等體積法求點(diǎn)到平面距離

1、等體積法求點(diǎn)到平面距離用等體積法求點(diǎn)到平面的距離主要是一個(gè)轉(zhuǎn)換的思想，即要將所要求的垂線段 置于一個(gè)四面體中，其中四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為所給點(diǎn)，另外三點(diǎn)位于所給點(diǎn)射影平 面上，這里不妨將射影平面上的三點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為底面三角形。先用簡(jiǎn)單的方 法求出四面體的體積，然后計(jì)算出底面三角形的面積，再根據(jù)四面體體積公式1 一 一V =-Sh求出點(diǎn)到平面的距離h。在常規(guī)方法不能輕松獲得結(jié)果的情況下，如果能用3到等體積法，則可以很大程度上提高解題效率，達(dá)到事半功倍的效果。特別是遇到 四面體的有一條棱垂直于其所相對(duì)的底面時(shí)，首選此方法。下面用等體積法求解例 子例：所示的正方體ABCDABCD 棱長(zhǎng)為a，求點(diǎn)A到

2、平面AB D的距離解法（等體積法）：如圖所示，作A H垂直于平面AB D 于點(diǎn)H，則A H長(zhǎng)度為所 求。對(duì)于四面體AAB D ，易見底面AB D 的高為A H，底面A B D 的高為AA。對(duì) 四面體A AB D 的體積而言有：Va 丄 B D = Va，：_ab D即有：-A Sab=-AH S abd，也即：A H 二 AA S ABD33S山bd由ABD D A.2a，從而 ABD 為正三角形， AB D：60，進(jìn)而可求得S.abd 二-AB AD si n AB D=-c2a)2s in 60 = f a21又易計(jì)算得到Rt AB D的面積為Sabd= a2 s 22所以AH =AA S

3、abdS.abd a a2、3 2a2從上面的解答過程知道，我們?cè)谑褂玫润w積法求點(diǎn)到平面距離時(shí)使用的點(diǎn)與平面間的垂線段只是概念上的，并不一定要知道點(diǎn)在平面射影的具體位置，從而也就不需要使用幾何方法尋找或者求作垂線段，垂線段的長(zhǎng)度在這種方法上只是作為幾何體高的意義而存在的。練習(xí)：1、如圖所示，棱長(zhǎng)均為 a的正三棱柱中，D為AB中點(diǎn)，連結(jié)AiD，DC，AiC. 求BCi到面AiDC的距離.5i2、如圖所示，在三棱錐 P ABC中，AC= BG= 2，ZACB= 90 AP= BP=AB, PCLAC求點(diǎn)C到平面APB的距離.3、如圖，在長(zhǎng)方體 ABCD-ABCiDi，中，AD二AA=1,AB=2，E為AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到面ACD,的距離。D1C14、如圖已知三棱錐 O-ABC的側(cè)棱 OA,OB,OC兩兩垂直，且 OA=1 , 0B=0C=2, E是OC的中點(diǎn)，求C到面ABE的距離.5、已知正方體 ABCD- AiBiCiDi是棱