習(xí) 證明證明 第一個(gè)重要極限的應(yīng)用第一個(gè)重要極限的應(yīng)用 證證

7、令令 t = arcsinx, ,則則 x = sint, , 1.5 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 1.5.1 連續(xù)與間斷的直觀描述連續(xù)與間斷的直觀描述 1.5.2 連續(xù)與間斷的定義連續(xù)與間斷的定義 間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類 1.5.3 初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性 嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)必存在嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)必存在, ,而且也而且也 是嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)的是嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)的. . 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是連續(xù)函數(shù). . 基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的. . 任何初等函數(shù)在其任何初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)

8、都是連續(xù)的. . 初等函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用初等函數(shù)連續(xù)性的應(yīng)用 因此因此 a = 3. 1.5.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 定理定理( (最值定理最值定理) ) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有 最大值和最小值最大值和最小值. . 定理定理( (介值定理介值定理) ) 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)可以取閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)可以取 其最大值與最小值之間的一切值其最大值與最小值之間的一切值. . 根的存在定理的應(yīng)用根的存在定理的應(yīng)用 例例 利用根的存在定理證明介值定理利用根的存在定理證明介值定理. 1.6 函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的極限 1.6.2 第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要

9、極限 根據(jù)根據(jù)兩邊夾法則兩邊夾法則, , 第二個(gè)重要極限的應(yīng)用第二個(gè)重要極限的應(yīng)用 冪指函數(shù)的極限冪指函數(shù)的極限 ( (1 型不定式 型不定式) ) 1.7 無窮小量及其比較無窮小量及其比較 1.7.1 無窮小量無窮小量 1.7.2 無窮小量的比較無窮小量的比較 常用的等價(jià)無窮小常用的等價(jià)無窮小 1.8 微商微商 1.8.1 微積分的典型問題之一微積分的典型問題之一 切線問題切線問題 1.8.2 微商概念微商概念 微商函數(shù)微商函數(shù)( (或?qū)Ш瘮?shù)或?qū)Ш瘮?shù)) ) sinx的微商的微商 lnx, ex的微商的微商 左右微商左右微商 定理定理 函數(shù)在某點(diǎn)微商存在的充分必要條件函數(shù)在某點(diǎn)微商存在的充分必

10、要條件 是它在該點(diǎn)左右微商都存在且相等是它在該點(diǎn)左右微商都存在且相等. . 曲線的切線曲線的切線 1.8.3 可微性與連續(xù)性可微性與連續(xù)性 定理定理 若函數(shù)若函數(shù) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x0可微可微, ,則函數(shù)則函數(shù) f (x)在在 點(diǎn)點(diǎn) x0必連續(xù)必連續(xù). 在點(diǎn)在點(diǎn)x0連續(xù)但不可微的函數(shù)連續(xù)但不可微的函數(shù). . x0 x O y x0 x O y 左右微商法的應(yīng)用左右微商法的應(yīng)用 1.8.4 科赫科赫(Koch)雪花曲線雪花曲線 科赫科赫(Koch)(Koch)雪花曲線是一條處處連續(xù)但處處雪花曲線是一條處處連續(xù)但處處 不可微的曲線不可微的曲線.(P74).(P74) 第第1章章 重要概念與公式重